On résout ensemble · Transformations et opérations sur les fonctions · Kita י

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

ארבע שאלות בסגנון הבגרות, כל אחת מכל חלק של הפרק. כל שאלה נפתרת שלב אחרי שלב: לחצו, וקראו את ההסבר של כל שלב לפני שממשיכים. נסו לענות לבד לפני כל לחיצה — אחרת זה קריאה, לא תרגול. אחרי כל שאלה מחכה שאלה תאומה: אותה דרך, מספרים אחרים.

בכל השאלות של הפרק, השאלה הראשונה שכדאי לשאול היא: מהי נקודת העיגון, ומה קורה בה? נקודת התחלה של שורש, מפגש אסימפטוטות של היפרבולה, קדקוד של פרבולה — או אפס של $f$ כשמדובר ב- $\frac{1}{f}$ ו- $f^2$ .

שאלה 1 — חקירת פונקציית שורש מוזזת

Activité interactive

שורש עם מקדם שלילי

נתונה הפונקציה $f(x)=-2\sqrt{x-1}+4$ . א. מצאו את תחום ההגדרה. ב. מצאו את נקודת ההתחלה של הגרף ואת קבוצת הערכים. ג. מצאו את נקודות החיתוך עם הצירים.

איך מוצאים את תחום ההגדרה?

דורשים $x-1\ge 0$

Voir la réponse et le corrigé

מה שבתוך השורש אינו שלילי.

דורשים $-2\sqrt{x-1}+4\ge 0$

Voir la réponse et le corrigé

זה תנאי על הערך של הפונקציה, לא על ההגדרה שלה. הפונקציה מותר לה להיות שלילית.

דורשים $x-1>0$

Voir la réponse et le corrigé

$\sqrt{0}=0$ מוגדר. אי-שוויון חזק היה משמיט את נקודת ההתחלה.

x\ge 1

תחום ההגדרה.

מהי קבוצת הערכים?

$y\ge 4$

Voir la réponse et le corrigé

המקדם $-2$ שלילי: הגרף יורד מנקודת ההתחלה.

$y\le 4$

Voir la réponse et le corrigé

$\sqrt{x-1}\ge 0$ , כפול $-2$ נותן $\le 0$ , ועוד 4.

$y\ge -2$

Voir la réponse et le corrigé

$-2$ הוא המקדם, לא הזזה.

(1,\,4),\quad y\le 4

נקודת ההתחלה $(p,k)=(1,4)$ , והגרף יורד ממנה.

איך מוצאים חיתוך עם ציר ה- $y$ ?

מציבים $x=0$

Voir la réponse et le corrigé

$x=0$ לא בתחום ( $x\ge 1$ ). אין חיתוך עם ציר ה- $y$ .

בודקים קודם אם $x=0$ בתחום

Voir la réponse et le corrigé

הוא לא — ולכן אין חיתוך עם ציר ה- $y$ .

0\notin\{x\ge 1\}

אין חיתוך עם ציר ה- $y$ .

ועם ציר ה- $x$ ?

$-2\sqrt{x-1}+4=0$ , ולכן $\sqrt{x-1}=2$

Voir la réponse et le corrigé

מבודדים את השורש ורק אז מעלים בריבוע.

מעלים בריבוע את שני האגפים מיד

Voir la réponse et le corrigé

$(-2\sqrt{x-1}+4)^2$ יוצר איבר מעורב — העבודה מסתבכת ולא מתקדמת.

\begin{aligned}x-1 &= 4 \Rightarrow x \\ &= 5\end{aligned}

בדיקה: $-2\sqrt{4}+4=0$ ✓. נקודת החיתוך $(5,\,0)$ .

Voir la réponse et le corrigé

א. $x\ge 1$ . ב. נקודת התחלה $(1,\,4)$ , קבוצת ערכים $y\le 4$ . ג. $(5,\,0)$ בלבד — אין חיתוך עם ציר ה- $y$ .

Faire l'activité sur elev

שאלה תאומה. נתונה $g(x)=3\sqrt{x+2}-6$ . מצאו את התחום, את קבוצת הערכים ואת נקודות החיתוך עם הצירים.

Voir la réponse et le corrigé

תחום $x\ge -2$ ; נקודת התחלה $(-2,\,-6)$ והגרף עולה, ולכן $y\ge -6$ . ציר $y$ : $g(0)=3\sqrt{2}-6\approx -1.76$ , כלומר $(0,\,3\sqrt{2}-6)$ . ציר $x$ : $\sqrt{x+2}=2$ , $x=2$ — הנקודה $(2,\,0)$ .

שאלה 2 — היפרבולה לפי אסימפטוטות ונקודה

Activité interactive

מוצאים את a, ואז את החיתוכים

\begin{aligned}y &= \frac{a}{x-p}+k \\ \quad x &= -2 \\ \ y &= 3 \\ \quad (0,\,1)\end{aligned}

הגרף של $y=\frac{a}{x-p}+k$ הוא בעל אסימפטוטות $x=-2$ ו- $y=3$ , והוא עובר דרך $(0,\,1)$ . א. מצאו את $a$ , $p$ , $k$ . ב. מצאו את נקודת החיתוך עם ציר ה- $x$ . ג. באילו «רבעים» ביחס לנקודת העיגון נמצאים הענפים?

עיגון

\begin{aligned}p &= -2 \\ \quad k &= 3\end{aligned}

האסימפטוטות נותנות מיד שניים משלושת הפרמטרים.

הצבה

1=\frac{a}{0+2}+3

מציבים את הנקודה $(0,1)$ בפונקציה עם $a$ בלבד.

פתרון

\begin{aligned}\frac{a}{2} &= -2 \Rightarrow a \\ &= -4\end{aligned}

ולכן $y=\frac{-4}{x+2}+3$ .

ציר x

\begin{aligned}\frac{-4}{x+2} &= -3 \Rightarrow x+2 \\ &= \frac{4}{3} \Rightarrow x \\ &= -\frac{2}{3}\end{aligned}

נקודת החיתוך $\left(-\frac{2}{3},\,0\right)$ .

ענפים

a<0

הענפים משמאל-למעלה ומימין-למטה ביחס ל- $(-2,\,3)$ . בדיקה: $(0,1)$ מימין ל- $-2$ ומתחת ל-3 ✓

שימו לב לסדר: קודם העיגון, אחר כך הנקודה. מי שמציב את $(0,1)$ לפני שקבע $p$ ו- $k$ , נשאר עם שלושה נעלמים.

Faire l'activité sur elev

שאלה תאומה. לגרף של $y=\frac{a}{x-p}+k$ אסימפטוטות $x=3$ ו- $y=-2$ , והוא עובר דרך $(1,\,-1)$ . מצאו את $a$ ואת נקודת החיתוך עם ציר ה- $x$ .

Voir la réponse et le corrigé

$p=3$ , $k=-2$ . הצבה: $-1=\frac{a}{-2}-2$ , כלומר $a=-2$ . ציר $x$ : $\frac{-2}{x-3}=2$ , כלומר $x-3=-1$ ו- $x=2$ — הנקודה $(2,\,0)$ .

שאלה 3 — מהגרף של $f$ לגרף של $\frac{1}{f}$

Activité interactive

הופכי של פרבולה

נתונה $f(x)=x^2-2x-3$ , ונגדיר $g(x)=\frac{1}{f(x)}$ . א. מצאו את האסימפטוטות האנכיות של $g$ . ב. קבעו את הסימן של $g$ . ג. מצאו את נקודת הקיצון של $g$ בין האסימפטוטות. ד. מצאו את נקודת החיתוך של $g$ עם ציר ה- $y$ .

מה מחפשים כדי למצוא את האסימפטוטות האנכיות של $g$ ?

את האפסים של $f$

Voir la réponse et le corrigé

שם המכנה של $g$ מתאפס.

את הקדקוד של $f$

Voir la réponse et le corrigé

בקדקוד $f(1)=-4\neq 0$ , ו- $g$ מוגדרת שם היטב.

את החיתוך של $f$ עם ציר ה- $y$

Voir la réponse et le corrigé

$f(0)=-3$ — לא אפס.

\begin{aligned}f(x) &= (x-3)(x+1) \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= -1 \\ \ x &= 3\end{aligned}

אסימפטוטות אנכיות $x=-1$ ו- $x=3$ .

היכן $g$ שלילית?

בין $-1$ ל-3

Voir la réponse et le corrigé

שם הפרבולה $f$ (שפתוחה כלפי מעלה) שלילית, ול- $g$ אותו סימן.

מחוץ לקטע $[-1,\,3]$

Voir la réponse et le corrigé

שם $f$ חיובית — וההופכי שומר על הסימן.

-1<x<3:\ g<0;\qquad x<-1\ \text{או}\ x>3:\ g>0

אותו סימן כמו $f$ .

איזו נקודת קיצון יש ל- $g$ בקטע?

מקסימום $\left(1,\,-\frac{1}{4}\right)$

Voir la réponse et le corrigé

המינימום של $f$ הוא $-4$ ; ההופכי $-\frac{1}{4}$ הוא הערך הקרוב ביותר לאפס בקטע — הגבוה ביותר.

מינימום $(1,\,-4)$

Voir la réponse et le corrigé

זה הקדקוד של $f$ . ב- $g$ הגובה הוא $\frac{1}{-4}$ .

מינימום $\left(1,\,-\frac{1}{4}\right)$

Voir la réponse et le corrigé

למשל $g(0)=-\frac{1}{3}<-\frac{1}{4}$ . הערך ב-1 גבוה מסביבתו — מקסימום.

\begin{aligned}f(1) &= -4 \Rightarrow g(1) \\ &= -\frac{1}{4}\end{aligned}

מינימום של $f$ ← מקסימום של $g$ .

חיתוך עם ציר ה- $y$ ?

$g(0)=\frac{1}{f(0)}=-\frac{1}{3}$

Voir la réponse et le corrigé

$f(0)=-3$ .

$g(0)=-3$

Voir la réponse et le corrigé

זה $f(0)$ , לא $g(0)$ .

\left(0,\,-\frac{1}{3}\right)

והיא אכן מתחת לנקודת המקסימום, כמצופה.

Voir la réponse et le corrigé

א. $x=-1$ , $x=3$ . ב. $g<0$ בין האסימפטוטות ו- $g>0$ מחוצה להן. ג. מקסימום $\left(1,\,-\frac{1}{4}\right)$ . ד. $\left(0,\,-\frac{1}{3}\right)$ . ובנוסף: $y=0$ אסימפטוטה אופקית.

Faire l'activité sur elev

שאלה תאומה. נתונה $f(x)=x^2+4x$ ו- $g=\frac{1}{f}$ . מצאו את האסימפטוטות האנכיות של $g$ , את נקודת הקיצון שלה ביניהן, והאם יש ל- $g$ חיתוך עם ציר ה- $y$ .

Voir la réponse et le corrigé

$f(x)=x(x+4)$ — אסימפטוטות $x=0$ ו- $x=-4$ . הקדקוד של $f$ : $(-2,\,-4)$ , ולכן ל- $g$ מקסימום $\left(-2,\,-\frac{1}{4}\right)$ . אין חיתוך עם ציר ה- $y$ : $x=0$ היא אסימפטוטה.

שאלה 4 — מכפלה ומנה של שורש וישר

Activité interactive

תחום, אפסים וסימן

\begin{aligned}f(x) &= \sqrt{x+3} \\ \quad g(x) &= x-1\end{aligned}

נתונות $f(x)=\sqrt{x+3}$ ו- $g(x)=x-1$ . א. מצאו את תחום ההגדרה של $h_1=f\cdot g$ ושל $h_2=\frac{f}{g}$ . ב. מצאו את האפסים של $h_1$ . ג. היכן $h_1$ שלילית?

Domaine de définition

f:\ x\ge -3,\qquad g:\ \text{כל } x

התחום של כל פונקציה בנפרד.

Domaine de définition

h_1:\ x\ge -3,\qquad h_2:\ x\ge -3,\ x\neq 1

למכפלה — החיתוך של התחומים; למנה — גם $g\neq 0$ .

אפסים

\begin{aligned}\sqrt{x+3} &= 0\ \ \text{או}\ \ x-1 \\ &= 0\end{aligned}

מכפלה מתאפסת כשאחד הגורמים מתאפס.

אפסים

\begin{aligned}x &= -3 \\ \quad x &= 1\end{aligned}

שני האפסים בתחום ✓

סימן

-3<x<1:\ \ (+)\cdot(-)<0

השורש חיובי בכל התחום (חוץ מ- $-3$ ), ולכן הסימן של $h_1$ הוא הסימן של $g$ .

התשובה: $h_1$ שלילית עבור $-3<x<1$ וחיובית עבור $x>1$ . המלכודת: לענות « $x<1$ » — משמאל ל- $-3$ הפונקציה בכלל לא מוגדרת.

Faire l'activité sur elev

שאלה תאומה. נתונות $f(x)=\sqrt{5-x}$ ו- $g(x)=x+2$ . מצאו את תחום ההגדרה של $\frac{f}{g}$ , והיכן $f\cdot g$ חיובית.

Voir la réponse et le corrigé

תחום $\frac{f}{g}$ : $x\le 5$ וגם $x\neq -2$ . $f\cdot g$ מוגדרת עבור $x\le 5$ , מתאפסת ב- $-2$ וב-5, והיא חיובית עבור $-2<x<5$ (שם $g>0$ והשורש חיובי).

Exercices

Exercice 1

תאומה לשאלה 1. נתונה $f(x)=-3\sqrt{x+1}+6$ . באיזה $x$ חותך הגרף את ציר ה- $x$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

-3\sqrt{x+1}+6=0

מציבים $y=0$

\sqrt{x+1}=2

מבודדים את השורש

\begin{aligned}x+1 &= 4 \Rightarrow x \\ &= 3\end{aligned}

מעלים בריבוע

-3\sqrt{4}+6=0\ \checkmark

בדיקה בפונקציה המקורית

המלכודת: להעלות בריבוע לפני שמבודדים את השורש. תמיד: קודם שורש לבד באגף אחד.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

תאומה לשאלה 2. לגרף של $y=\frac{a}{x-p}+k$ אסימפטוטות $x=1$ ו- $y=4$ , והוא עובר דרך הנקודה $(3,\,1)$ . מהו $a$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -6

Corrigé :

\begin{aligned}p &= 1 \\ \ k &= 4\end{aligned}

מהאסימפטוטות

1=\frac{a}{3-1}+4

הצבת הנקודה

\begin{aligned}\frac{a}{2} &= -3 \Rightarrow a \\ &= -6\end{aligned}

פתרון

המלכודת: להציב את $k$ עם סימן הפוך. רק $p$ «מתהפך» בכתיבה $x-p$ ; $k$ נכתב כמו שהוא.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

תאומה לשאלה 3. נתונה $f(x)=x^2-6x+5$ ו- $g=\frac{1}{f}$ . מהי נקודת הקיצון של $g$ בין האסימפטוטות האנכיות שלה?

מינימום $(3,\,-4)$
מינימום $\left(3,\,-\frac{1}{4}\right)$
מקסימום $\left(3,\,-\frac{1}{4}\right)$
מקסימום $\left(3,\,\frac{1}{4}\right)$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C מקסימום $\left(3,\,-\frac{1}{4}\right)$

Corrigé :

f(x)=(x-1)(x-5)

אסימפטוטות $x=1$ , $x=5$

\begin{aligned}f(3) &= 9-18+5 \\ &= -4\end{aligned}

המינימום של $f$ באמצע

g(3)=-\frac{1}{4}

המקסימום של $g$ בקטע

המלכודת: להעתיק את סוג הקיצון או את הסימן. ההופכי שומר על הסימן והופך מינימום למקסימום. התשובה: מקסימום $\left(3,\,-\frac{1}{4}\right)$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

תאומה לשאלה 4. נתונות $f(x)=\sqrt{x+4}$ ו- $g(x)=x-2$ . היכן $f\cdot g$ שלילית?

$x>2$
$-4\le x\le 2$
$-4<x<2$
$x<2$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $-4<x<2$

Corrigé :

x\ge -4

התחום של המכפלה

\begin{aligned}x &= -4 \\ \ x &= 2\end{aligned}

האפסים

-4<x<2:\ (+)\cdot(-)

השורש חיובי, הישר שלילי

המלכודת: לענות $x<2$ ולשכוח שמשמאל ל- $-4$ המכפלה לא מוגדרת, או לכלול את האפסים — שם המכפלה אפס, לא שלילית. התשובה: $-4<x<2$ .

Vérifier la réponse sur elev

שאלה 1 — חקירת פונקציית שורש מוזזת

שאלה 2 — היפרבולה לפי אסימפטוטות ונקודה

שאלה 3 — מהגרף של fff לגרף של 1f\frac{1}{f}f1​

שאלה 4 — מכפלה ומנה של שורש וישר

Exercices

La suite se pratique sur elev

שאלה 3 — מהגרף של $f$ לגרף של $\frac{1}{f}$