Dérivée d'un quotient

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

עד עכשיו גזרנו פולינומים. בפרק הזה המשתנה יורד למכנה: 1x\frac{1}{x}, x+1x−1\frac{x+1}{x-1}, x2x2+4\frac{x^2}{x^2+4}. פונקציה שהיא מנה של שני פולינומים נקראת פונקציה רציונלית. מתחילים מהפשוטה שבהן — ומהציור שלה.

השיפוע של ההיפרבולה y=1xy=\frac{1}{x}

שלושה משיקים להיפרבולה y = 1/x
m = -1/4m = -1m = -1-4-3-2-101234-4-3-2-11234xy
שלושה משיקים: ב-x=1x=1, ב-x=2x=2 וב-x=−1x=-1. כולם יורדים, ובכל ענף — ככל שמתרחקים מ-x=0x=0 המשיק נעשה שטוח יותר.

הסתכלו על שלושת המשיקים. מה הסימן של השיפוע בכל אחד מהם? ומה קורה לשיפוע כש-xx מתרחק מאפס?

Voir la réponse et le corrigé

כל השיפועים שליליים — ההיפרבולה יורדת בשני הענפים. ליד x=0x=0 המשיק תלול מאוד, ורחוק מאפס הוא כמעט אופקי: בנקודה x=1x=1 השיפוע −1-1, ובנקודה x=2x=2 הוא רק −14-\frac{1}{4}.

הנגזרת של 1x\frac{1}{x} — לפי ההגדרה

את השיפוע שראינו בציור אפשר לחשב בדיוק, באותה דרך שבה גזרנו x2x^2: מנת ההפרשים, ואז h→0h \to 0. השלב שדורש זהירות הוא חיסור שברים — מכנה משותף.

(1x)′=−1x2x≠0\begin{aligned}\left(\frac{1}{x}\right)' &= -\frac{1}{x^2} \\ \qquad x \neq 0\end{aligned}

חשבו את השיפוע של המשיק ל-y=1xy=\frac{1}{x} בנקודה שבה x=2x=2, והשוו לציור.

Voir la réponse et le corrigé

f′(2)=−122=−14f'(2)=-\frac{1}{2^2}=-\frac{1}{4} — בדיוק השיפוע של המשיק האמצעי בציור.

אותה תוצאה יוצאת מכלל החזקה: 1x=x−1\frac{1}{x}=x^{-1}, ולכן הנגזרת היא −1⋅x−2=−1x2-1 \cdot x^{-2}=-\frac{1}{x^2}. שתי דרכים, תשובה אחת — סימן טוב.

כלל המנה

כלל המנה דומה לכלל המכפלה — עם שני הבדלים שעולים הכי הרבה נקודות: מינוס במקום פלוס, ומכנה בריבוע.

(f(x)g(x))′=f′(x) g(x)−f(x) g′(x)[g(x)]2\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)' = \frac{f'(x)\,g(x) - f(x)\,g'(x)}{\left[g(x)\right]^2}
f′(x) g(x)f'(x)\,g(x)

קודם נגזרת המונה כפול המכנה.

− f(x) g′(x)- \ f(x)\,g'(x)

ואז מחסרים את המונה כפול נגזרת המכנה.

[g(x)]2\left[g(x)\right]^2

והכול מחולק במכנה בריבוע.

בכלל המכפלה הסדר לא חשוב — חיבור הוא חילופי. כאן הוא קריטי: חיסור אינו חילופי, והחלפת הסדר הופכת את סימן התוצאה כולה.

מנה פשוטה

גזרו: h(x)=x2x+1h(x) = \dfrac{x^2}{x+1}

f(x)=x2g(x)=x+1\begin{aligned}f(x) &= x^2 \\ \quad g(x) &= x+1\end{aligned}

מזהים מונה ומכנה

f′(x)=2xg′(x)=1\begin{aligned}f'(x) &= 2x \\ \quad g'(x) &= 1\end{aligned}

וגוזרים כל אחד

2x(x+1)−x2⋅1(x+1)2\frac{2x(x+1) - x^2 \cdot 1}{(x+1)^2}

מציבים בכלל

2x2+2x−x2(x+1)2\frac{2x^2 + 2x - x^2}{(x+1)^2}

פותחים את המונה

x2+2x(x+1)2\frac{x^2 + 2x}{(x+1)^2}

מכנסים

את המכנה לא פותחים. (x+1)2(x+1)^2 נשאר כך: אחר כך משווים את הנגזרת לאפס, ואז רק המונה חשוב — מנה מתאפסת כשהמונה מתאפס.

מתי הנגזרת x2+2x(x+1)2\dfrac{x^2+2x}{(x+1)^2} מתאפסת?

Voir la réponse et le corrigé

כשהמונה מתאפס: x2+2x=0x^2 + 2x = 0, כלומר x(x+2)=0x(x+2) = 0 ולכן x=0x = 0 או x=−2x = -2. המכנה לא יכול להתאפס — x=−1x = -1 אינו בתחום ההגדרה מלכתחילה.

תחום ההגדרה — לפני הכול

במנה יש תמיד תנאי: המכנה שונה מאפס. הוא נקבע לפני הגזירה ונשאר בתוקף אחריה — גם הנגזרת אינה מוגדרת שם.

מנה עם מינוס במכנה

גזרו: f(x)=x+1x−1f(x) = \dfrac{x+1}{x-1}

x≠1x \neq 1

תחום ההגדרה

1⋅(x−1)−(x+1)⋅1(x−1)2\frac{1 \cdot (x-1) - (x+1) \cdot 1}{(x-1)^2}

הכלל

x−1−x−1(x−1)2\frac{x - 1 - x - 1}{(x-1)^2}

פותחים — שימו לב למינוס לפני הסוגריים

−2(x−1)2\frac{-2}{(x-1)^2}

ומקבלים

התוצאה שלילית תמיד (המכנה ריבוע, ולכן חיובי). כלומר הפונקציה יורדת בכל אחד מתחומי ההגדרה שלה — מסקנה שלמה, מנגזרת אחת.

בשלב הפתיחה קיבלנו x−1−x−1x - 1 - x - 1. מאיפה בא המינוס השני?

Voir la réponse et le corrigé

מהמינוס שלפני הסוגריים: −(x+1)=−x−1-(x+1) = -x - 1. זו הטעות הנפוצה ביותר בכלל המנה — לחסר רק את האיבר הראשון בסוגריים.

שלוש הטעויות של כלל המנה.

f(x) g′(x)−f′(x) g(x)[g(x)]2\frac{f(x)\,g'(x) - f'(x)\,g(x)}{\left[g(x)\right]^2}
f′(x) g(x)−f(x) g′(x)[g(x)]2\frac{f'(x)\,g(x) - f(x)\,g'(x)}{\left[g(x)\right]^2}

סדר הפוך — והתוצאה כולה מקבלת סימן הפוך. נגזרת חיובית הופכת לשלילית, וכל מסקנה על עלייה וירידה מתהפכת איתה.

f′(x) g(x)−f(x) g′(x)g(x)\frac{f'(x)\,g(x) - f(x)\,g'(x)}{g(x)}
f′(x) g(x)−f(x) g′(x)[g(x)]2\frac{f'(x)\,g(x) - f(x)\,g'(x)}{\left[g(x)\right]^2}

המכנה בריבוע. בלי הריבוע אפילו המעלה של התוצאה שגויה.

(f(x)g(x))′=f′(x)g′(x)\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)' = \frac{f'(x)}{g'(x)}
(f(x)g(x))′=f′(x) g(x)−f(x) g′(x)[g(x)]2\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)' = \frac{f'(x)\,g(x) - f(x)\,g'(x)}{\left[g(x)\right]^2}

הנגזרת אינה מתחלקת בין המונה למכנה. בדיקה: x2x=x\frac{x^2}{x}=x ונגזרתו 11, אבל 2x1=2x\frac{2x}{1}=2x.

Exercices

Exercice 1

מהו הכלל לגזירת f(x)g(x)\dfrac{f(x)}{g(x)}?

  1. f′(x) g(x)−f(x) g′(x)g(x)\dfrac{f'(x)\,g(x) - f(x)\,g'(x)}{g(x)}
  2. f(x) g′(x)−f′(x) g(x)[g(x)]2\dfrac{f(x)\,g'(x) - f'(x)\,g(x)}{\left[g(x)\right]^2}
  3. f′(x)g′(x)\dfrac{f'(x)}{g'(x)}
  4. f′(x) g(x)−f(x) g′(x)[g(x)]2\dfrac{f'(x)\,g(x) - f(x)\,g'(x)}{\left[g(x)\right]^2}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D f′(x) g(x)−f(x) g′(x)[g(x)]2\dfrac{f'(x)\,g(x) - f(x)\,g'(x)}{\left[g(x)\right]^2}

Corrigé :

f′(x) g(x)−f(x) g′(x)[g(x)]2\frac{f'(x)\,g(x) - f(x)\,g'(x)}{\left[g(x)\right]^2}

הכלל

שתי המלכודות בתשובות האחרות: סדר הפוך בחיסור, ומכנה בלי ריבוע. והנוסחה f′(x)g′(x)\frac{f'(x)}{g'(x)} — גזירה נפרדת של מונה ומכנה — שגויה לגמרי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

גזרו: f(x)=1xf(x) = \dfrac{1}{x}

  1. 1x2\dfrac{1}{x^2}
  2. −1x2-\dfrac{1}{x^2}
  3. −12x-\dfrac{1}{2x}
  4. 00
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B −1x2-\dfrac{1}{x^2}

Corrigé :

0⋅x−1⋅1x2\frac{0 \cdot x - 1 \cdot 1}{x^2}

כלל המנה

−1x2-\frac{1}{x^2}

התוצאה

אפשר גם בלי הכלל: 1x=x−1\frac{1}{x} = x^{-1}, ולפי כלל החזקה −1⋅x−2-1 \cdot x^{-2}. אותה תשובה. המלכודת היא לשכוח את המינוס — אבל הציור מזכיר: ההיפרבולה יורדת.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

נתון f(x)=x2x+1f(x) = \dfrac{x^2}{x+1}. חשבו את f′(1)f'(1).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.75

Corrigé :

f′(x)=x2+2x(x+1)2f'(x) = \frac{x^2+2x}{(x+1)^2}

הנגזרת

1+24=34\frac{1+2}{4} = \frac{3}{4}

On remplace (מציבים)

0.750.75. עם פלוס במקום מינוס היה יוצא 54\frac{5}{4} — תשובה שונה לגמרי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

גזרו: f(x)=x+1x−1f(x) = \dfrac{x+1}{x-1}

  1. 2(x−1)2\dfrac{2}{(x-1)^2}
  2. 2x(x−1)2\dfrac{2x}{(x-1)^2}
  3. −2(x−1)2\dfrac{-2}{(x-1)^2}
  4. 11
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C −2(x−1)2\dfrac{-2}{(x-1)^2}

Corrigé :

(x−1)−(x+1)(x−1)2\frac{(x-1) - (x+1)}{(x-1)^2}

הכלל

x−1−x−1(x−1)2=−2(x−1)2\frac{x-1-x-1}{(x-1)^2} = \frac{-2}{(x-1)^2}

המינוס חל על שני האיברים

התשובה 2(x−1)2\frac{2}{(x-1)^2} מתקבלת בדיוק כשמחסרים רק את האיבר הראשון בסוגריים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

נתון f(x)=x+1x−1f(x) = \dfrac{x+1}{x-1}. חשבו את f′(2)f'(2).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -2

Corrigé :

f′(x)=−2(x−1)2f'(x) = \frac{-2}{(x-1)^2}

הנגזרת

−21=−2\frac{-2}{1} = -2

On remplace (מציבים)

שלילי — ואכן הפונקציה יורדת בכל תחום ההגדרה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

מהו תחום ההגדרה של f(x)=x2x−3f(x) = \dfrac{x^2}{x-3} ושל נגזרתה?

  1. x≠3x \neq 3 בפונקציה בלבד
  2. כל xx
  3. x≠3x \neq 3 בשתיהן
  4. x>3x > 3
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C x≠3x \neq 3 בשתיהן

Corrigé :

x−3≠0x - 3 \neq 0

המכנה

(x−3)2≠0(x-3)^2 \neq 0

וגם במכנה של הנגזרת

הגזירה אינה מרחיבה את תחום ההגדרה. הערך הפסול נשאר פסול.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

נתון f(x)=3xx2+1f(x) = \dfrac{3x}{x^2+1}. חשבו את f′(0)f'(0).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

3(x2+1)−3x⋅2x(x2+1)2\frac{3(x^2+1) - 3x \cdot 2x}{(x^2+1)^2}

הכלל

3−3x2(x2+1)2\frac{3 - 3x^2}{(x^2+1)^2}

מכנסים

31=3\frac{3}{1} = 3

מציבים x=0x=0

כאן המכנה x2+1x^2+1 לעולם אינו אפס — תחום ההגדרה הוא כל xx.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

נתון f(x)=x+1x−1f(x) = \dfrac{x+1}{x-1}. כמה פתרונות יש למשוואה f′(x)=0f'(x) = 0?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0

Corrigé :

f′(x)=−2(x−1)2f'(x) = \frac{-2}{(x-1)^2}

הנגזרת

−2≠0-2 \neq 0

המונה קבוע ואינו מתאפס

אין נקודות קיצון בכלל. נגזרת שהמונה שלה קבוע לא מתאפסת לעולם.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

f(x)=g(x)xf(x) = \dfrac{g(x)}{x}, ונתון g(1)=4g(1) = 4 ו-g′(1)=2g'(1) = 2. מהו f′(1)f'(1)?

  1. 22
  2. −2-2
  3. 66
  4. −6-6
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B −2-2

Corrigé :

f′(x)=g′(x)⋅x−g(x)⋅1x2f'(x) = \frac{g'(x) \cdot x - g(x) \cdot 1}{x^2}

כלל המנה

2⋅1−41=−2\frac{2 \cdot 1 - 4}{1} = -2

On remplace (מציבים)

המלכודת: להפוך את הסדר ולקבל +2+2. בלי לדעת מהי gg — מספיקים הערכים בנקודה, וכך זה מופיע בבגרות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

נתון f(x)=1g(x)f(x) = \dfrac{1}{g(x)}, כאשר gg גזירה ו-g(x)≠0g(x) \neq 0. הוכיחו: f′(x)=−g′(x)[g(x)]2f'(x) = \dfrac{-g'(x)}{\left[g(x)\right]^2}.

  • כלל המנה: (u(x)v(x))′=u′(x) v(x)−u(x) v′(x)[v(x)]2\left(\frac{u(x)}{v(x)}\right)' = \frac{u'(x)\,v(x) - u(x)\,v'(x)}{\left[v(x)\right]^2}
  • u(x)=1u(x) = 1 ו-v(x)=g(x)v(x) = g(x)

f′(x)=−g′(x)[g(x)]2f'(x) = \dfrac{-g'(x)}{\left[g(x)\right]^2}

Voir la réponse et le corrigé
  1. f′(x)=(1)′⋅g(x)−1⋅g′(x)[g(x)]2f'(x) = \dfrac{(1)' \cdot g(x) - 1 \cdot g'(x)}{\left[g(x)\right]^2} — הצבה בכלל המנה עם מונה 11
  2. (1)′=0(1)' = 0 — נגזרת של מספר קבוע היא אפס
  3. f′(x)=0−g′(x)[g(x)]2f'(x) = \dfrac{0 - g'(x)}{\left[g(x)\right]^2} — הצבת נגזרת המונה
  4. f′(x)=−g′(x)[g(x)]2f'(x) = \dfrac{-g'(x)}{\left[g(x)\right]^2} — פישוט המונה

Corrigé :

f′(x)=0⋅g(x)−1⋅g′(x)[g(x)]2f'(x)=\frac{0 \cdot g(x) - 1 \cdot g'(x)}{[g(x)]^2}

כלל המנה עם מונה 11

f′(x)=−g′(x)[g(x)]2f'(x)=\frac{-g'(x)}{[g(x)]^2}

נגזרת של קבוע היא אפס

המלכודת: לכתוב 1g′(x)\frac{1}{g'(x)}. נגזרת של 1g\frac{1}{g} איננה אחד חלקי הנגזרת.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe