Asymptote verticale et point supprimable

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

בפונקציה רציונלית יש ערכים של xx שאסור להציב: אלה שבהם המכנה מתאפס. הם נופלים מתחום ההגדרה. אבל מה עושה הגרף ליד ערך כזה? מתברר שיש שתי תמונות שונות לגמרי. הסתכלו על שתיהן לפני שנקרא להן בשם.

בשני הגרפים x=2x=2 אינו בתחום ההגדרה. מה ההבדל בין מה שקורה ליד x=2x=2 בגרף הראשון לבין מה שקורה בשני?

Voir la réponse et le corrigé

בגרף הראשון הערכים גדלים ללא גבול — הגרף עולה לשמיים מצד אחד ויורד לתהום מהצד השני. בגרף השני הערכים מתקרבים בשקט ל-44, ורק הנקודה עצמה חסרה: חור בגרף.

אסימפטוטה אנכית: המונה לא מתאפס

נציב ב-f(x)=1x−2f(x)=\frac{1}{x-2} ערכים קרובים ל-22:

x=2.1⇒f(x)=10\begin{aligned}x &= 2.1 \Rightarrow f(x) \\ &= 10\end{aligned}

קצת מימין

x=2.01⇒f(x)=100\begin{aligned}x &= 2.01 \Rightarrow f(x) \\ &= 100\end{aligned}

עוד יותר קרוב — ערך גדול פי עשרה

x=1.99⇒f(x)=−100\begin{aligned}x &= 1.99 \Rightarrow f(x) \\ &= -100\end{aligned}

קצת משמאל — שלילי וגדול בערכו המוחלט

המונה נשאר 11, והמכנה נעשה זעיר — ומספר קבוע חלקי מספר זעיר הוא ענק. כשהערכים של ff גדלים ללא גבול כאשר xx מתקרב ל-aa, הישר x=ax=a נקרא אסימפטוטה אנכית. בכתיב חצים: כש-x→2x \to 2 מימין, f(x)→∞f(x) \to \infty.

נקודה סליקה: גם המונה מתאפס

ב-g(x)=x2−4x−2g(x)=\frac{x^2-4}{x-2} גם המונה מתאפס ב-x=2x=2. מפרקים: (x−2)(x+2)x−2\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}. הגורם x−2x-2 מצטמצם — אבל רק כש-x≠2x \neq 2. לכן g(x)=x+2g(x)=x+2 לכל x≠2x \neq 2: הגרף הוא ישר עם חור אחד, והחור נמצא בגובה 2+2=42+2=4.

מכנה=0 מונה≠0\begin{aligned}\text{מכנה} &= 0 \\ \ \text{מונה}\neq 0\end{aligned}

אסימפטוטה אנכית — אין מה לבדוק עוד.

מכנה=0 מונה=0\begin{aligned}\text{מכנה} &= 0 \\ \ \text{מונה} &= 0\end{aligned}

מפרקים ומצמצמים, ובודקים שוב את המכנה המצומצם: אם הוא עדיין מתאפס — אסימפטוטה; אם לא — נקודה סליקה.

שני ערכים אסורים, שתי תמונות

מצאו אסימפטוטות אנכיות ונקודות סליקות של f(x)=x−1x2−1f(x)=\dfrac{x-1}{x^2-1}.

x2−1≠0 ⇒ x≠1, x≠−1x^2-1 \neq 0 \ \Rightarrow\ x \neq 1,\ x \neq -1

תחום ההגדרה — מהפונקציה המקורית

f(x)=x−1(x−1)(x+1)=1x+1x≠1\begin{aligned}f(x) &= \frac{x-1}{(x-1)(x+1)} \\ &= \frac{1}{x+1} \\ \quad x\neq 1\end{aligned}

מפרקים ומצמצמים

x=1: 11+1=12\begin{aligned}x &= 1:\ \frac{1}{1+1} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

המכנה המצומצם לא מתאפס — נקודה סליקה (1,12)\left(1, \frac{1}{2}\right)

x=−1: x+1=0\begin{aligned}x &= -1:\ x+1 \\ &= 0\end{aligned}

המכנה המצומצם מתאפס — אסימפטוטה אנכית x=−1x=-1

האם לפונקציה f(x)=x+5x2+4f(x)=\dfrac{x+5}{x^2+4} יש אסימפטוטה אנכית?

Voir la réponse et le corrigé

לא. x2≥0x^2 \geq 0 ולכן x2+4≥4x^2+4 \geq 4: המכנה לעולם אינו מתאפס. תחום ההגדרה הוא כל xx, ואין שום ערך חשוד.

את שיעור ה-yy של נקודה סליקה מחשבים בביטוי המצומצם. בביטוי המקורי הצבה נותנת 00\frac{0}{0} — שאינו מספר.

שתי טעויות שעולות נקודות.

x2−4x−2=x+2\frac{x^2-4}{x-2}=x+2
x2−4x−2=x+2x≠2\begin{aligned}\frac{x^2-4}{x-2} &= x+2 \\ \quad x \neq 2\end{aligned}

הצמצום מותר רק כש-x−2≠0x-2 \neq 0. מי ששוכח את התנאי מצייר ישר שלם — בלי החור.

x−2(x−2)2: x=2 סליקה\frac{x-2}{(x-2)^2}:\ x=2\ \text{סליקה}
x−2(x−2)2=1x−2: x=2 אסימפטוטה\begin{aligned}\frac{x-2}{(x-2)^2} &= \frac{1}{x-2}:\ x \\ &= 2\ \text{אסימפטוטה}\end{aligned}

מונה ומכנה מתאפסים יחד — אבל אחרי הצמצום המכנה עדיין מתאפס. «שניהם אפס» אינו מספיק; תמיד בודקים את המצומצם.

Exercices

Exercice 1

מהו תחום ההגדרה של f(x)=3xx2−5x+6f(x)=\dfrac{3x}{x^2-5x+6}?

  1. x≠2, x≠3x \neq 2,\ x \neq 3
  2. כל xx
  3. x≠−2, x≠−3x \neq -2,\ x \neq -3
  4. x≠0x \neq 0
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A x≠2, x≠3x \neq 2,\ x \neq 3

Corrigé :

x2−5x+6=0x^2-5x+6=0

המכנה אסור להתאפס

(x−2)(x−3)=0⇒x=2 x=3\begin{aligned}(x-2)(x-3) &= 0 \Rightarrow x \\ &= 2 \\ \ x &= 3\end{aligned}

מפרקים

המלכודת היא x≠0x \neq 0: המונה מתאפס שם, וזה מותר — 06=0\frac{0}{6}=0. והתשובה עם −2-2 ו-−3-3 מתקבלת מבלבול סימנים בפירוק.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

לפונקציה f(x)=2x+1x+4f(x)=\dfrac{2x+1}{x+4} יש אסימפטוטה אנכית אחת. מהו שיעור ה-xx שלה?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -4

Corrigé :

x+4=0⇒x=−4\begin{aligned}x+4 &= 0 \Rightarrow x \\ &= -4\end{aligned}

המכנה מתאפס

2(−4)+1=−7≠02(-4)+1=-7 \neq 0

המונה לא מתאפס שם — לכן זו אסימפטוטה

המלכודת: לענות −12-\frac{1}{2}, שורש המונה. שורש המונה הוא נקודת חיתוך עם ציר ה-xx, לא אסימפטוטה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

נתונה f(x)=x2−9x−3f(x)=\dfrac{x^2-9}{x-3}. מה קורה בגרף ב-x=3x=3?

  1. אסימפטוטה אנכית x=3x=3
  2. נקודה סליקה (3,0)(3, 0)
  3. נקודה סליקה (3,6)(3, 6)
  4. f(3)=6f(3)=6, הגרף רציף שם
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C נקודה סליקה (3,6)(3, 6)

Corrigé :

(x−3)(x+3)x−3=x+3 x≠3\begin{aligned}\frac{(x-3)(x+3)}{x-3} &= x+3 \\ \ x\neq 3\end{aligned}

מפרקים ומצמצמים

3+3=63+3=6

הגובה של החור — בביטוי המצומצם

שתי מלכודות: (3,0)(3,0) לוקח את 00 מהמונה המקורי, ו-«f(3)=6f(3)=6» שוכח ש-33 אינו בתחום ההגדרה. יש חור, לא נקודה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

נתונה f(x)=x2+x−2x2−1f(x)=\dfrac{x^2+x-2}{x^2-1}. השלימו.

לגרף יש נקודה סליקה שבה x=x= ____ ו-y=y= ____, ואסימפטוטה אנכית x=x= ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : לגרף יש נקודה סליקה שבה x=x= 1 ו-y=y= 1.5, ואסימפטוטה אנכית x=x= -1

Corrigé :

(x+2)(x−1)(x−1)(x+1)=x+2x+1 x≠1\begin{aligned}\frac{(x+2)(x-1)}{(x-1)(x+1)} &= \frac{x+2}{x+1} \\ \ x\neq 1\end{aligned}

מפרקים ומצמצמים

x=1: 32=1.5\begin{aligned}x &= 1:\ \frac{3}{2} \\ &= 1.5\end{aligned}

המכנה המצומצם לא מתאפס — חור

x=−1: x+1=0\begin{aligned}x &= -1:\ x+1 \\ &= 0\end{aligned}

המכנה המצומצם מתאפס — אסימפטוטה

המלכודת: לחשב את yy של החור בהצבה במקור ולקבל 00\frac{0}{0}. הגובה נקבע אחרי הצמצום: 1.51.5.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

מיינו: בכל פונקציה ובערך המסומן — אסימפטוטה אנכית או נקודה סליקה?

  • אסימפטוטה אנכית
  • נקודה סליקה
  • (x−4)2x−4\dfrac{(x-4)^2}{x-4} ב-x=4x=4
  • x−2(x−2)2\dfrac{x-2}{(x-2)^2} ב-x=2x=2
  • xx−5\dfrac{x}{x-5} ב-x=5x=5
  • x2−5xx−5\dfrac{x^2-5x}{x-5} ב-x=5x=5
  • x+1x2−1\dfrac{x+1}{x^2-1} ב-x=−1x=-1
  • x+1x2−1\dfrac{x+1}{x^2-1} ב-x=1x=1
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : xx−5\dfrac{x}{x-5} ב-x=5x=5 — אסימפטוטה אנכית · x2−5xx−5\dfrac{x^2-5x}{x-5} ב-x=5x=5 — נקודה סליקה · x+1x2−1\dfrac{x+1}{x^2-1} ב-x=−1x=-1 — נקודה סליקה · x+1x2−1\dfrac{x+1}{x^2-1} ב-x=1x=1 — אסימפטוטה אנכית · x−2(x−2)2\dfrac{x-2}{(x-2)^2} ב-x=2x=2 — אסימפטוטה אנכית · (x−4)2x−4\dfrac{(x-4)^2}{x-4} ב-x=4x=4 — נקודה סליקה

Corrigé :

x2−5xx−5=x\frac{x^2-5x}{x-5}=x

חור ב-x=5x=5

x+1x2−1=1x−1\frac{x+1}{x^2-1}=\frac{1}{x-1}

חור ב-−1-1, קיר ב-11

x−2(x−2)2=1x−2\frac{x-2}{(x-2)^2}=\frac{1}{x-2}

המכנה המצומצם עדיין מתאפס

(x−4)2x−4=x−4\frac{(x-4)^2}{x-4}=x-4

חור ב-44

הפריט המכשיל הוא x−2(x−2)2\frac{x-2}{(x-2)^2}: מונה ומכנה מתאפסים יחד, ובכל זאת זו אסימפטוטה — הגורם במכנה מופיע פעמיים, והצמצום מוריד רק אחד.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

אם המונה והמכנה של פונקציה רציונלית מתאפסים שניהם ב-x=ax=a, אז ב-x=ax=a יש לגרף נקודה סליקה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

f(x)=x−2(x−2)2f(x)=\frac{x-2}{(x-2)^2}

דוגמה נגדית: שניהם מתאפסים ב-x=2x=2

=1x−2=\frac{1}{x-2}

אחרי הצמצום המכנה עדיין מתאפס

x=2x=2

אסימפטוטה אנכית, ולכן אין שם חור

הטענה אינה נכונה, ודוגמה נגדית אחת מספיקה. «שניהם אפס» רק אומר שצריך לצמצם; ההכרעה באה מהמכנה המצומצם.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

x = 1-3-2-10123456-4-22468xy

בציור הגרף של f(x)=2x2−6xx2−4x+3f(x)=\dfrac{2x^2-6x}{x^2-4x+3}. לגרף «חור» אחד. מהו שיעור ה-yy של הנקודה הסליקה?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

x2−4x+3=(x−1)(x−3)x^2-4x+3=(x-1)(x-3)

המכנה מתאפס ב-11 וב-33

2x(x−3)(x−1)(x−3)=2xx−1 x≠3\begin{aligned}\frac{2x(x-3)}{(x-1)(x-3)} &= \frac{2x}{x-1} \\ \ x\neq 3\end{aligned}

מצמצמים

x=3: 62=3\begin{aligned}x &= 3:\ \frac{6}{2} \\ &= 3\end{aligned}

הגובה של החור

המלכודת: לחפש את החור ב-x=1x=1. שם המכנה המצומצם מתאפס — זו האסימפטוטה המקווקוות שבציור.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

תלמיד חקר את f(x)=x2−16x−4f(x)=\dfrac{x^2-16}{x-4}. שורה אחת שגויה — מצאו אותה.

f(x)=x2−16x−4f(x)=\frac{x^2-16}{x-4}
=(x−4)(x+4)x−4=\frac{(x-4)(x+4)}{x-4}
=x+4=x+4
תחום ההגדרה: כל x\text{תחום ההגדרה: כל } x
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : תחום ההגדרה: כל x\text{תחום ההגדרה: כל } x → תחום ההגדרה: x≠4\text{תחום ההגדרה: } x \neq 4

Corrigé :

x−4≠0x-4 \neq 0

התנאי נקבע בפונקציה המקורית

x≠4x \neq 4

והצמצום אינו מבטל אותו

הצמצום נכון — אבל הוא מותר רק כש-x≠4x \neq 4. הגרף הוא הישר y=x+4y=x+4 עם חור ב-(4,8)(4, 8).

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

לאיזו מהפונקציות הבאות אין אסימפטוטה אנכית?

  1. x+3x2+3x\dfrac{x+3}{x^2+3x}
  2. xx2+1\dfrac{x}{x^2+1}
  3. 1x2\dfrac{1}{x^2}
  4. xx2−1\dfrac{x}{x^2-1}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B xx2+1\dfrac{x}{x^2+1}

Corrigé :

x2+1≥1x^2+1 \geq 1

המכנה של הראשונה לעולם אינו מתאפס

x+3x(x+3)=1x\frac{x+3}{x(x+3)}=\frac{1}{x}

ברביעית הצמצום משאיר xx במכנה — אסימפטוטה x=0x=0

המלכודת היא x+3x2+3x\frac{x+3}{x^2+3x}: מי שרואה צמצום חושב שהכול «נעלם». הצמצום מבטל את x=−3x=-3 בלבד (חור), ו-x=0x=0 נשאר קיר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

הביאו דוגמה: איזו פונקציה מקיימת את שני התנאים — אסימפטוטה אנכית x=2x=2, ונקודה סליקה ב-x=−3x=-3?

  1. 1(x−2)(x+3)\dfrac{1}{(x-2)(x+3)}
  2. x−2(x−2)(x+3)\dfrac{x-2}{(x-2)(x+3)}
  3. x+3x−2\dfrac{x+3}{x-2}
  4. x+3(x−2)(x+3)\dfrac{x+3}{(x-2)(x+3)}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D x+3(x−2)(x+3)\dfrac{x+3}{(x-2)(x+3)}

Corrigé :

x+3(x−2)(x+3)=1x−2 x≠−3\begin{aligned}\frac{x+3}{(x-2)(x+3)} &= \frac{1}{x-2} \\ \ x\neq -3\end{aligned}

הגורם x+3x+3 מצטמצם — חור ב-−3-3

x−2=0x-2=0

והגורם x−2x-2 נשאר — קיר ב-22

הגורם שמצטמצם יוצר את החור, והגורם שנשאר יוצר את הקיר. בפונקציה עם x−2x-2 במונה התפקידים הפוכים; בזו שבלי מונה משותף יש שני קירות.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe