Équations irrationnelles

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

משוואה שבה הנעלם נמצא מתחת לשורש נקראת משוואה אי-רציונלית. נתחיל ב-x+2=x\sqrt{x+2}=x, ונסתכל קודם על הגרפים של שני האגפים.

לפי הגרף: כמה פתרונות יש למשוואה x+2=x\sqrt{x+2}=x?

Voir la réponse et le corrigé

פתרון אחד, x=2x=2. זו נקודת החיתוך היחידה של שני הגרפים.

פותרים — ומקבלים פתרון אחד יותר מדי

נעלה את שני האגפים בחזקת 2, ונפתור.

x+2=x ⇒ x+2=x2\begin{aligned}\sqrt{x+2} &= x \ \Rightarrow \ x+2 \\ &= x^2\end{aligned}

מעלים את שני האגפים בחזקת 2

x2−x−2=0 ⇒ x=2 או x=−1\begin{aligned}x^2-x-2 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2 \ \text{או} \ x \\ &= -1\end{aligned}

משוואה ריבועית

x=2: 4=2 ✓\begin{aligned}x &= 2 : \ \sqrt{4} \\ &= 2 \ \checkmark\end{aligned}

בדיקה במשוואה המקורית: מתאים

x=−1: 1=1≠−1 נפסל\begin{aligned}x &= -1 : \ \sqrt{1} \\ &= 1 \neq -1 \ \text{נפסל}\end{aligned}

בדיקה: לא מתאים, נפסל

x=2x=2

הפתרון היחיד, בדיוק כמו בגרף

מאיפה בא x=−1x=-1? ההעלאה בחזקת 2 איננה הפיכה. אם a=ba=b אז a2=b2a^2=b^2, אבל a2=b2a^2=b^2 מתקיים גם כש-a=−ba=-b. המספר −1-1 פותר את המשוואה x+2=−x\sqrt{x+2}=-x, ולא את המשוואה שלנו.

ארבעה שלבים — והרביעי חובה

11

מבודדים את השורש באגף אחד

22

מעלים את שני האגפים בחזקת 2

33

פותרים את המשוואה שהתקבלה

44

בודקים כל פתרון בהצבה במשוואה המקורית, ופוסלים את מה שלא מתאים

בלי לחשב: כמה פתרונות יש למשוואה x−3=−2\sqrt{x-3}=-2?

Voir la réponse et le corrigé

אין פתרון. שורש אינו שלילי לעולם. מי שמעלה בחזקת 2 מקבל x=7x=7, והבדיקה נותנת 4=2≠−2\sqrt{4}=2 \neq -2.

שורש שווה לשורש

שני שורשים, ותחום הגדרה

פתרו: x+5=3x−1\sqrt{x+5}=\sqrt{3x-1}

x+5=3x−1x+5=3x-1

מעלים בחזקת 2: שני השורשים נעלמים

x=3x=3

On résout

8=8 ✓\sqrt{8}=\sqrt{8} \ \checkmark

בדיקה: שני האגפים מוגדרים ושווים

כששני האגפים שורשים, הסכנה איננה סימן אלא תחום הגדרה. ב-x−5=1−x\sqrt{x-5}=\sqrt{1-x} מקבלים x=3x=3, אבל 3−5\sqrt{3-5} אינו מוגדר. לכן גם כאן בודקים.

שלוש הטעויות במשוואות אי-רציונליות.

x+2=x ⇒ x=2 x=−1\begin{aligned}\sqrt{x+2} &= x \ \Rightarrow \ x \\ &= 2 \\ \ x &= -1\end{aligned}
x+2=x ⇒ x=2\begin{aligned}\sqrt{x+2} &= x \ \Rightarrow \ x \\ &= 2\end{aligned}

בלי בדיקה נשאר פתרון זר. 1=1\sqrt{1}=1, ולא −1-1.

(x+1)2=x+1\left(\sqrt{x}+1\right)^2=x+1
(x+1)2=x+2x+1\left(\sqrt{x}+1\right)^2=x+2\sqrt{x}+1

נוסחת הכפל המקוצר חלה גם על שורשים. בגלל האיבר האמצעי מבודדים את השורש לפני ההעלאה בחזקה.

x2+9=x+3\sqrt{x^2+9}=x+3
x2+9≠x+3\sqrt{x^2+9} \neq x+3

שורש של סכום אינו סכום של שורשים. בדיקה: x=4x=4 נותן 5≠75 \neq 7.

Exercices

Exercice 1

פתרו: x+7=3\sqrt{x+7}=3

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

x+7=9x+7=9

מעלים בחזקת 2

x=2x=2

On résout

9=3 ✓\sqrt{9}=3 \ \checkmark

בדיקה

מי שכותב x+7=3x+7=3 שכח להעלות בחזקת 2, ומקבל x=−4x=-4. שם 3≠3\sqrt{3} \neq 3.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

פתרו: 3x−2=x\sqrt{3x-2}=x. למשוואה שני פתרונות. השלימו.

הפתרון הקטן: ____ , הפתרון הגדול: ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : הפתרון הקטן: 1 , הפתרון הגדול: 2

Corrigé :

3x−2=x2 ⇒ x2−3x+2=0\begin{aligned}3x-2 &= x^2 \ \Rightarrow \ x^2-3x+2 \\ &= 0\end{aligned}

מעלים בחזקת 2

x=1 או x=2\begin{aligned}x &= 1 \ \text{או} \ x \\ &= 2\end{aligned}

On résout

1=1 ✓4=2 ✓\begin{aligned}\sqrt{1} &= 1 \ \checkmark \qquad \sqrt{4} \\ &= 2 \ \checkmark\end{aligned}

בדיקה: שניהם מתאימים

הבדיקה לא תמיד פוסלת. כאן שני הפתרונות מתאימים. אבל גם כאן חייבים לבדוק, כי אי אפשר לדעת מראש.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

פתרו: x+6=x\sqrt{x+6}=x

  1. x=−2x=-2 בלבד
  2. x=3x=3 או x=−2x=-2
  3. אין פתרון
  4. x=3x=3 בלבד
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D x=3x=3 בלבד

Corrigé :

x+6=x2 ⇒ x2−x−6=0\begin{aligned}x+6 &= x^2 \ \Rightarrow \ x^2-x-6 \\ &= 0\end{aligned}

מעלים בחזקת 2

x=3 או x=−2\begin{aligned}x &= 3 \ \text{או} \ x \\ &= -2\end{aligned}

מועמדים

x=3:9=3 ✓x=−2:4=2≠−2 נפסל\begin{aligned}x &= 3: \sqrt{9} \\ &= 3 \ \checkmark \qquad x \\ &= -2: \sqrt{4} \\ &= 2 \neq -2 \ \text{נפסל}\end{aligned}

בדיקה

הנכונה: x=3x=3 בלבד. «x=3x=3 או x=−2x=-2» היא תשובה בלי בדיקה. באגף ימין עומד xx, ושורש אינו שווה למספר שלילי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

פתרו: 2x+1+1=x\sqrt{2x+1}+1=x

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

2x+1=x−1\sqrt{2x+1}=x-1

מבודדים

2x+1=x2−2x+1 ⇒ x2−4x=0\begin{aligned}2x+1 &= x^2-2x+1 \ \Rightarrow \ x^2-4x \\ &= 0\end{aligned}

מעלים בחזקת 2

x=0 או x=4\begin{aligned}x &= 0 \ \text{או} \ x \\ &= 4\end{aligned}

מועמדים

x=0:1+1=2≠0 נפסלx=4:3+1=4 ✓\begin{aligned}x &= 0: \sqrt{1}+1 \\ &= 2 \neq 0 \ \text{נפסל} \qquad x \\ &= 4: 3+1 \\ &= 4 \ \checkmark\end{aligned}

בדיקה

x=0x=0 נפסל. והפתרון הזה נראה טבעי, ולכן קל לשכוח לבדוק אותו.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

הוכיחו או הפריכו: למשוואה x−1=−3\sqrt{x-1}=-3 אין פתרון.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

x−1≥0>−3\sqrt{x-1} \geq 0 > -3

שורש אינו שלילי

x−1=9 ⇒ x=10: 9=3≠−3\begin{aligned}x-1 &= 9 \ \Rightarrow \ x \\ &= 10 : \ \sqrt{9} \\ &= 3 \neq -3\end{aligned}

ההעלאה בחזקה נותנת מועמד שנפסל

הטענה נכונה. מי שמעלה בחזקת 2 ולא בודק «מוצא» את x=10x=10.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

סדרו את שלבי הפתרון של המשוואה x+3=x−3\sqrt{x+3}=x-3.

  • x2−7x+6=0x^2-7x+6=0
  • x+3=x2−6x+9x+3=x^2-6x+9
  • x=1x=1 או x=6x=6
  • בדיקה: x=6x=6 מתאים, x=1x=1 נפסל
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : x+3=x2−6x+9x+3=x^2-6x+9 · x2−7x+6=0x^2-7x+6=0 · x=1x=1 או x=6x=6 · בדיקה: x=6x=6 מתאים, x=1x=1 נפסל

Corrigé :

x=6:9=3=6−3 ✓\begin{aligned}x &= 6: \sqrt{9} \\ &= 3 \\ &= 6-3 \ \checkmark\end{aligned}

מתאים

x=1:4=2≠−2 נפסל\begin{aligned}x &= 1: \sqrt{4} \\ &= 2 \neq -2 \ \text{נפסל}\end{aligned}

נפסל

הבדיקה היא השלב האחרון ואי אפשר לדלג עליה. התשובה: x=6x=6.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

בפתרון שלפניכם שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

x+4=x−2\sqrt{x+4}=x-2
x+4=x2−4x+4=x^2-4
x2−x−8=0x^2-x-8=0
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : x+4=x2−4x+4=x^2-4 → x+4=x2−4x+4x+4=x^2-4x+4

Corrigé :

(x−2)2=x2−4x+4(x-2)^2=x^2-4x+4

נוסחת הכפל המקוצר

x2−5x=0 ⇒ x=0 x=5\begin{aligned}x^2-5x &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 0 \\ \ x &= 5\end{aligned}

מועמדים

x=5:3=3 ✓x=0:2≠−2 נפסל\begin{aligned}x &= 5: 3 \\ &= 3 \ \checkmark \qquad x \\ &= 0: 2 \neq -2 \ \text{נפסל}\end{aligned}

בדיקה: x=5x=5

הטעות בשורה השנייה: (x−2)2≠x2−4(x-2)^2 \neq x^2-4. חסר האיבר האמצעי −4x-4x. הפתרון הנכון x=5x=5.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

פתרו: 5x−4=x+8\sqrt{5x-4}=\sqrt{x+8}

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

5x−4=x+85x-4=x+8

מעלים בחזקת 2

4x=12 ⇒ x=3\begin{aligned}4x &= 12 \ \Rightarrow \ x \\ &= 3\end{aligned}

On résout

11=11 ✓\sqrt{11}=\sqrt{11} \ \checkmark

בדיקה: שני האגפים מוגדרים

כששני האגפים שורשים, בודקים שהפתרון נמצא בתחום ההגדרה של שניהם.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

פתרו: x−5=1−x\sqrt{x-5}=\sqrt{1-x}

  1. כל xx
  2. אין פתרון
  3. x=3x=3
  4. x=3x=3 או x=−3x=-3
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B אין פתרון

Corrigé :

x−5=1−x ⇒ x=3\begin{aligned}x-5 &= 1-x \ \Rightarrow \ x \\ &= 3\end{aligned}

מעלים בחזקת 2

3−5=−2\sqrt{3-5}=\sqrt{-2}

לא מוגדר: x=3x=3 נפסל

x≥5 וגם x≤1x \geq 5 \ \text{וגם} \ x \leq 1

והתחום עצמו ריק

הנכונה: אין פתרון. מי שבחר x=3x=3 לא בדק. תחום ההגדרה של המשוואה ריק, ולכן היה אפשר לענות עוד לפני כל חישוב.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

כמה פתרונות יש למשוואה x=x\sqrt{x}=x?

  1. 11
  2. 22
  3. אינסוף
  4. 00
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B 22

Corrigé :

x=x2 ⇒ x(x−1)=0\begin{aligned}x &= x^2 \ \Rightarrow \ x(x-1) \\ &= 0\end{aligned}

מעלים בחזקת 2

x=0:0=0 ✓x=1:1=1 ✓\begin{aligned}x &= 0: \sqrt{0} \\ &= 0 \ \checkmark \qquad x \\ &= 1: \sqrt{1} \\ &= 1 \ \checkmark\end{aligned}

בדיקה: שניהם מתאימים

הנכונה: 22 פתרונות, x=0x=0 ו-x=1x=1. מי שענה 11 חילק ב-xx ואיבד את x=0x=0. לא מחלקים בביטוי שיכול להיות אפס.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe