Série 1 — facile · Proportion et similitude · Kita י

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

סדרה 1 מתרגלת את הכלים של הפרק אחד אחד: משפט תאלס, תאלס המורחב וההפוך לו, שלושת משפטי הדמיון, יחס ההיקפים ויחס השטחים, משפט חוצה הזווית, וחלוקת קטע ביחס נתון.

כל תרגיל כאן הוא צעד אחד או שניים. תשע נכונות ומעלה — עברו לסדרה 2. פחות מזה — חזרו ליחידה שבה נמצא הכלי שהכשיל אתכם.

Exercices

Exercice 1

במשולש $ABC$ הקטע $DE$ מקביל לצלע $BC$ ( $D$ על $AB$ , $E$ על $AC$ ). נתון $AD = 3$ , $DB = 6$ ו- $AE = 4$ . מצאו את $EC$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 8

Corrigé :

\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}

משפט תאלס

\frac{3}{6} = \frac{4}{EC}

On remplace (מציבים)

\begin{aligned}EC &= \frac{4 \cdot 6}{3} \\ &= 8\end{aligned}

כפל בהצלבה

$EC = 8$ . המלכודת: $\frac{AD}{DB} = \frac{EC}{AE}$ — סדר הפוך באגף אחד, שנותן $EC = 2$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

במשולש $ABC$ הקטע $DE$ מקביל ל- $BC$ . נתון $AD = 5$ , $AB = 20$ ו- $BC = 16$ . מצאו את $DE$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

\frac{DE}{BC} = \frac{AD}{AB}

משפט תאלס המורחב

\frac{DE}{16} = \frac{5}{20}

On remplace (מציבים)

DE = 4

$DE = 4$ . המלכודת: לחשב $DB = 15$ ולכתוב $\frac{DE}{16} = \frac{5}{15}$ . מול הצלע השלמה $BC$ עומדת הצלע השלמה $AB$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

צלעות המשולש $ABC$ הן $3$ , $5$ ו- $6$ , וצלעות המשולש $DEF$ הן $6$ , $10$ ו- $12$ . מה נכון?

המשולשים דומים לפי צ.ז.צ
המשולשים חופפים
המשולשים אינם דומים, כי לא נתונה אף זווית
המשולשים דומים לפי צ.צ.צ, ביחס $1 : 2$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D המשולשים דומים לפי צ.צ.צ, ביחס $1 : 2$

Corrigé :

\begin{aligned}\frac{6}{3} &= \frac{10}{5} \\ &= \frac{12}{6} \\ &= 2\end{aligned}

שלושה יחסים שווים, מהצלע הקצרה לארוכה

\triangle ABC \sim \triangle DEF

צ.צ.צ — לא צריך אף זווית

התשובה: «המשולשים דומים לפי צ.צ.צ, ביחס $1 : 2$ ». המלכודת: לחשוב שבלי זווית אין דמיון — שלושה יחסי צלעות מספיקים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

$\triangle ABC \sim \triangle DEF$ . נתון $AB = 4$ , $DE = 10$ , והיקף המשולש $ABC$ הוא $18$ . מצאו את היקף המשולש $DEF$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 45

Corrigé :

\begin{aligned}k &= \frac{DE}{AB} \\ &= \frac{10}{4} \\ &= 2.5\end{aligned}

יחס הדמיון

\begin{aligned}P_{DEF} &= 18 \cdot 2.5 \\ &= 45\end{aligned}

יחס ההיקפים שווה ל- $k$

$45$ . המלכודת: לכפול ב- $k^2 = 6.25$ ולקבל $112.5$ . היקף הוא אורך — הוא גדל פי $k$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

יחס הדמיון בין משולש גדול למשולש קטן הוא $3$ . שטח המשולש הקטן הוא $7$ סמ״ר. מהו שטח המשולש הגדול, בסמ״ר?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 63

Corrigé :

\begin{aligned}\frac{S_2}{S_1} &= k^2 \\ &= 9\end{aligned}

יחס השטחים

\begin{aligned}S_2 &= 7 \cdot 9 \\ &= 63\end{aligned}

$63$ סמ״ר. המלכודת: $7 \cdot 3 = 21$ — השטח גדל פי $k^2$ , לא פי $k$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

במשולש $ABC$ הקטע $AD$ חוצה את הזווית $A$ ( $D$ על $BC$ ). נתון $AB = 10$ , $AC = 15$ ו- $BD = 6$ . מצאו את $DC$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 9

Corrigé :

\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}

משפט חוצה הזווית

\frac{6}{DC} = \frac{10}{15}

On remplace (מציבים)

\begin{aligned}DC &= \frac{6 \cdot 15}{10} \\ &= 9\end{aligned}

$DC = 9$ . המלכודת: $DC = 6$ — לחשוב שחוצה הזווית הוא גם תיכון.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

במשולש $ABC$ הנקודה $D$ על $AB$ והנקודה $E$ על $AC$ . נתון $AD = 4$ , $DB = 5$ , $AE = 8$ ו- $EC = 10$ . הוכיחו או הפריכו: $DE \parallel BC$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

\begin{aligned}\frac{AD}{DB} &= \frac{4}{5} \\ \quad \frac{AE}{EC} &= \frac{8}{10} \\ &= \frac{4}{5}\end{aligned}

שני יחסים שווים

DE \parallel BC

המשפט ההפוך למשפט תאלס

נכון. המלכודת: לחשוב שצריך $AD = AE$ . המשפט ההפוך דורש יחסים שווים, לא קטעים שווים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

הנקודה $D$ על הקטע $AB$ מחלקת אותו ביחס $AD : DB = 2 : 3$ , ו- $AB = 35$ . השלימו.

$AD =$ ____, $DB =$ ____, $\frac{AD}{AB} =$ ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $AD =$ 14, $DB =$ 21, $\frac{AD}{AB} =$ 0.4

Corrigé :

\begin{aligned}AD &= 2t \\ \quad DB &= 3t\end{aligned}

חמישה חלקים שווים

\begin{aligned}5t &= 35 \Rightarrow t \\ &= 7\end{aligned}

\begin{aligned}AD &= 14 \\ \; DB &= 21 \\ \; \frac{AD}{AB} &= \frac{2}{5} \\ &= 0.4\end{aligned}

«חלק על שלם»

המלכודת: $\frac{AD}{AB} = \frac{2}{3}$ . היחס $2 : 3$ הוא «חלק על חלק»; «חלק על שלם» הוא $\frac{2}{2 + 3}$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

$\triangle ABC \sim \triangle DEF$ ביחס דמיון $k$ . מיינו: איזה גודל של $DEF$ גדל פי $k$ , ואיזה פי $k^2$ ?

פי $k$
פי $k^2$

הגובה לצלע $EF$
ההיקף
השטח
התיכון לצלע $DF$
חוצה הזווית $D$
רדיוס המעגל החסום
שטח המעגל החוסם
שטח המשולש שהתיכון $DM$ חותך מ- $DEF$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : הגובה לצלע $EF$ — פי $k$ · התיכון לצלע $DF$ — פי $k$ · ההיקף — פי $k$ · השטח — פי $k^2$ · רדיוס המעגל החסום — פי $k$ · שטח המעגל החוסם — פי $k^2$ · חוצה הזווית $D$ — פי $k$ · שטח המשולש שהתיכון $DM$ חותך מ- $DEF$ — פי $k^2$

Corrigé :

\text{אורך} \to k

כל קטע מתאים: גבהים, תיכונים, חוצי זוויות, רדיוסים, היקף

\text{שטח} \to k^2

כל שטח, גם של מעגל או של חלק מתאים במשולש

המלכודת: «שטח המעגל החוסם» — המעגל הוא לא המשולש, אבל השטח שלו תלוי ב- $R^2$ , והרדיוס גדל פי $k$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

במשולש $ABC$ הזווית $C$ ישרה, ו- $CD$ הגובה ליתר $AB$ . נתון $AD = 9$ ו- $DB = 16$ . הוכיחו כי $\triangle ACD \sim \triangle CBD$ , ומצאו את $CD$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 12

Corrigé :

\begin{aligned}\angle ADC &= \angle CDB \\ &= 90^\circ\end{aligned}

$CD$ גובה

\begin{aligned}\angle ACD &= 90^\circ - \angle A \\ &= \angle B\end{aligned}

שתיהן משלימות את $\angle A$

\triangle ACD \sim \triangle CBD \Rightarrow \frac{AD}{CD} = \frac{CD}{DB}

A-A

\begin{aligned}CD^2 &= 9 \cdot 16 \\ &= 144 \Rightarrow CD \\ &= 12\end{aligned}

$CD = 12$ . המלכודת: $CD = \frac{9 + 16}{2} = 12.5$ — ממוצע במקום פרופורציה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercices

La suite se pratique sur elev