Asymptote horizontale · Fonctions rationnelles · Kita י

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

אסימפטוטה אנכית עונה על השאלה «מה קורה ליד ערך אסור». השאלה השנייה של הפרק היא «מה קורה רחוק»: כש- $x$ גדל מאוד, או קטן מאוד — לאן הולכים ערכי הפונקציה?

f(x) = (2x + 3)/(x − 1), מקרוב

שני קווים מקווקווים:

x=1

, שם המכנה מתאפס, ו-

y=2

— הקו שהגרף נצמד אליו בשני הקצוות.

ליד $x=1$ הגרף בורח — שם יש אסימפטוטה אנכית, כמו ביחידה הקודמת. אבל בקצוות משהו אחר קורה: הגרף נרגע ומתקרב לקו $y=2$ . כדי לראות את זה באמת צריך להתרחק.

חשבו את $f(100)$ עבור $f(x)=\dfrac{2x+3}{x-1}$ . האם התוצאה גדולה מ- $2$ או קטנה ממנו?

Voir la réponse et le corrigé

$f(100)=\frac{203}{99} \approx 2.051$ — קצת יותר מ- $2$ . המרחק מ- $2$ קטן, אבל אינו אפס.

טבלת ערכים

\begin{aligned}x &= 10 \Rightarrow f(x) \\ &= \frac{23}{9}\approx 2.556\end{aligned}

עדיין רחוק מ- $2$

\begin{aligned}x &= 100 \Rightarrow f(x) \\ &= \frac{203}{99}\approx 2.051\end{aligned}

מתקרב

\begin{aligned}x &= 1000 \Rightarrow f(x) \\ &= \frac{2003}{999}\approx 2.005\end{aligned}

כמעט $2$ — מלמעלה

\begin{aligned}x &= -1000 \Rightarrow f(x) \\ &= \frac{-1997}{-1001}\approx 1.995\end{aligned}

בצד השלילי — כמעט $2$ מלמטה

כש- $x \to \infty$ , $f(x) \to 2$ , וגם כש- $x \to -\infty$ , $f(x) \to 2$ . ישר אופקי $y=k$ שאליו ערכי הפונקציה מתקרבים כש- $x$ מתרחק נקרא אסימפטוטה אופקית. כאן: $y=2$ .

למה דווקא $2$ ?

כש- $x$ הוא מיליון, ה- $+3$ שבמונה וה- $-1$ שבמכנה הם פירורים לעומת $2x$ ו- $x$ . המונה הוא «בערך $2x$ », המכנה «בערך $x$ », והמנה — בערך $2$ . את הביטוי מכריעים האיברים עם החזקה הגבוהה ביותר.

\frac{3x+1}{x^2+2}

מעלת המונה קטנה ממעלת המכנה: המכנה גדל מהר יותר, והמנה מתקרבת ל- $0$ . אסימפטוטה $y=0$ .

\frac{4x-1}{2x+5}

המעלות שוות: המנה מתקרבת ליחס בין המקדמים המובילים, $\frac{4}{2}$ . אסימפטוטה $y=2$ .

\frac{x^2+1}{x-3}

מעלת המונה גדולה: הערכים גדלים ללא גבול. אין אסימפטוטה אופקית.

מהי האסימפטוטה האופקית של $f(x)=\dfrac{5-2x}{x+1}$ ?

Voir la réponse et le corrigé

$y=-2$ . האיבר המוביל במונה הוא $-2x$ — לא $5$ , אף שהוא כתוב ראשון. היחס $\frac{-2x}{x}=-2$ .

Activité interactive

מוצאים אסימפטוטה אופקית

f(x)=\frac{6x^2-x}{3x^2+2x+5}

לחצו «להתחיל» — ארבעה שלבים, ובלי לחשב אף פעם עם אינסוף.

מעלות

x^2 \text{ במונה},\quad x^2 \text{ במכנה}

המעלות שוות — ולכן יש אסימפטוטה אופקית שאינה $y=0$ .

איברים מובילים

\frac{6x^2-x}{3x^2+2x+5} \approx \frac{6x^2}{3x^2}

כש- $x$ גדול מאוד, השאר זניח לעומת האיברים עם $x^2$ .

היחס

\frac{6x^2}{3x^2}=2

ה- $x^2$ מצטמצם, ונשאר יחס המקדמים.

בדיקה

f(100)=\frac{59900}{30205}\approx 1.983

מספר גדול אחד כבדיקת שפיות: אכן קרוב ל- $2$ . מסקנה: $y=2$ .

שימו לב: בשום שלב לא כתבנו $\frac{\infty}{\infty}$ . מחשבים עם מספרים גדולים ועם חצים — לא עם אינסוף.

Faire l'activité sur elev

אסימפטוטות — ואם הגרף חוצה אחת מהן

מצאו את כל האסימפטוטות של $f(x)=\dfrac{x^2-1}{2x^2+x}$ , ובדקו אם הגרף חותך את האסימפטוטה האופקית.

\begin{aligned}2x^2+x &= x(2x+1) \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= 0 \\ \ x &= -\frac{1}{2}\end{aligned}

הערכים האסורים

\begin{aligned}x &= 0:\ -1\neq 0;\quad x \\ &= -\frac{1}{2}:\ -\frac{3}{4}\neq 0\end{aligned}

המונה לא מתאפס בהם — שתי אסימפטוטות אנכיות

\begin{aligned}\frac{x^2}{2x^2} &= \frac{1}{2} \Rightarrow y \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

מעלות שוות — אסימפטוטה אופקית

\begin{aligned}\frac{x^2-1}{2x^2+x} &= \frac{1}{2} \Rightarrow 2x^2-2 \\ &= 2x^2+x \Rightarrow x \\ &= -2\end{aligned}

משווים לגובה האסימפטוטה

\left(-2, \frac{1}{2}\right)

הגרף חותך את האסימפטוטה האופקית בנקודה הזו

אסימפטוטה אופקית מתארת מה קורה בקצוות. באמצע הגרף מותר לו לחצות אותה — כמו בדוגמה. אסימפטוטה אנכית, לעומת זאת, הגרף לעולם אינו חוצה: שם הפונקציה אינה מוגדרת.

שתי טעויות קלאסיות.

\frac{2x+3}{x-1} \to \frac{3}{-1}=-3

\frac{2x+3}{x-1} \to \frac{2}{1}=2

המספרים החופשיים הם מה שקובע ליד $x=0$ — לא רחוק. רחוק מכריעים האיברים המובילים.

\frac{5-2x}{x+1} \to 5

\frac{5-2x}{x+1} \to -2

האיבר המוביל הוא זה עם החזקה הגבוהה, לא זה שכתוב ראשון.

Exercices

Exercice 1

מהי האסימפטוטה האופקית של $f(x)=\dfrac{3x-1}{x+2}$ ?

$y=3$
$y=-\frac{1}{2}$
$y=0$
$x=-2$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $y=3$

Corrigé :

\frac{3x}{x}=3

מעלות שוות — יחס המקדמים המובילים

$y=-\frac{1}{2}$ הוא יחס המספרים החופשיים — הערך $f(0)$ , לא ההתנהגות רחוק. ו- $x=-2$ היא האסימפטוטה האנכית.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

האסימפטוטה האופקית של $f(x)=\dfrac{4x^2+1}{2x^2-x}$ היא $y=k$ . מהו $k$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

\frac{4x^2}{2x^2}=2

האיברים המובילים

המלכודת: לחשוב שכי יש $-x$ במכנה «אין אסימפטוטה». קובעת רק החזקה הגבוהה, $x^2$ , שמופיעה משני הצדדים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

האסימפטוטה האופקית של $f(x)=\dfrac{7x+2}{x^2+1}$ היא $y=k$ . מהו $k$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0

Corrigé :

7x+2:\ 1,\quad x^2+1:\ 2

מעלת המונה קטנה ממעלת המכנה

f(100)=\frac{702}{10001}\approx 0.07

בדיקה: קרוב לאפס

המלכודת: לענות $7$ , יחס המקדמים. יחס מקדמים נכון רק כשהמעלות שוות; כאן המכנה גדל מהר יותר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

לאיזו פונקציה אין אסימפטוטה אופקית?

$\dfrac{x^2+1}{x-1}$
$\dfrac{x}{x^2-1}$
$\dfrac{x^2+1}{x^2-1}$
$\dfrac{1-x^2}{3x^2}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $\dfrac{x^2+1}{x-1}$

Corrigé :

x^2+1:\ 2,\quad x-1:\ 1

מעלת המונה גדולה ממעלת המכנה

f(100)=\frac{10001}{99}\approx 101

הערכים גדלים ללא גבול

הפונקציה $\frac{1-x^2}{3x^2}$ מבלבלת בגלל המינוס — אבל יש לה אסימפטוטה $y=-\frac{1}{3}$ . רק כשהמונה «חזק» מהמכנה אין אסימפטוטה אופקית.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

נתונה $f(x)=\dfrac{2x+3}{x-1}$ . חשבו את $f(50)$ . עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2.102

Corrigé :

f(50)=\frac{103}{49}

On remplace (מציבים)

\approx 2.102

מחלקים ומעגלים

התשובה $2$ היא המלכודת: הערך קרוב לאסימפטוטה, אבל אינו שווה לה. רחוק ככל שנלך, $f(x) \neq 2$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

נתונה $f(x)=\dfrac{6-3x}{2x+4}$ . השלימו.

האסימפטוטה האנכית היא $x=$ ____, והאסימפטוטה האופקית היא $y=$ ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : האסימפטוטה האנכית היא $x=$ -2, והאסימפטוטה האופקית היא $y=$ -1.5

Corrigé :

\begin{aligned}2x+4 &= 0 \Rightarrow x \\ &= -2\end{aligned}

המונה שם $12 \neq 0$

\frac{-3x}{2x}=-\frac{3}{2}

האיברים המובילים — עם הסימן

המלכודת: $y=\frac{3}{2}$ או $y=\frac{6}{4}$ . האיבר המוביל במונה הוא $-3x$ והמינוס שלו נשאר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

הגרף של פונקציה רציונלית אינו יכול לחתוך את האסימפטוטה האופקית שלו.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

f(x)=\frac{2x}{x^2+1}

דוגמה נגדית: אסימפטוטה $y=0$

f(0)=0

והגרף עובר בנקודה $(0,0)$ שעל האסימפטוטה

הטענה אינה נכונה. אסימפטוטה אופקית מתארת מה קורה כש- $x \to \pm\infty$ בלבד; באמצע מותר לגרף לחצות אותה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

נתונה $f(x)=\dfrac{x^2+3x}{x^2+1}$ . באיזה $x$ הגרף חותך את האסימפטוטה האופקית שלו? תנו תשובה עשרונית, מעוגלת לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.3333333333333333

Corrigé :

y=1

מעלות שוות, יחס מקדמים $1$

x^2+3x=x^2+1

משווים את $f$ ל- $1$

\begin{aligned}3x &= 1 \Rightarrow x \\ &= \frac{1}{3}\approx 0.333\end{aligned}

האיבר $x^2$ מצטמצם

המלכודת: לחשוב שאין פתרון «כי לא נוגעים באסימפטוטה». ה- $x^2$ מצטמצם, ונשארת משוואה ממעלה ראשונה עם פתרון יחיד.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

התאימו לכל פונקציה את האסימפטוטה האופקית שלה.

$\dfrac{2x+1}{x-3}$
$\dfrac{x+1}{x^2-3}$
$\dfrac{1-4x^2}{2x^2+x}$
$\dfrac{x^2}{x+1}$

$y=-2$
$y=0$
$y=2$
אין אסימפטוטה אופקית

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $\dfrac{2x+1}{x-3}$ — $y=2$ · $\dfrac{x+1}{x^2-3}$ — $y=0$ · $\dfrac{1-4x^2}{2x^2+x}$ — $y=-2$ · $\dfrac{x^2}{x+1}$ — אין אסימפטוטה אופקית

Corrigé :

\frac{2x}{x}=2

מעלות שוות

1<2 \Rightarrow y=0

מעלת המונה קטנה

\frac{-4x^2}{2x^2}=-2

האיבר המוביל שלילי

2>1

מעלת המונה גדולה

ב- $\frac{1-4x^2}{2x^2+x}$ המוביל הוא $-4x^2$ , והמינוס שלו קובע את הסימן: $y=-2$ ולא $y=2$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

עבור איזה ערך של $a$ האסימפטוטה האופקית של $f(x)=\dfrac{ax-3}{2x+1}$ היא $y=4$ ?

$a=8$
$a=2$
$a=-12$
$a=4$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $a=8$

Corrigé :

\frac{ax}{2x}=\frac{a}{2}

האסימפטוטה האופקית

\begin{aligned}\frac{a}{2} &= 4 \Rightarrow a \\ &= 8\end{aligned}

משווים ל- $4$

$a=4$ שוכח לחלק במקדם של המכנה, ו- $a=2$ מחלק במקום לכפול. ו- $a=-12$ מערב את המספר החופשי $-3$ בחישוב — אבל רחוק הוא אינו משפיע: קובעים רק $ax$ ו- $2x$ .

Vérifier la réponse sur elev

טבלת ערכים

למה דווקא 222?

Exercices

La suite se pratique sur elev

למה דווקא $2$ ?