שלב 10 מתוך 21

טבלת הסימנים של f′f'

הסקיצה נתנה שלד: תחום, צירים, אסימפטוטות וסימן. עכשיו הנגזרת מוסיפה את מה שהשלד לא יודע: איפה בדיוק הגרף מפסיק לעלות ומתחיל לרדת, ובאיזה גובה.

נתחיל בפונקציה בלי ערכים אסורים: f(x)=4xx2+4f(x)=\frac{4x}{x^2+4}. לפי כלל המנה f′(x)=4(x2+4)−4x⋅2x(x2+4)2=16−4x2(x2+4)2f'(x)=\frac{4(x^2+4)-4x \cdot 2x}{(x^2+4)^2}=\frac{16-4x^2}{(x^2+4)^2}. המכנה חיובי תמיד, ולכן סימן f′f' הוא סימן המונה 16−4x216-4x^2.

שלוש שורות — מהנגזרת אל הגרף

f(x)=4xx2+4f(x) = \frac{4x}{x^2+4}
f′(x)=16−4x2(x2+4)2f'(x) = \frac{16-4x^2}{(x^2+4)^2}
x-22
f'(x)
f(x)
נבנה את הטבלה שלב אחר שלב. המכנה (x2+4)2(x^2+4)^2 חיובי תמיד, ולכן רק המונה 16−4x216-4x^2 קובע את הסימן.
כאן אין אסימפטוטה אנכית (x2+4≠0x^2+4 \neq 0), ולכן על הציר יש רק שתי הנקודות שבהן f′=0f'=0.