Série 3 — difficile

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

עשר שאלות מאתגרות: פרמטר בנגזרת, חור וקיר יחד, קיצון בשני ענפים, משיקים מאונכים, 1g\frac{1}{g} והוכחה.

כשיש שני ענפים, אל תשוו גובה של מקסימום לגובה של מינימום. כל קיצון נבדק רק בסביבה שלו.

Exercices

Exercice 1

נתונה f(x)=ax+2x−1f(x)=\dfrac{ax+2}{x-1}, ונתון f′(2)=−5f'(2)=-5. מהו aa?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

f′(x)=a(x−1)−(ax+2)(x−1)2=−a−2(x−1)2\begin{aligned}f'(x) &= \frac{a(x-1)-(ax+2)}{(x-1)^2} \\ &= \frac{-a-2}{(x-1)^2}\end{aligned}

כלל המנה — ה-axax מצטמצם

f′(2)=−a−2=−5\begin{aligned}f'(2) &= -a-2 \\ &= -5\end{aligned}

On remplace (מציבים)

a=3a=3

On résout

המלכודת: להשאיר axax במונה. a(x−1)−(ax+2)=ax−a−ax−2a(x-1)-(ax+2)=ax-a-ax-2 — ה-xx נעלם.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

נתונה f(x)=x2−x−2x2−4f(x)=\dfrac{x^2-x-2}{x^2-4}. השלימו.

נקודה סליקה ב-x=x= ____, בגובה y=y= ____. אסימפטוטה אנכית: x=x= ____. אסימפטוטה אופקית: y=y= ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : נקודה סליקה ב-x=x= 2, בגובה y=y= 0.75. אסימפטוטה אנכית: x=x= -2. אסימפטוטה אופקית: y=y= 1

Corrigé :

(x−2)(x+1)(x−2)(x+2)=x+1x+2 x≠2\begin{aligned}\frac{(x-2)(x+1)}{(x-2)(x+2)} &= \frac{x+1}{x+2} \\ \ x \neq 2\end{aligned}

מצמצמים

x=2: 34x=2:\ \frac{3}{4}

החור

x=−2x=-2

המכנה המצומצם מתאפס

y=1y=1

מעלות שוות

המלכודת: פירוק x2−x−2x^2-x-2. השורשים הם 22 ו-−1-1 — ולכן הגורם x−2x-2 משותף.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

מהן נקודות הקיצון של f(x)=x2−3x−2f(x)=\dfrac{x^2-3}{x-2}?

  1. מקסימום (1,0)(1,0), מינימום (3,0)(3,0)
  2. מקסימום (1,2)(1,2), מינימום (3,6)(3,6)
  3. מינימום (2,4)(2,4) בלבד
  4. מינימום (1,2)(1,2), מקסימום (3,6)(3,6)
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B מקסימום (1,2)(1,2), מינימום (3,6)(3,6)

Corrigé :

f′(x)=2x(x−2)−(x2−3)(x−2)2=x2−4x+3(x−2)2\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2x(x-2)-(x^2-3)}{(x-2)^2} \\ &= \frac{x^2-4x+3}{(x-2)^2}\end{aligned}

כלל המנה

(x−1)(x−3)=0(x-1)(x-3)=0

המונה מתאפס

+, −, −, ++,\ -,\ -,\ +

הסימנים: לפני 11, בין 11 ל-22, בין 22 ל-33, אחרי 33

f(1)=−2−1=2 f(3)=6\begin{aligned}f(1) &= \frac{-2}{-1} \\ &= 2 \\ \ f(3) &= 6\end{aligned}

ערכים

המינימום (3,6)(3,6) גבוה מהמקסימום (1,2)(1,2) — וזה נכון: הם בענפים שונים. מי שמתקן «כי מקסימום צריך להיות גבוה» הופך את התשובה לשגויה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

PABOy = 4/x?0606xy

נתונה הפונקציה f(x)=4xf(x)=\dfrac{4}{x}. בנקודה PP שעל הגרף, שבה x=2x=2, מעבירים משיק לגרף. המשיק חותך את ציר ה-xx בנקודה AA ואת ציר ה-yy בנקודה BB, ו-OO היא ראשית הצירים (ראו שרטוט). מהו השטח של △AOB\triangle AOB?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 8

Corrigé :

f(2)=42=2  ⇒  P(2,2)\begin{aligned}f(2) &= \frac{4}{2} \\ &= 2 \;\Rightarrow\; P(2,2)\end{aligned}

מוצאים את נקודת ההשקה: מציבים x=2x=2 בפונקציה.

f′(x)=−4x2  ⇒  f′(2)=−44=−1\begin{aligned}f'(x) &= -\frac{4}{x^2} \;\Rightarrow\; f'(2) \\ &= -\frac{4}{4} \\ &= -1\end{aligned}

שיפוע המשיק הוא ערך הנגזרת בנקודת ההשקה.

y−2=−1⋅(x−2)  ⇒  y=−x+4\begin{aligned}y-2 &= -1\cdot(x-2) \;\Rightarrow\; y \\ &= -x+4\end{aligned}

משוואת ישר לפי נקודה ושיפוע.

y=0: x=4⇒A(4,0)x=0: y=4⇒B(0,4)\begin{aligned}y &= 0:\ x \\ &= 4 \Rightarrow A(4,0) \qquad x \\ &= 0:\ y \\ &= 4 \Rightarrow B(0,4)\end{aligned}

נקודות החיתוך של המשיק עם הצירים: מציבים y=0y=0 ואחר כך x=0x=0 במשוואת המשיק.

SAOB=OA⋅OB2=4⋅42=8\begin{aligned}S_{AOB} &= \frac{OA\cdot OB}{2} \\ &= \frac{4\cdot 4}{2} \\ &= 8\end{aligned}

המשולש ישר-זווית בראשית, והניצבים שלו הם OAOA ו-OBOB.

השטח הוא 88. המלכודת: להציב x=0x=0 או y=0y=0 בפונקציה ff במקום במשוואת המשיק. הפונקציה 4x\frac{4}{x} לא חותכת את הצירים בכלל — רק המשיק חותך אותם.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

אם ל-gg יש מינימום ב-x=ax=a ו-g(a)>0g(a)>0, אז לפונקציה f(x)=1g(x)f(x)=\dfrac{1}{g(x)} יש מקסימום ב-x=ax=a.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

f′(x)=−g′(x)[g(x)]2f'(x)=\frac{-g'(x)}{[g(x)]^2}

כלל המנה

g′: − → +⇒f′: + → −g':\ -\ \to\ + \Rightarrow f':\ +\ \to\ -

הסימן מתהפך

g(a)>0⇒a∈Dfg(a)>0 \Rightarrow a \in D_f

והנקודה בתחום

הטענה נכונה. הערך הנמוך ביותר של gg נותן את הגבוה ביותר של 1g\frac{1}{g} — בתנאי ש-gg לא מתאפסת שם.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

כמה פתרונות יש למשוואה 4xx2+1=2\dfrac{4x}{x^2+1}=2?

  1. 33
  2. 11
  3. 00
  4. 22
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B 11

Corrigé :

4x=2x2+24x=2x^2+2

כופלים במכנה החיובי

x2−2x+1=(x−1)2=0\begin{aligned}x^2-2x+1 &= (x-1)^2 \\ &= 0\end{aligned}

משוואה ריבועית

x=1x=1

פתרון יחיד

הסבר גרפי: 22 הוא בדיוק הערך המקסימלי של ff (ב-x=1x=1). קו אופקי בגובה המקסימום נוגע בגרף בנקודה אחת.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

בנקודות שעל הגרף של f(x)=2x+1xf(x)=\dfrac{2x+1}{x} המשיק מאונך לישר y=x+5y=x+5. מהו סכום שיעורי ה-yy של הנקודות האלה?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

m=−1m=-1

מאונך לשיפוע 11

f′(x)=2x−(2x+1)x2=−1x2\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2x-(2x+1)}{x^2} \\ &= -\frac{1}{x^2}\end{aligned}

כלל המנה

−1x2=−1⇒x=±1\begin{aligned}-\frac{1}{x^2} &= -1 \Rightarrow x \\ &= \pm 1\end{aligned}

שתי נקודות

f(1)+f(−1)=3+1=4\begin{aligned}f(1)+f(-1) &= 3+1 \\ &= 4\end{aligned}

סכום הגבהים

שתי מלכודות: לחפש שיפוע 11 (מקביל במקום מאונך), ולשכוח את x=−1x=-1.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

נתונה f(x)=x2x+2f(x)=\dfrac{x^2}{x+2}. מיינו את התחומים.

  • ff עולה
  • ff יורדת
  • −2<x<0-2<x<0
  • −4<x<−2-4<x<-2
  • x<−4x<-4
  • x>0x>0
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : x<−4x<-4 — ff עולה · −4<x<−2-4<x<-2 — ff יורדת · −2<x<0-2<x<0 — ff יורדת · x>0x>0 — ff עולה

Corrigé :

f′(x)=x2+4x(x+2)2=x(x+4)(x+2)2\begin{aligned}f'(x) &= \frac{x^2+4x}{(x+2)^2} \\ &= \frac{x(x+4)}{(x+2)^2}\end{aligned}

הנגזרת

f′(−5)=59>0 f′(−3)=−3<0\begin{aligned}f'(-5) &= \frac{5}{9}>0 \\ \ f'(-3) &= -3<0\end{aligned}

בדיקות משמאל לקיר

f′(−1)=−3<0 f′(1)=59>0\begin{aligned}f'(-1) &= -3<0 \\ \ f'(1) &= \frac{5}{9}>0\end{aligned}

בדיקות מימין לקיר

המלכודת: להפוך סימן בקיר x=−2x=-2. מכנה f′f' בריבוע — ff יורדת משני צדי הקיר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

תלמיד מצא את האסימפטוטות של f(x)=3−x22x2+1f(x)=\dfrac{3-x^2}{2x^2+1}. שורה אחת שגויה — מצאו אותה.

2x2+1≥12x^2+1 \geq 1
אין אסימפטוטה אנכית\text{אין אסימפטוטה אנכית}
y=32y=\frac{3}{2}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : y=32y=\frac{3}{2} → y=−12y=-\frac{1}{2}

Corrigé :

−x22x2=−12\frac{-x^2}{2x^2}=-\frac{1}{2}

האיברים המובילים

32\frac{3}{2} מתקבל מלקיחת המספרים שכתובים ראשונים, 33 ו-22. רחוק מכריעים האיברים המובילים, −x2-x^2 ו-2x22x^2 — ולכן y=−12y=-\frac{1}{2}.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

נתונה f(x)=x2+1xf(x)=\dfrac{x^2+1}{x}. הוכיחו כי f′(x)=1−1x2f'(x)=1-\dfrac{1}{x^2}.

  • f(x)=x2+1xf(x)=\dfrac{x^2+1}{x}, x≠0x \neq 0

f′(x)=1−1x2f'(x)=1-\dfrac{1}{x^2}

Voir la réponse et le corrigé
  1. f′(x)=2x⋅x−(x2+1)⋅1x2f'(x)=\dfrac{2x \cdot x-(x^2+1) \cdot 1}{x^2} — כלל המנה
  2. f′(x)=x2−1x2f'(x)=\dfrac{x^2-1}{x^2} — פתיחת סוגריים וכינוס
  3. f′(x)=x2x2−1x2f'(x)=\dfrac{x^2}{x^2}-\dfrac{1}{x^2} — פירוק השבר לשני שברים
  4. f′(x)=1−1x2f'(x)=1-\dfrac{1}{x^2} — צמצום, כי x≠0x \neq 0

Corrigé :

f′(x)=2x⋅x−(x2+1)⋅1x2f'(x)=\dfrac{2x \cdot x-(x^2+1) \cdot 1}{x^2}

כלל המנה

f′(x)=x2−1x2f'(x)=\dfrac{x^2-1}{x^2}

פתיחת סוגריים וכינוס

f′(x)=x2x2−1x2f'(x)=\dfrac{x^2}{x^2}-\dfrac{1}{x^2}

פירוק השבר לשני שברים

f′(x)=1−1x2f'(x)=1-\dfrac{1}{x^2}

צמצום, כי x≠0x \neq 0

דרך קצרה לבדיקה: f(x)=x+1xf(x)=x+\frac{1}{x}, ולכן f′(x)=1−1x2f'(x)=1-\frac{1}{x^2} מיד. המלכודת בכלל המנה: 2x⋅x−x2−12x \cdot x-x^2-1, עם המינוס על שני האיברים.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe