Série 4 — avancé

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

עשר שאלות מתקדמות: שני תנאים בשאלה אחת, קריאה מגרף, 1f\frac{1}{f}, מינימום שאינו מספר שלם, «האם ייתכן», והוכחה כללית.

בשאלה עם פרמטר, כתבו במילים על מה התנאי: על ff (נקודה על הגרף) או על f′f' (שיפוע, משיק, קיצון). משם המשוואה כותבת את עצמה.

Exercices

Exercice 1

לגרף של f(x)=ax2+4xf(x)=\dfrac{ax^2+4}{x} יש משיק אופקי בנקודה שבה x=1x=1. מהו aa?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

f′(x)=2ax⋅x−(ax2+4)x2=ax2−4x2\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2ax \cdot x-(ax^2+4)}{x^2} \\ &= \frac{ax^2-4}{x^2}\end{aligned}

כלל המנה

f′(1)=a−4=0\begin{aligned}f'(1) &= a-4 \\ &= 0\end{aligned}

משיק אופקי

a=4a=4

On résout

המלכודת: להשוות את f(1)f(1) לאפס (a=−4a=-4). משיק אופקי הוא תנאי על השיפוע.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

נתונה f(x)=x2−6x+5f(x)=x^2-6x+5 ו-g(x)=1f(x)g(x)=\dfrac{1}{f(x)}. השלימו.

האסימפטוטות האנכיות של gg: x=x= ____ (הקטנה) ו-x=x= ____. ל-gg נקודת מקסימום שבה x=x= ____ ו-y=y= ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : האסימפטוטות האנכיות של gg: x=x= 1 (הקטנה) ו-x=x= 5. ל-gg נקודת מקסימום שבה x=x= 3 ו-y=y= -0.25

Corrigé :

x2−6x+5=(x−1)(x−5)x^2-6x+5=(x-1)(x-5)

השורשים של ff — הקירות של gg

f′(3)=0 f(3)=−4\begin{aligned}f'(3) &= 0 \\ \ f(3) &= -4\end{aligned}

המינימום של ff

g(3)=−14g(3)=-\frac{1}{4}

הופך למקסימום של gg

המלכודת: y=−4y=-4 — זה הגובה של ff. הגובה של gg הוא ההופכי, −0.25-0.25.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

x = 1-4-3-2-10123456-8-6-4-224681012xy

בציור הגרף של f(x)=x2x−1f(x)=\dfrac{x^2}{x-1}, עם נקודות הקיצון שלו. באיזה תחום f′(x)<0f'(x)<0?

  1. 0<x<10<x<1 או 1<x<21<x<2
  2. x<1x<1
  3. x<0x<0 או x>2x>2
  4. 0<x<20<x<2
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A 0<x<10<x<1 או 1<x<21<x<2

Corrigé :

f′(x)=x(x−2)(x−1)2f'(x)=\frac{x(x-2)}{(x-1)^2}

הנגזרת

f′<0  ⟺  0<x<2, x≠1f'<0 \iff 0<x<2,\ x \neq 1

המונה שלילי בין השורשים

0<x<1, 1<x<20<x<1,\ 1<x<2

בלי הקיר

0<x<20<x<2 נראה נכון בציור — אבל x=1x=1 אינו בתחום, ו-f′f' אינה מוגדרת שם. תחום שכולל קיר אינו תחום ירידה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

הגרף של f(x)=x2−2x+kx−1f(x)=\dfrac{x^2-2x+k}{x-1} עובר בנקודה (2,3)(2,3). מצאו את kk, ואז את שיעור ה-yy של נקודת המינימום של ff. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2.8284271247461903

Corrigé :

4−4+k1=3⇒k=3\begin{aligned}\frac{4-4+k}{1} &= 3 \Rightarrow k \\ &= 3\end{aligned}

הנקודה על הגרף

f′(x)=x2−2x−1(x−1)2f'(x)=\frac{x^2-2x-1}{(x-1)^2}

כלל המנה

x=1±2x=1 \pm \sqrt{2}

המונה מתאפס

min⁡: x=1+2f=42=22≈2.83\begin{aligned}\min:\ x &= 1+\sqrt{2} \\ \quad f &= \frac{4}{\sqrt{2}} \\ &= 2\sqrt{2}\approx 2.83\end{aligned}

מ-−- ל-++

המלכודת: לענות −2.83-2.83, הערך ב-1−21-\sqrt{2}. זו נקודת מקסימום, בענף השמאלי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

הגרף של f(x)=x3−4xx−2f(x)=\dfrac{x^3-4x}{x-2} הוא פרבולה שלמה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

x3−4x=x(x2−4)=x(x−2)(x+2)\begin{aligned}x^3-4x &= x(x^2-4) \\ &= x(x-2)(x+2)\end{aligned}

מוציאים xx גורם משותף, ואז הפרש ריבועים

f(x)=x(x+2)=x2+2xx≠2\begin{aligned}f(x) &= x(x+2) \\ &= x^2+2x \\ \quad x \neq 2\end{aligned}

מצמצמים — והתנאי נשאר

22+2⋅2=82^2+2 \cdot 2=8

חור בנקודה (2,8)(2,8)

הטענה אינה נכונה: זו פרבולה עם חור ב-(2,8)(2,8). הצמצום נותן ביטוי של פרבולה, אבל x=2x=2 נפל מתחום ההגדרה עוד לפני שצמצמנו.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

האם ייתכן שלפונקציה רציונלית יש אסימפטוטה אופקית y=0y=0 וגם נקודת מינימום שבה y<0y<0?

  1. לא, כי הגרף מתקרב ל-00 מלמעלה
  2. לא, כי המינימום חייב להיות מעל האסימפטוטה
  3. כן, אבל רק כשיש גם אסימפטוטה אנכית
  4. כן, למשל xx2+1\dfrac{x}{x^2+1} עם מינימום (−1,−12)\left(-1,-\frac{1}{2}\right)
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D כן, למשל xx2+1\dfrac{x}{x^2+1} עם מינימום (−1,−12)\left(-1,-\frac{1}{2}\right)

Corrigé :

f′(x)=1−x2(x2+1)2f'(x)=\frac{1-x^2}{(x^2+1)^2}

כלל המנה

x=−1: − → +x=-1:\ -\ \to\ +

מינימום

f(−1)=−12<0f(-1)=-\frac{1}{2}<0

הגובה

הגרף יכול להתקרב לאסימפטוטה מלמטה בצד אחד ומלמעלה בצד השני. xx2+1\frac{x}{x^2+1} מגיעה ל-−12-\frac{1}{2} בלי שום קיר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

המשיק לגרף של f(x)=xx−1f(x)=\dfrac{x}{x-1} בנקודה שבה x=2x=2 חותך את האסימפטוטה האופקית. באיזה xx?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

f(2)=2f′(x)=−1(x−1)2 f′(2)=−1\begin{aligned}f(2) &= 2 \\ \quad f'(x) &= \frac{-1}{(x-1)^2} \\ \ f'(2) &= -1\end{aligned}

הנקודה והשיפוע

y=−x+4y=-x+4

המשיק

y=1⇒x=3\begin{aligned}y &= 1 \Rightarrow x \\ &= 3\end{aligned}

האסימפטוטה האופקית y=1y=1

המלכודת: לחתוך עם ציר ה-xx (x=4x=4). האסימפטוטה האופקית כאן היא y=1y=1, לא y=0y=0.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

התאימו לכל פונקציה את התיאור שלה.

  • x+1x2−1\dfrac{x+1}{x^2-1}
  • x+1x2+1\dfrac{x+1}{x^2+1}
  • x2+1x2−1\dfrac{x^2+1}{x^2-1}
  • x2−1x−1\dfrac{x^2-1}{x-1}
  • אין אסימפטוטה אנכית
  • נקודה סליקה ואסימפטוטה אנכית אחת
  • נקודה סליקה, ואין אף אסימפטוטה
  • שתי אסימפטוטות אנכיות
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : x+1x2−1\dfrac{x+1}{x^2-1} — נקודה סליקה ואסימפטוטה אנכית אחת · x+1x2+1\dfrac{x+1}{x^2+1} — אין אסימפטוטה אנכית · x2+1x2−1\dfrac{x^2+1}{x^2-1} — שתי אסימפטוטות אנכיות · x2−1x−1\dfrac{x^2-1}{x-1} — נקודה סליקה, ואין אף אסימפטוטה

Corrigé :

x+1(x−1)(x+1)=1x−1\frac{x+1}{(x-1)(x+1)}=\frac{1}{x-1}

חור ב-−1-1, קיר ב-11

x2+1>0x^2+1>0

אין קירות

x=±1 מונה 2\begin{aligned}x &= \pm 1 \\ \ \text{מונה } 2\end{aligned}

שני קירות

x2−1x−1=x+1\frac{x^2-1}{x-1}=x+1

ישר עם חור — וגם אין אופקית

x2−1x−1\frac{x^2-1}{x-1} היא ישר עם חור: אין קיר, ומעלת המונה גדולה — אין גם אסימפטוטה אופקית.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

נתונה f(x)=2x+bx−3f(x)=\dfrac{2x+b}{x-3}. המשיק בנקודה שבה x=4x=4 מקביל לישר y=−11xy=-11x. מהו bb?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 5

Corrigé :

f′(x)=2(x−3)−(2x+b)(x−3)2=−6−b(x−3)2\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2(x-3)-(2x+b)}{(x-3)^2} \\ &= \frac{-6-b}{(x-3)^2}\end{aligned}

כלל המנה

f′(4)=−6−b=−11\begin{aligned}f'(4) &= -6-b \\ &= -11\end{aligned}

מקביל — אותו שיפוע

b=5b=5

On résout

המלכודת: −(2x+b)=−2x−b-(2x+b)=-2x-b. מי שכותב +b+b מקבל b=−5b=-5.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

נתון ש-f′(x)>0f'(x)>0 ו-f(x)≠0f(x) \neq 0 לכל xx. הוכיחו כי g(x)=1f(x)g(x)=\dfrac{1}{f(x)} יורדת.

  • f′(x)>0f'(x)>0 לכל xx
  • f(x)≠0f(x) \neq 0 לכל xx

gg יורדת

Voir la réponse et le corrigé
  1. g′(x)=−f′(x)[f(x)]2g'(x)=\dfrac{-f'(x)}{[f(x)]^2} — כלל המנה עם מונה 11
  2. [f(x)]2>0[f(x)]^2>0 — ריבוע של מספר שונה מאפס
  3. −f′(x)<0-f'(x)<0 — נתון f′(x)>0f'(x)>0
  4. g′(x)<0g'(x)<0 — שלילי חלקי חיובי
  5. gg יורדת — נגזרת שלילית — הפונקציה יורדת

Corrigé :

g′(x)=−f′(x)[f(x)]2g'(x)=\dfrac{-f'(x)}{[f(x)]^2}

כלל המנה עם מונה 11

[f(x)]2>0[f(x)]^2>0

ריבוע של מספר שונה מאפס

−f′(x)<0-f'(x)<0

נתון f′(x)>0f'(x)>0

g′(x)<0g'(x)<0

שלילי חלקי חיובי

המלכודת: לחשוב שהסימן של gg תלוי בסימן של ff. gg יכולה להיות חיובית או שלילית — אבל הנגזרת שלה שלילית תמיד.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe