Tangente au graphe d'une fonction rationnelle

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

משיק לגרף של פונקציה רציונלית נמצא בדיוק כמו משיק לפולינום — שלושה צעדים. ההבדל היחיד: הנגזרת באה מכלל המנה, והנקודה חייבת להיות בתחום ההגדרה.

y0=f(x0)y_0=f(x_0)

הנקודה: מציבים את x0x_0 בפונקציה.

m=f′(x0)m=f'(x_0)

השיפוע: גוזרים, ומציבים את x0x_0 בנגזרת.

y−y0=m(x−x0)y-y_0=m(x-x_0)

המשוואה: ישר דרך נקודה בשיפוע נתון.

האם אפשר למצוא משיק לגרף של f(x)=x+3x−1f(x)=\dfrac{x+3}{x-1} בנקודה שבה x=1x=1?

Voir la réponse et le corrigé

לא. x=1x=1 אינו בתחום ההגדרה — אין שם נקודה על הגרף, ולכן אין במה לגעת. שם עוברת האסימפטוטה האנכית.

משיק בשיפוע נתון

לפעמים נתון הכיוון של המשיק ולא הנקודה: «מקביל לישר», «מאונך לישר», «אופקי». אז התנאי הוא על הנגזרת: f′(x)=mf'(x)=m, ופותרים כדי למצוא את xx.

האם לגרף של f(x)=x+3x−1f(x)=\dfrac{x+3}{x-1} יש משיק המקביל לישר y=xy=x?

Voir la réponse et le corrigé

לא. צריך f′(x)=1f'(x)=1, אבל f′(x)=−4(x−1)2f'(x)=\frac{-4}{(x-1)^2} שלילית תמיד. אין אף נקודה על הגרף שבה השיפוע חיובי.

משיק להיפרבולה והמשולש שלו

מצאו את המשיק ל-y=1xy=\dfrac{1}{x} בנקודה שבה x=2x=2, ואת שטח המשולש שהוא יוצר עם הצירים.

y0=12m=−14\begin{aligned}y_0 &= \frac{1}{2} \\ \quad m &= -\frac{1}{4}\end{aligned}

הנקודה והשיפוע

y−12=−14(x−2)⇒y=−14x+1\begin{aligned}y-\frac{1}{2} &= -\frac{1}{4}(x-2) \Rightarrow y \\ &= -\frac{1}{4}x+1\end{aligned}

המשוואה

x=0⇒y=1;y=0⇒x=4\begin{aligned}x &= 0 \Rightarrow y \\ &= 1;\quad y \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= 4\end{aligned}

נקודות החיתוך עם הצירים

S=4⋅12=2\begin{aligned}S &= \frac{4 \cdot 1}{2} \\ &= 2\end{aligned}

שטח המשולש

המשיק ל-y = 1/x בנקודה שבה x = 2
(2, 1/2)0123450123xy

חזרו על החישוב בנקודה שבה x=1x=1. מה השטח עכשיו?

Voir la réponse et le corrigé

המשיק y=−x+2y=-x+2 חותך את הצירים ב-(2,0)(2,0) וב-(0,2)(0,2), והשטח 2⋅22=2\frac{2 \cdot 2}{2}=2 — שוב 22. למשיקים ל-1x\frac{1}{x} יש תכונה מיוחדת: השטח הזה אינו תלוי בנקודה.

בכל שאלת משיק, כתבו בצד שתי הצבות: x0x_0 בפונקציה (לגובה), x0x_0 בנגזרת (לשיפוע). ערבוב ביניהן הוא הטעות השכיחה ביותר.

שתי טעויות במשוואת המשיק.

y−3=−4(x−1)2(x−3)y-3=\frac{-4}{(x-1)^2}(x-3)
y−3=−1⋅(x−3)y-3=-1 \cdot (x-3)

השיפוע הוא מספר — הנגזרת בנקודה. ביטוי עם xx במקום השיפוע אינו משוואת ישר.

⊥ y=2x⇒m=2\begin{aligned}\perp\ y &= 2x \Rightarrow m \\ &= 2\end{aligned}
⊥ y=2x⇒m=−12\begin{aligned}\perp\ y &= 2x \Rightarrow m \\ &= -\frac{1}{2}\end{aligned}

מקביל — אותו שיפוע; מאונך — מכפלת השיפועים −1-1.

Exercices

Exercice 1

מהו השיפוע של המשיק לגרף של f(x)=2xx+1f(x)=\dfrac{2x}{x+1} בנקודה שבה x=1x=1?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.5

Corrigé :

f′(x)=2(x+1)−2x(x+1)2=2(x+1)2\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2(x+1)-2x}{(x+1)^2} \\ &= \frac{2}{(x+1)^2}\end{aligned}

כלל המנה

f′(1)=24=12\begin{aligned}f'(1) &= \frac{2}{4} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

מציבים בנגזרת

המלכודת: לענות 11 — זה f(1)f(1), הגובה של הנקודה. השיפוע הוא f′(1)=0.5f'(1)=0.5.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

מהי משוואת המשיק לגרף של y=1xy=\dfrac{1}{x} בנקודה שבה x=1x=1?

  1. y=−x+1y=-x+1
  2. y=−xy=-x
  3. y=xy=x
  4. y=−x+2y=-x+2
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D y=−x+2y=-x+2

Corrigé :

y0=1m=−1\begin{aligned}y_0 &= 1 \\ \quad m &= -1\end{aligned}

הנקודה (1,1)(1,1) והשיפוע −112-\frac{1}{1^2}

y−1=−(x−1)⇒y=−x+2\begin{aligned}y-1 &= -(x-1) \Rightarrow y \\ &= -x+2\end{aligned}

המשוואה

y=−xy=-x שוכח את הנקודה לגמרי, ו-y=−x+1y=-x+1 נובע מטעות בפתיחת הסוגריים. בדיקה: המשיק חייב לעבור ב-(1,1)(1,1) — ורק y=−x+2y=-x+2 עובר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

נתונה f(x)=x−1x+2f(x)=\dfrac{x-1}{x+2}. מצאו את משוואת המשיק בנקודה שבה x=−1x=-1. מהו המספר החופשי במשוואה?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1

Corrigé :

f(−1)=−21=−2\begin{aligned}f(-1) &= \frac{-2}{1} \\ &= -2\end{aligned}

הנקודה

f′(x)=(x+2)−(x−1)(x+2)2=3(x+2)2\begin{aligned}f'(x) &= \frac{(x+2)-(x-1)}{(x+2)^2} \\ &= \frac{3}{(x+2)^2}\end{aligned}

כלל המנה

f′(−1)=3f'(-1)=3

השיפוע

y+2=3(x+1)⇒y=3x+1\begin{aligned}y+2 &= 3(x+1) \Rightarrow y \\ &= 3x+1\end{aligned}

המשוואה

המלכודת: לענות −2-2 — הגובה של הנקודה. המספר החופשי מתקבל רק אחרי הפישוט: y=3x+3−2y=3x+3-2.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

מצאו את הנקודות על הגרף של f(x)=xx−2f(x)=\dfrac{x}{x-2} שבהן המשיק מקביל לישר y=−2x+5y=-2x+5. השלימו (הנקודה עם ה-xx הקטן ראשונה).

הנקודה הראשונה: x=x= ____, y=y= ____. הנקודה השנייה: x=x= ____, y=y= ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : הנקודה הראשונה: x=x= 1, y=y= -1. הנקודה השנייה: x=x= 3, y=y= 3

Corrigé :

f′(x)=(x−2)−x(x−2)2=−2(x−2)2\begin{aligned}f'(x) &= \frac{(x-2)-x}{(x-2)^2} \\ &= \frac{-2}{(x-2)^2}\end{aligned}

כלל המנה

−2(x−2)2=−2⇒(x−2)2=1\begin{aligned}\frac{-2}{(x-2)^2} &= -2 \Rightarrow (x-2)^2 \\ &= 1\end{aligned}

שיפוע −2-2

x=1 x=3\begin{aligned}x &= 1 \\ \ x &= 3\end{aligned}

שני פתרונות

f(1)=−1f(3)=3\begin{aligned}f(1) &= -1 \\ \quad f(3) &= 3\end{aligned}

הצבה בפונקציה

המלכודת: לפתור x−2=1x-2=1 בלבד. ריבוע שווה ל-11 פירושו x−2=1x-2=1 או x−2=−1x-2=-1 — שתי נקודות, אחת בכל ענף.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

לגרף של f(x)=1xf(x)=\dfrac{1}{x} יש משיק המקביל לישר y=2xy=2x.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

f′(x)=−1x2f'(x)=-\frac{1}{x^2}

הנגזרת

−1x2<0-\frac{1}{x^2}<0

שלילית לכל x≠0x \neq 0

−1x2=2-\frac{1}{x^2}=2

אין פתרון

הטענה אינה נכונה. כל המשיקים להיפרבולה יורדים — שיפוע חיובי אינו מתקבל לעולם.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

PABOy = 1/x0701.5xy

נתונה הפונקציה y=1xy=\dfrac{1}{x}. בנקודה PP שעל הגרף, שבה x=3x=3, מעבירים משיק. המשיק חותך את ציר ה-xx בנקודה AA ואת ציר ה-yy בנקודה BB, ו-OO היא ראשית הצירים (ראו שרטוט). מהו השטח של △AOB\triangle AOB?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

y(3)=13  ⇒  P(3,13)y(3)=\frac{1}{3} \;\Rightarrow\; P\left(3,\frac{1}{3}\right)

נקודת ההשקה.

y′=−1x2  ⇒  m=−19\begin{aligned}y' &= -\frac{1}{x^2} \;\Rightarrow\; m \\ &= -\frac{1}{9}\end{aligned}

השיפוע: הנגזרת ב-x=3x=3.

y−13=−19(x−3)  ⇒  y=−19x+23\begin{aligned}y-\frac{1}{3} &= -\frac{1}{9}(x-3) \;\Rightarrow\; y \\ &= -\frac{1}{9}x+\frac{2}{3}\end{aligned}

משוואת המשיק. שימו לב למספר החופשי: 13+39=23\frac{1}{3}+\frac{3}{9}=\frac{2}{3}.

A(6,0)B(0,23)A(6,0) \qquad B\left(0,\frac{2}{3}\right)

מציבים y=0y=0 ו-x=0x=0 במשוואת המשיק.

SAOB=6⋅232=2\begin{aligned}S_{AOB} &= \frac{6\cdot\frac{2}{3}}{2} \\ &= 2\end{aligned}

חצי מכפלת הניצבים OAOA ו-OBOB.

השטח הוא 22. המלכודת היא המספר החופשי: מי שכותב y=−19x+13y=-\frac{1}{9}x+\frac{1}{3} מקבל נקודות חיתוך שגויות. בדיקה מהירה: המשיק חייב לעבור דרך PP — מציבים x=3x=3 ומקבלים 13\frac{1}{3}.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

מהן משוואות המשיקים האופקיים לגרף של f(x)=x2+4xf(x)=\dfrac{x^2+4}{x}?

  1. y=0y=0
  2. x=2x=2 ו-x=−2x=-2
  3. y=2y=2 ו-y=−2y=-2
  4. y=4y=4 ו-y=−4y=-4
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D y=4y=4 ו-y=−4y=-4

Corrigé :

f′(x)=2x⋅x−(x2+4)x2=x2−4x2\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2x \cdot x-(x^2+4)}{x^2} \\ &= \frac{x^2-4}{x^2}\end{aligned}

כלל המנה

x=±2x=\pm 2

משיק אופקי: f′=0f'=0

f(2)=4f(−2)=−4\begin{aligned}f(2) &= 4 \\ \quad f(-2) &= -4\end{aligned}

הגובה

y=4y=−4\begin{aligned}y &= 4 \\ \quad y &= -4\end{aligned}

משיק אופקי הוא y=y0y=y_0

x=±2x=\pm 2 הם ישרים אנכיים. משיק אופקי נכתב y=y= הגובה של נקודת ההשקה — ולכן מציבים בפונקציה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

נתונה f(x)=ax+1f(x)=\dfrac{a}{x+1}. שיפוע המשיק בנקודה שבה x=1x=1 הוא −2-2. מהו aa?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 8

Corrigé :

f′(x)=0⋅(x+1)−a⋅1(x+1)2=−a(x+1)2\begin{aligned}f'(x) &= \frac{0 \cdot (x+1)-a \cdot 1}{(x+1)^2} \\ &= \frac{-a}{(x+1)^2}\end{aligned}

כלל המנה, aa קבוע

f′(1)=−a4=−2\begin{aligned}f'(1) &= -\frac{a}{4} \\ &= -2\end{aligned}

שיפוע נתון

a=8a=8

On résout

המלכודת: לשכוח את הריבוע במכנה ולקבל a=4a=4. ב-x=1x=1 המכנה הוא (1+1)2=4(1+1)^2=4.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

תלמיד מצא את המשיק לגרף של f(x)=x+3x−1f(x)=\dfrac{x+3}{x-1} בנקודה שבה x=2x=2. שורה אחת שגויה — מצאו אותה.

f(2)=5f(2)=5
f′(x)=−4(x−1)2f'(x)=\frac{-4}{(x-1)^2}
f′(2)=−4f'(2)=-4
y−5=−4(x−2)y-5=-4(x-2)
y=−4x−3y=-4x-3
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : y=−4x−3y=-4x-3 → y=−4x+13y=-4x+13

Corrigé :

y−5=−4x+8y-5=-4x+8

פותחים סוגריים: −4⋅(−2)=+8-4 \cdot (-2)=+8

y=−4x+13y=-4x+13

מעבירים את 55

המלכודת בשורה האחרונה: −4⋅(−2)-4 \cdot (-2) הוא +8+8. בדיקה מהירה: המשיק חייב לעבור ב-(2,5)(2,5) — ו-−4⋅2−3=−11≠5-4 \cdot 2-3=-11 \neq 5.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

האם ייתכן שלגרף של f(x)=x+3x−1f(x)=\dfrac{x+3}{x-1} יש משיק אופקי?

  1. כן: הישר y=1y=1
  2. כן, בנקודה שבה x=−3x=-3
  3. כן, בנקודה שבה x=1x=1
  4. לא: f′(x)=−4(x−1)2f'(x)=\dfrac{-4}{(x-1)^2} אינה מתאפסת לעולם
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D לא: f′(x)=−4(x−1)2f'(x)=\dfrac{-4}{(x-1)^2} אינה מתאפסת לעולם

Corrigé :

f′(x)=−4(x−1)2f'(x)=\frac{-4}{(x-1)^2}

הנגזרת

−4≠0-4 \neq 0

מונה קבוע — לא מתאפס

שתי מלכודות: x=−3x=-3 הוא שורש של הפונקציה, לא של הנגזרת; ו-y=1y=1 היא אסימפטוטה — הגרף מתקרב אליה אבל אינו משיק לה.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe