Série 3 — difficile · Proportion et similitude · Kita י

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

סדרה 3 דורשת לבחור את הכלי בעצמכם: מקבילית שנוצרת משני ישרים מקבילים, ארבעת המשולשים של טרפז, חוצה זווית עם פיתגורס, דוגמה נגדית ל«צ.צ.ז», דמיון בלי מקבילים, משיק וחותך, ומעבר משטחים להיקפים.

כשאין מקבילים בשרטוט, חפשו זווית משותפת וזווית שווה נוספת. וכשנתונים שטחים — קודם מוציאים שורש, ורק אז עובדים עם אורכים.

Exercices

Exercice 1

במשולש $ABC$ הנקודות $D$ על $AB$ , $E$ על $AC$ ו- $F$ על $BC$ , כך ש- $DE \parallel BC$ ו- $EF \parallel AB$ . נתון $AD = 6$ , $DB = 4$ ו- $BC = 15$ . מצאו את $FC$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 6

Corrigé :

\begin{aligned}\frac{DE}{BC} &= \frac{AD}{AB} \\ &= \frac{6}{10} \Rightarrow DE \\ &= 9\end{aligned}

משפט תאלס המורחב

\begin{aligned}DBFE \text{ מקבילית} \Rightarrow BF &= DE \\ &= 9\end{aligned}

שני זוגות צלעות נגדיות מקבילות

\begin{aligned}FC &= 15 - 9 \\ &= 6\end{aligned}

$FC = 6$ . המלכודת: לחשב $\frac{FC}{BC} = \frac{AD}{AB}$ ולקבל $9$ . $F$ מחלקת את $BC$ כמו ש- $E$ מחלקת את $AC$ : $\frac{CF}{CB} = \frac{CE}{CA} = \frac{DB}{AB} = 0.4$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

בטרפז $ABCD$ ( $AB \parallel DC$ ) האלכסונים נחתכים בנקודה $O$ . נתון $AB = 6$ , $DC = 9$ , ושטח המשולש $AOB$ הוא $12$ . מצאו את שטח הטרפז.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 75

Corrigé :

\begin{aligned}\triangle AOB \sim \triangle COD \\ \quad k &= \frac{9}{6} \\ &= 1.5\end{aligned}

ז.ז — מתחלפות וקודקודיות

\begin{aligned}S_{COD} &= 12 \cdot 2.25 \\ &= 27\end{aligned}

יחס השטחים $k^2$

\begin{aligned}\frac{S_{AOD}}{S_{AOB}} &= \frac{OD}{OB} \\ &= 1.5 \Rightarrow S_{AOD} \\ &= 18\end{aligned}

גובה משותף מ- $A$ — יחס הבסיסים

S_{BOC} = 18

באותו אופן, עם גובה משותף מ- $B$ לישר $AC$

\begin{aligned}S_{ABCD} &= 12 + 27 + 18 + 18 \\ &= 75\end{aligned}

$75$ . המלכודת: $S_{AOD} = 12 \cdot 2.25$ . המשולשים $AOD$ ו- $AOB$ אינם דומים — ביניהם יחס הבסיסים, בחזקה ראשונה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

במשולש $ABC$ הזווית $B$ ישרה, $AB = 9$ ו- $BC = 12$ . $CE$ חוצה את הזווית $C$ ( $E$ על $AB$ ). מצאו את $CE$ (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 12.65

Corrigé :

\begin{aligned}AC &= \sqrt{9^2 + 12^2} \\ &= 15\end{aligned}

משפט פיתגורס

\begin{aligned}\frac{AE}{EB} &= \frac{CA}{CB} \\ &= \frac{15}{12} \\ &= \frac{5}{4}\end{aligned}

משפט חוצה הזווית — הצלעות הכולאות את $\angle C$

\begin{aligned}EB &= \frac{4}{9} \cdot 9 \\ &= 4\end{aligned}

«חלק על שלם»

\begin{aligned}CE &= \sqrt{12^2 + 4^2} \\ &= \sqrt{160} \approx 12.65\end{aligned}

פיתגורס במשולש $CBE$

$CE \approx 12.65$ . המלכודת: $\frac{AE}{EB} = \frac{AB}{BC}$ — צלעות שאינן כולאות את $\angle C$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

AC = AD, והזווית B משותפת.

הוכיחו או הפריכו: אם במשולשים $ABC$ ו- $A'B'C'$ מתקיים $\frac{AB}{A'B'} = \frac{AC}{A'C'}$ ו- $\angle B = \angle B'$ , אז המשולשים דומים.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

\begin{aligned}AB &= 10 \\ \quad AC &= AD \\ &= 7 \\ \quad \angle B &= 40^\circ\end{aligned}

דוגמה נגדית בשרטוט: $C$ ו- $D$ על אותה קרן מ- $B$

\begin{aligned}\frac{AB}{AB} &= \frac{AC}{AD} \\ &= 1 \\ \quad \angle ABC &= \angle ABD\end{aligned}

הנתונים של הטענה מתקיימים במשולשים $ABC$ ו- $ABD$

BC \approx 10.4 \ne BD \approx 4.9

יחס דמיון $1$ היה מחייב חפיפה — והמשולשים אינם חופפים, ולכן אינם דומים

לא נכון. המלכודת: לקרוא את זה כצ.ז.צ. הזווית $B$ אינה כלואה בין $AB$ ל- $AC$ — היא מול $AC$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

הזווית BAD שווה לזווית C.

במשולש $ABC$ הנקודה $D$ על $BC$ , ו- $\angle BAD = \angle C$ . איזו טענה נכונה?

$\triangle ABD \sim \triangle CBA$
$\triangle ABD \sim \triangle ABC$
$\triangle ABD \sim \triangle ACD$
$\triangle ADB \sim \triangle CBA$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $\triangle ABD \sim \triangle CBA$

Corrigé :

\begin{aligned}\angle BAD &= \angle BCA \\ \quad \angle B &= \angle B\end{aligned}

זווית נתונה וזווית משותפת — ז.ז

A \leftrightarrow C, \quad B \leftrightarrow B, \quad D \leftrightarrow A

כל קודקוד עובר לקודקוד של הזווית השווה לו

התשובה: « $\triangle ABD \sim \triangle CBA$ ». המלכודת: « $\triangle ABD \sim \triangle ABC$ » — הזווית ב- $A$ שווה לזווית ב- $C$ , ולכן $A$ מתאים ל- $C$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

הזווית BAD שווה לזווית C.

במשולש $ABC$ הנקודה $D$ על $BC$ , ו- $\angle BAD = \angle C$ . נתון $AB = 6$ ו- $BC = 9$ . מצאו את $BD$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

\triangle ABD \sim \triangle CBA

ז.ז: $\angle BAD = \angle C$ , ו- $\angle B$ משותפת

\frac{AB}{CB} = \frac{BD}{BA}

צלעות מתאימות

\begin{aligned}AB^2 &= BD \cdot BC \Rightarrow 36 \\ &= 9 \cdot BD\end{aligned}

כפל בהצלבה

BD = 4

$BD = 4$ . המלכודת: לכתוב $AB^2 = BD \cdot DC$ . בפרופורציה נכנסת הצלע השלמה $BC$ , כי היא צלע של המשולש הגדול $CBA$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

מהנקודה $P$ שמחוץ למעגל יוצאים משיק $PT$ ( $T$ נקודת ההשקה) וחותך שפוגש את המעגל בנקודות $A$ ו- $B$ ( $A$ בין $P$ ל- $B$ ). נתון $PA = 4$ ו- $AB = 5$ . הוכיחו כי $\triangle PTA \sim \triangle PBT$ , ומצאו את $PT$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 6

Corrigé :

\angle PTA = \angle PBT

הזווית בין משיק למיתר $TA$ שווה לזווית ההיקפית הנשענת על הקשת $TA$

\angle P = \angle P

angle (זווית) commun

\triangle PTA \sim \triangle PBT \Rightarrow \frac{PT}{PB} = \frac{PA}{PT}

A-A

\begin{aligned}PT^2 &= 4 \cdot 9 \\ &= 36 \Rightarrow PT \\ &= 6\end{aligned}

$PB = PA + AB = 9$

$PT = 6$ . המלכודת: $PT^2 = PA \cdot AB = 20$ — בפרופורציה נכנס החותך כולו $PB$ , לא החלק שבתוך המעגל.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

במשולש $ABC$ הנקודה $D$ על $AB$ והנקודה $E$ על $AC$ . נתון $AD = 3$ , $DB = 6$ , $AE = 4$ , $EC = 8$ ו- $BC = 12$ . סדרו את שלבי הפתרון שמוצא את $DE$ .

כותבים $\frac{DE}{BC} = \frac{AD}{AB}$ לפי משפט תאלס המורחב
מחשבים: $\frac{AD}{DB} = \frac{1}{2}$ ו- $\frac{AE}{EC} = \frac{1}{2}$
מסיקים $DE \parallel BC$ לפי המשפט ההפוך למשפט תאלס
מציבים $\frac{DE}{12} = \frac{3}{9}$
מקבלים $DE = 4$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : מחשבים: $\frac{AD}{DB} = \frac{1}{2}$ ו- $\frac{AE}{EC} = \frac{1}{2}$ · מסיקים $DE \parallel BC$ לפי המשפט ההפוך למשפט תאלס · כותבים $\frac{DE}{BC} = \frac{AD}{AB}$ לפי משפט תאלס המורחב · מציבים $\frac{DE}{12} = \frac{3}{9}$ · מקבלים $DE = 4$

Corrigé :

\frac{3}{6} = \frac{4}{8} \Rightarrow DE \parallel BC

קודם הקבלה

\begin{aligned}\frac{DE}{12} &= \frac{3}{9} \Rightarrow DE \\ &= 4\end{aligned}

ורק אחר כך תאלס המורחב

המלכודת: להתחיל בתאלס המורחב. בלי שהוכחנו $DE \parallel BC$ אסור להשתמש בו.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

שטחי שני משולשים דומים הם $32$ ו- $50$ , וסכום ההיקפים שלהם הוא $54$ . מצאו את ההיקף של המשולש הגדול.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 30

Corrigé :

\begin{aligned}k^2 &= \frac{32}{50} \\ &= \frac{16}{25} \Rightarrow k \\ &= \frac{4}{5}\end{aligned}

מהשטחים אל יחס הדמיון — מוציאים שורש

\begin{aligned}P_1 &= 4t \\ \quad P_2 &= 5t \\ \quad 9t &= 54\end{aligned}

ההיקפים ביחס $k$

P_2 = 30

$P_1 = 24$

$30$ . המלכודת: לחלק את $54$ ביחס $32 : 50$ ולקבל $\approx 32.9$ — יחס השטחים אינו יחס ההיקפים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

שלושה ישרים מקבילים $AD$ , $BE$ ו- $CF$ חותכים שני ישרים: האחד בנקודות $A$ , $B$ , $C$ והשני בנקודות $D$ , $E$ , $F$ . נתון $AB = x$ , $BC = x + 4$ , $DE = 6$ ו- $EF = 9$ . השלימו.

$x =$ ____, $BC =$ ____, $AC =$ ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $x =$ 8, $BC =$ 12, $AC =$ 20

Corrigé :

\begin{aligned}\frac{AB}{BC} &= \frac{DE}{EF} \Rightarrow \frac{x}{x+4} \\ &= \frac{6}{9}\end{aligned}

משפט תאלס לשלושה ישרים מקבילים

\begin{aligned}9x &= 6x + 24 \Rightarrow x \\ &= 8\end{aligned}

כפל בהצלבה

\begin{aligned}BC &= 12 \\ \quad AC &= 20\end{aligned}

המלכודת: $\frac{x}{x+4} = \frac{9}{6}$ — להפוך את הסדר באגף אחד, ולקבל $x$ שלילי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercices

La suite se pratique sur elev