Série 2 — moyen

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

עשר שאלות בינוניות: חור וקיר באותה פונקציה, ערך מקסימלי, משיק, סימן הפונקציה, וטבלה שנפלה בקיר.

בכל שאלה של קיצון או של סימן, כתבו קודם את תחום ההגדרה — ורק אחר כך את הטבלה.

Exercices

Exercice 1

נתונה f(x)=2x−1x+1f(x)=\dfrac{2x-1}{x+1}. חשבו את f′(0)f'(0).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

f′(x)=2(x+1)−(2x−1)(x+1)2=3(x+1)2\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2(x+1)-(2x-1)}{(x+1)^2} \\ &= \frac{3}{(x+1)^2}\end{aligned}

כלל המנה

f′(0)=3f'(0)=3

On remplace (מציבים)

המלכודת: −(2x−1)=−2x+1-(2x-1)=-2x+1. מי שמחסר רק את 2x2x מקבל מונה 11 ותשובה 11.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

נתונה f(x)=x2−25x+5f(x)=\dfrac{x^2-25}{x+5}. מה יש בגרף ב-x=−5x=-5?

  1. אסימפטוטה אנכית x=−5x=-5
  2. נקודה סליקה (5,10)(5,10)
  3. נקודה סליקה (−5,−10)(-5,-10)
  4. נקודה סליקה (−5,0)(-5,0)
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C נקודה סליקה (−5,−10)(-5,-10)

Corrigé :

(x−5)(x+5)x+5=x−5 x≠−5\begin{aligned}\frac{(x-5)(x+5)}{x+5} &= x-5 \\ \ x \neq -5\end{aligned}

מצמצמים

−5−5=−10-5-5=-10

הגובה של החור

(−5,0)(-5,0) מציב במונה המקורי. אסימפטוטה אין — המונה מתאפס יחד עם המכנה והגורם מצטמצם.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

נתונה f(x)=3x2x2−4f(x)=\dfrac{3x^2}{x^2-4}. השלימו.

האסימפטוטות האנכיות: x=x= ____ (הקטנה) ו-x=x= ____. האסימפטוטה האופקית: y=y= ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : האסימפטוטות האנכיות: x=x= -2 (הקטנה) ו-x=x= 2. האסימפטוטה האופקית: y=y= 3

Corrigé :

x2−4=0⇒x=±2\begin{aligned}x^2-4 &= 0 \Rightarrow x \\ &= \pm 2\end{aligned}

המכנה

3⋅4=12≠03 \cdot 4=12 \neq 0

המונה לא מתאפס שם

3x2x2=3\frac{3x^2}{x^2}=3

האופקית

המלכודת: לכתוב רק x=2x=2. ל-x2=4x^2=4 שני פתרונות, ולכן שני קירות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

מיינו: אסימפטוטה אנכית או נקודה סליקה, בערך המסומן?

  • אסימפטוטה אנכית
  • נקודה סליקה
  • 1x2\dfrac{1}{x^2} ב-x=0x=0
  • xx2−4\dfrac{x}{x^2-4} ב-x=2x=2
  • x2−1x−1\dfrac{x^2-1}{x-1} ב-x=1x=1
  • x2+2xx2−4\dfrac{x^2+2x}{x^2-4} ב-x=−2x=-2
  • x2+2xx2−4\dfrac{x^2+2x}{x^2-4} ב-x=2x=2
  • x3−xx\dfrac{x^3-x}{x} ב-x=0x=0
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : x2−1x−1\dfrac{x^2-1}{x-1} ב-x=1x=1 — נקודה סליקה · xx2−4\dfrac{x}{x^2-4} ב-x=2x=2 — אסימפטוטה אנכית · x2+2xx2−4\dfrac{x^2+2x}{x^2-4} ב-x=−2x=-2 — נקודה סליקה · x2+2xx2−4\dfrac{x^2+2x}{x^2-4} ב-x=2x=2 — אסימפטוטה אנכית · 1x2\dfrac{1}{x^2} ב-x=0x=0 — אסימפטוטה אנכית · x3−xx\dfrac{x^3-x}{x} ב-x=0x=0 — נקודה סליקה

Corrigé :

x(x+2)(x−2)(x+2)=xx−2\frac{x(x+2)}{(x-2)(x+2)}=\frac{x}{x-2}

חור ב-−2-2, קיר ב-22

x3−xx=x2−1\frac{x^3-x}{x}=x^2-1

חור ב-00

x2−1x−1=x+1\frac{x^2-1}{x-1}=x+1

חור ב-11

באותה פונקציה x2+2xx2−4\frac{x^2+2x}{x^2-4} יש גם חור וגם קיר: הגורם x+2x+2 מצטמצם, x−2x-2 נשאר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

מהו הערך הגדול ביותר של f(x)=xx2+9f(x)=\dfrac{x}{x^2+9}? עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.16666666666666666

Corrigé :

f′(x)=9−x2(x2+9)2f'(x)=\frac{9-x^2}{(x^2+9)^2}

כלל המנה

x=±3x=\pm 3

המונה מתאפס

max⁡: x=3\max:\ x=3

מ-++ ל-−-

f(3)=318=16≈0.167\begin{aligned}f(3) &= \frac{3}{18} \\ &= \frac{1}{6}\approx 0.167\end{aligned}

La valeur

המלכודת: לענות 33 — מקום המקסימום. הערך הוא f(3)f(3).

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

מהי משוואת המשיק לגרף של f(x)=x+1xf(x)=\dfrac{x+1}{x} בנקודה שבה x=1x=1?

  1. y=−x+2y=-x+2
  2. y=−2x+4y=-2x+4
  3. y=x+1y=x+1
  4. y=−x+3y=-x+3
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D y=−x+3y=-x+3

Corrigé :

f(1)=2f(1)=2

הנקודה (1,2)(1,2)

f′(x)=x−(x+1)x2=−1x2 f′(1)=−1\begin{aligned}f'(x) &= \frac{x-(x+1)}{x^2} \\ &= -\frac{1}{x^2} \\ \ f'(1) &= -1\end{aligned}

השיפוע

y−2=−(x−1)⇒y=−x+3\begin{aligned}y-2 &= -(x-1) \Rightarrow y \\ &= -x+3\end{aligned}

המשוואה

בדיקה שחוסכת טעויות: המשיק חייב לעבור ב-(1,2)(1,2). y=−x+2y=-x+2 נותן שם 11 — לא עובר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

הפונקציה f(x)=x−1x+1f(x)=\dfrac{x-1}{x+1} עולה בכל אחד מתחומי ההגדרה שלה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

f′(x)=(x+1)−(x−1)(x+1)2=2(x+1)2\begin{aligned}f'(x) &= \frac{(x+1)-(x-1)}{(x+1)^2} \\ &= \frac{2}{(x+1)^2}\end{aligned}

כלל המנה

2(x+1)2>0\frac{2}{(x+1)^2}>0

חיובית לכל x≠−1x \neq -1

הטענה נכונה — בכל ענף בנפרד. הניסוח «עולה לכל xx» היה שגוי: f(−2)=3>f(0)=−1f(-2)=3>f(0)=-1.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

באיזה xx חותך הגרף של f(x)=2x2+xx2+1f(x)=\dfrac{2x^2+x}{x^2+1} את האסימפטוטה האופקית שלו?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

y=2y=2

יחס המקדמים המובילים

2x2+x=2x2+22x^2+x=2x^2+2

משווים ל-22

x=2x=2

On résout

המלכודת: לחשוב «אסימפטוטה — לא חותכים». את האופקית מותר לחצות, וה-2x22x^2 מצטמצם: נשארת משוואה ממעלה ראשונה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

תלמיד חקר את f(x)=x2x+3f(x)=\dfrac{x^2}{x+3}. שורה אחת שגויה — מצאו אותה.

f′(x)=2x(x+3)−x2(x+3)2f'(x)=\frac{2x(x+3)-x^2}{(x+3)^2}
=x2+6x(x+3)2=\frac{x^2+6x}{(x+3)^2}
f′(x)=0⇒x=0 x=−6\begin{aligned}f'(x) &= 0 \Rightarrow x \\ &= 0 \\ \ x &= -6\end{aligned}
x=−3: נקודת קיצוןx=-3:\ \text{נקודת קיצון}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : x=−3: נקודת קיצוןx=-3:\ \text{נקודת קיצון} → x=−3∉D: אסימפטוטהx=-3 \notin D:\ \text{אסימפטוטה}

Corrigé :

x+3≠0x+3 \neq 0

תחום ההגדרה

x=0 x=−6\begin{aligned}x &= 0 \\ \ x &= -6\end{aligned}

הנקודות החשודות היחידות

המכנה של הנגזרת אינו מייצר נקודות קיצון — הוא מסמן קיר. הקיצון רק היכן שהמונה מתאפס.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

באיזה תחום f(x)=x−4x+2f(x)=\dfrac{x-4}{x+2} שלילית?

  1. −2<x<4-2<x<4
  2. x<4x<4
  3. x<−2x<-2 או x>4x>4
  4. −4<x<2-4<x<2
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A −2<x<4-2<x<4

Corrigé :

x=4 x=−2\begin{aligned}x &= 4 \\ \ x &= -2\end{aligned}

הסימן יכול להתחלף רק כאן

f(0)=−2<0f(0)=-2<0

בדיקה בתחום האמצעי

x<4x<4 שוכח את הקיר x=−2x=-2: שם הסימן מתחלף. ו-−4<x<2-4<x<2 הופך את הסימנים של שני השורשים.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe