Étude complète d'une fonction rationnelle

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

הסקיצה נתנה שלד: תחום, צירים, אסימפטוטות וסימן. עכשיו הנגזרת מוסיפה את מה שהשלד לא יודע: איפה בדיוק הגרף מפסיק לעלות ומתחיל לרדת, ובאיזה גובה.

טבלת הסימנים של f′f'

נתחיל בפונקציה בלי ערכים אסורים: f(x)=4xx2+4f(x)=\frac{4x}{x^2+4}. לפי כלל המנה f′(x)=4(x2+4)−4x⋅2x(x2+4)2=16−4x2(x2+4)2f'(x)=\frac{4(x^2+4)-4x \cdot 2x}{(x^2+4)^2}=\frac{16-4x^2}{(x^2+4)^2}. המכנה חיובי תמיד, ולכן סימן f′f' הוא סימן המונה 16−4x216-4x^2.

למה מותר להתעלם מהמכנה (x2+4)2(x^2+4)^2 כשקובעים את סימן הנגזרת?

Voir la réponse et le corrigé

כי הוא ריבוע של מספר חיובי — תמיד חיובי. חלוקה במספר חיובי אינה משנה סימן. אותו נימוק עובד בכל נגזרת של מנה: המכנה g2g^2 לעולם אינו שלילי.

כשיש אסימפטוטה אנכית בפנים

כשיש ערך אסור, הוא נכנס לטבלה כעמודה משלו — גם אם f′f' אינה מתאפסת בו. הוא מחלק את הציר, והסימן יכול להתחלף בו. אבל ערך אסור לעולם אינו קיצון: אין שם נקודה.

f(x) = x²/(x − 1): מקסימום ומינימום בשני ענפים
x = 1maxmin-4-3-2-10123456-8-6-4-224681012xy
המקסימום (0,0)(0,0) נמצא בענף השמאלי, והמינימום (2,4)(2,4) בענף הימני. המינימום גבוה מהמקסימום — וזה לא סותר כלום.

המינימום (2,4)(2,4) גבוה מהמקסימום (0,0)(0,0). איך זה ייתכן?

Voir la réponse et le corrigé

קיצון הוא מקומי: הוא הגבוה או הנמוך ביותר רק בסביבה שלו. שתי הנקודות יושבות בענפים שונים, משני צדי הקיר x=1x=1, ואין שום סיבה שהמקסימום של ענף אחד יהיה מעל המינימום של ענף אחר.

עוד חקירה, שלב אחר שלב

מצאו את נקודות הקיצון ואת תחומי העלייה והירידה של f(x)=x2+3x+1f(x)=\dfrac{x^2+3}{x+1}.

x≠−1x \neq -1

תחום ההגדרה

f′(x)=2x(x+1)−(x2+3)(x+1)2=x2+2x−3(x+1)2\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2x(x+1)-(x^2+3)}{(x+1)^2} \\ &= \frac{x^2+2x-3}{(x+1)^2}\end{aligned}

כלל המנה

(x+3)(x−1)=0⇒x=−3 x=1\begin{aligned}(x+3)(x-1) &= 0 \Rightarrow x \\ &= -3 \\ \ x &= 1\end{aligned}

המונה מתאפס

x<−3: +−3<x<−1: −−1<x<1: −x>1: +x<-3:\ +\quad -3<x<-1:\ -\quad -1<x<1:\ -\quad x>1:\ +

סימן f′f' — ארבעה תחומים, כולל הקיר −1-1

max⁡ (−3,−6),min⁡ (1,2)\max\ (-3,-6),\quad \min\ (1,2)

f(−3)=12−2=−6f(-3)=\frac{12}{-2}=-6 ו-f(1)=42=2f(1)=\frac{4}{2}=2

↗: x<−3, x>1↘: −3<x<−1, −1<x<1\nearrow:\ x<-3,\ x>1 \qquad \searrow:\ -3<x<-1,\ -1<x<1

תחומי עלייה וירידה

את שיעור ה-yy של נקודת קיצון מחשבים בפונקציה ff, לא בנגזרת. הצבה ב-f′f' תמיד תיתן 00 — זו בדיוק ההגדרה של הנקודה.

שתי טעויות של טבלה עם קיר.

f(x)=1x2: ↗ ∣0 ↘⇒max⁡f(x)=\frac{1}{x^2}:\ \nearrow\ \big|_0\ \searrow \Rightarrow \max
x=0∉Dx=0 \notin D

הנגזרת −2x3-\frac{2}{x^3} מחליפה סימן ב-00 — אבל 00 אינו בתחום. אין נקודה, ולכן אין קיצון.

↘: 0<x<2\searrow:\ 0<x<2
↘: 0<x<1, 1<x<2\searrow:\ 0<x<1,\ 1<x<2

תחום ירידה אינו יכול לכלול ערך אסור. כותבים שני תחומים.

Exercices

Exercice 1

מהן נקודות הקיצון של f(x)=x2x−3f(x)=\dfrac{x^2}{x-3}?

  1. מקסימום (0,0)(0,0), מינימום (3,0)(3,0), מקסימום (6,12)(6,12)
  2. מקסימום (0,0)(0,0), מינימום (6,12)(6,12)
  3. מקסימום (0,0)(0,0), מינימום (6,0)(6,0)
  4. מינימום (0,0)(0,0), מקסימום (6,12)(6,12)
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B מקסימום (0,0)(0,0), מינימום (6,12)(6,12)

Corrigé :

f′(x)=x2−6x(x−3)2f'(x)=\frac{x^2-6x}{(x-3)^2}

כלל המנה

x(x−6)=0⇒x=0 x=6\begin{aligned}x(x-6) &= 0 \Rightarrow x \\ &= 0 \\ \ x &= 6\end{aligned}

המונה מתאפס

x<0:+, 0<x<3:−, 3<x<6:−, x>6:+x<0:+,\ 0<x<3:-,\ 3<x<6:-,\ x>6:+

טבלת סימנים

f(0)=0 f(6)=363=12\begin{aligned}f(0) &= 0 \\ \ f(6) &= \frac{36}{3} \\ &= 12\end{aligned}

ערכים ב-ff

שתי מלכודות: (6,0)(6,0) מציב את x=6x=6 בנגזרת במקום בפונקציה, ו-x=3x=3 אינו נקודה בכלל — שם יש אסימפטוטה. המינימום (6,12)(6,12) גבוה מהמקסימום, והוא עדיין מינימום.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

נתונה f(x)=x2+9xf(x)=\dfrac{x^2+9}{x}. מהו שיעור ה-yy של נקודת המינימום שלה?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 6

Corrigé :

f′(x)=2x⋅x−(x2+9)x2=x2−9x2\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2x \cdot x-(x^2+9)}{x^2} \\ &= \frac{x^2-9}{x^2}\end{aligned}

כלל המנה

x=±3x=\pm 3

המונה מתאפס

−3<x<0: −,0<x<3: −,x>3: +-3<x<0:\ -,\quad 0<x<3:\ -,\quad x>3:\ +

המעבר מ-−- ל-++ הוא ב-x=3x=3

f(3)=183=6\begin{aligned}f(3) &= \frac{18}{3} \\ &= 6\end{aligned}

ערך המינימום

המלכודת: לענות −6-6, כי הוא «קטן יותר». (−3,−6)(-3,-6) היא נקודת מקסימום — בענף השמאלי; המינימום (3,6)(3,6) נמצא בענף הימני.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

נתונה f(x)=x2+8x−1f(x)=\dfrac{x^2+8}{x-1}. מיינו את התחומים.

  • ff עולה
  • ff יורדת
  • −2<x<1-2<x<1
  • 1<x<41<x<4
  • x<−2x<-2
  • x>4x>4
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : x<−2x<-2 — ff עולה · −2<x<1-2<x<1 — ff יורדת · 1<x<41<x<4 — ff יורדת · x>4x>4 — ff עולה

Corrigé :

f′(x)=x2−2x−8(x−1)2=(x−4)(x+2)(x−1)2\begin{aligned}f'(x) &= \frac{x^2-2x-8}{(x-1)^2} \\ &= \frac{(x-4)(x+2)}{(x-1)^2}\end{aligned}

הנגזרת

x=−2 x=4\begin{aligned}x &= -2 \\ \ x &= 4\end{aligned}

נקודות חשודות

f′(0)=−8<0f′(5)=716>0\begin{aligned}f'(0) &= -8<0 \\ \quad f'(5) &= \frac{7}{16}>0\end{aligned}

נקודות בדיקה

המלכודת: להפוך את הסימן בקיר x=1x=1. המכנה של f′f' בריבוע, ולכן f′f' שלילית משני צדי x=1x=1 — הפונקציה יורדת בשני התחומים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

לפונקציה f(x)=x+2x−3f(x)=\dfrac{x+2}{x-3} אין נקודות קיצון.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

f′(x)=(x−3)−(x+2)(x−3)2=−5(x−3)2\begin{aligned}f'(x) &= \frac{(x-3)-(x+2)}{(x-3)^2} \\ &= \frac{-5}{(x-3)^2}\end{aligned}

כלל המנה

−5≠0-5 \neq 0

המונה קבוע — הנגזרת לא מתאפסת לעולם

הטענה נכונה. ff יורדת בכל אחד מתחומי ההגדרה. השינוי «מלמטה למעלה» בקיר x=3x=3 אינו קיצון.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

מהו הערך הגדול ביותר שמקבלת הפונקציה f(x)=2xx2+1f(x)=\dfrac{2x}{x^2+1}?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1

Corrigé :

f′(x)=2(x2+1)−2x⋅2x(x2+1)2=2−2x2(x2+1)2\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2(x^2+1)-2x \cdot 2x}{(x^2+1)^2} \\ &= \frac{2-2x^2}{(x^2+1)^2}\end{aligned}

כלל המנה

x=±1x=\pm 1

המונה מתאפס

−: x<−1,+: −1<x<1,−: x>1-:\ x<-1,\quad +:\ -1<x<1,\quad -:\ x>1

מקסימום ב-x=1x=1

f(1)=22=1\begin{aligned}f(1) &= \frac{2}{2} \\ &= 1\end{aligned}

La valeur

המלכודת: לענות x=1x=1 — זה המקום של המקסימום. השאלה שואלת על הערך, f(1)=1f(1)=1. ורחוק הפונקציה מתקרבת ל-00, כך שאין ערך גבוה יותר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

תלמיד חקר את f(x)=1x2f(x)=\dfrac{1}{x^2}. שורה אחת שגויה — מצאו אותה.

f′(x)=−2x3f'(x)=-\frac{2}{x^3}
x<0: f′(x)>0x<0:\ f'(x)>0
x>0: f′(x)<0x>0:\ f'(x)<0
ולכן ב-x=0 יש מקסימום\text{ולכן } \text{ב-} x=0 \text{ יש מקסימום}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : ולכן ב-x=0 יש מקסימום\text{ולכן } \text{ב-} x=0 \text{ יש מקסימום} → x=0∉D: אין קיצוןx=0 \notin D:\ \text{אין קיצון}

Corrigé :

x≠0x \neq 0

תחום ההגדרה

x→0: f(x)→∞x \to 0:\ f(x) \to \infty

ליד 00 הגרף עולה לשמיים — אסימפטוטה

הטבלה נכונה, המסקנה לא. שינוי סימן של f′f' מעיד על קיצון רק בנקודה שבתחום ההגדרה. ב-x=0x=0 אין נקודה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

נתונה f(x)=x2−x+4x−1f(x)=\dfrac{x^2-x+4}{x-1}. השלימו.

נקודת המקסימום: x=x= ____, y=y= ____. נקודת המינימום: x=x= ____, y=y= ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : נקודת המקסימום: x=x= -1, y=y= -3. נקודת המינימום: x=x= 3, y=y= 5

Corrigé :

f′(x)=(2x−1)(x−1)−(x2−x+4)(x−1)2=x2−2x−3(x−1)2\begin{aligned}f'(x) &= \frac{(2x-1)(x-1)-(x^2-x+4)}{(x-1)^2} \\ &= \frac{x^2-2x-3}{(x-1)^2}\end{aligned}

כלל המנה

(x−3)(x+1)=0(x-3)(x+1)=0

המונה מתאפס

f(−1)=6−2=−3\begin{aligned}f(-1) &= \frac{6}{-2} \\ &= -3\end{aligned}

מקסימום

f(3)=102=5\begin{aligned}f(3) &= \frac{10}{2} \\ &= 5\end{aligned}

מינימום

המלכודת בפתיחה: −(x2−x+4)-(x^2-x+4) נותן −x2+x−4-x^2+x-4. מי שמחסר רק את x2x^2 מקבל מונה אחר ונקודות אחרות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

לפונקציה f(x)=x2+axf(x)=\dfrac{x^2+a}{x} יש נקודת קיצון ב-x=2x=2. מהו aa?

  1. a=4a=4
  2. a=8a=8
  3. a=−4a=-4
  4. a=2a=2
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A a=4a=4

Corrigé :

f′(x)=2x⋅x−(x2+a)x2=x2−ax2\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2x \cdot x-(x^2+a)}{x^2} \\ &= \frac{x^2-a}{x^2}\end{aligned}

כלל המנה

f′(2)=0⇒4−a=0\begin{aligned}f'(2) &= 0 \Rightarrow 4-a \\ &= 0\end{aligned}

קיצון: הנגזרת מתאפסת

a=4a=4

On résout

a=−4a=-4 בא מטעות סימן במונה, ו-a=8a=8 ממי ששוכח לחסר את x2x^2 ומקבל מונה 2x2−a2x^2-a. והתנאי על קיצון הוא תנאי על הנגזרת, לא על ff.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

התאימו לכל פונקציה את נקודות הקיצון שלה.

  • xx2+1\dfrac{x}{x^2+1}
  • 1x2+1\dfrac{1}{x^2+1}
  • x2x2+1\dfrac{x^2}{x^2+1}
  • x+1x−1\dfrac{x+1}{x-1}
  • אין קיצון
  • מינימום בלבד
  • מקסימום בלבד
  • מקסימום ומינימום
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : xx2+1\dfrac{x}{x^2+1} — מקסימום ומינימום · 1x2+1\dfrac{1}{x^2+1} — מקסימום בלבד · x2x2+1\dfrac{x^2}{x^2+1} — מינימום בלבד · x+1x−1\dfrac{x+1}{x-1} — אין קיצון

Corrigé :

(xx2+1)′=1−x2(x2+1)2\left(\frac{x}{x^2+1}\right)'=\frac{1-x^2}{(x^2+1)^2}

שני שורשים

(1x2+1)′=−2x(x2+1)2\left(\frac{1}{x^2+1}\right)'=\frac{-2x}{(x^2+1)^2}

מ-++ ל-−- ב-00

(x2x2+1)′=2x(x2+1)2\left(\frac{x^2}{x^2+1}\right)'=\frac{2x}{(x^2+1)^2}

מ-−- ל-++ ב-00

(x+1x−1)′=−2(x−1)2\left(\frac{x+1}{x-1}\right)'=\frac{-2}{(x-1)^2}

לא מתאפסת

1x2+1\frac{1}{x^2+1} ו-x2x2+1\frac{x^2}{x^2+1} נראות דומות — אבל הסימן של המונה בנגזרת הפוך, ולכן אחת מגיעה לשיא ב-00 והשנייה לשפל.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

נתונה f(x)=xx+1f(x)=\dfrac{x}{x+1}. הוכיחו כי ff עולה בכל אחד מתחומי ההגדרה שלה.

  • f(x)=xx+1f(x)=\dfrac{x}{x+1}
  • תחום ההגדרה: x≠−1x \neq -1

ff עולה בכל אחד מתחומי ההגדרה

Voir la réponse et le corrigé
  1. f′(x)=1⋅(x+1)−x⋅1(x+1)2f'(x)=\dfrac{1 \cdot (x+1)-x \cdot 1}{(x+1)^2} — כלל המנה
  2. f′(x)=1(x+1)2f'(x)=\dfrac{1}{(x+1)^2} — פישוט המונה
  3. (x+1)2>0(x+1)^2>0 — ריבוע של מספר שונה מאפס, כי x≠−1x \neq -1
  4. f′(x)>0f'(x)>0 — מנה של שני מספרים חיוביים
  5. ff עולה בכל אחד מתחומי ההגדרה — נגזרת חיובית בתחום — הפונקציה עולה בו

Corrigé :

f′(x)=1⋅(x+1)−x⋅1(x+1)2f'(x)=\dfrac{1 \cdot (x+1)-x \cdot 1}{(x+1)^2}

כלל המנה

f′(x)=1(x+1)2f'(x)=\dfrac{1}{(x+1)^2}

פישוט המונה

(x+1)2>0(x+1)^2>0

ריבוע של מספר שונה מאפס, כי x≠−1x \neq -1

f′(x)>0f'(x)>0

מנה של שני מספרים חיוביים

המלכודת: לכתוב «ff עולה לכל xx». f(−2)=2f(-2)=2 גדול מ-f(0)=0f(0)=0 — הפונקציה עולה בכל ענף בנפרד, לא על פני הקיר.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe