Les graphes de 1/f et de f²

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

בבגרות מופיעה שאלה קבועה: נתון הגרף של ff — שרטטו את הגרף של g=1fg=\frac{1}{f}, או של g=f2g=f^2. לא צריך נוסחה של ff. מספיק לעקוב אחרי כמה נקודות: מה קורה לגובה 2? לגובה 1? לגובה 12\frac{1}{2}? ומה קורה איפה ש-ff מתאפסת? בשרטוט: הפרבולה f(x)=x2−1f(x)=x^2-1, והגרף של 1f\frac{1}{f}.

הגרף של 1f\frac{1}{f}: חמישה כללים

f(a)=0f(a)=0

ל-gg אסימפטוטה אנכית x=ax=a — אי אפשר לחלק באפס, וקרוב לשם gg גדלה בערכה המוחלט ללא גבול

f(a)=±1f(a)=\pm 1

g(a)=f(a)g(a)=f(a) — הגרפים נפגשים

סימן\text{סימן}

ל-gg אותו סימן כמו ל-ff בכל נקודה

f ↗f\ \nearrow

היכן ש-ff עולה (ואינה מתאפסת), gg יורדת — ולהפך

max⁡↔min⁡\max \leftrightarrow \min

מקסימום של ff (שאינו אפס) הוא מינימום של gg באותו xx — ולהפך

ידוע ש-f(3)=4f(3)=4. מהו 1f(3)\frac{1}{f(3)}, והאם הנקודה על הגרף של 1f\frac{1}{f} גבוהה או נמוכה מהנקודה על הגרף של ff?

Voir la réponse et le corrigé

14\frac{1}{4} — נמוכה יותר. כשהגובה של ff גדול מ-1, הגובה של 1f\frac{1}{f} קטן מ-1. הנקודה (3, 4)(3,\,4) «הופכת» ל-(3, 14)(3,\,\frac{1}{4}).

הגרף של f2f^2: הכול עולה מעל הציר

ב-g(x)=(f(x))2g(x)=\left(f(x)\right)^2 כל גובה מועלה בריבוע. לכן g≥0g\ge 0 תמיד: מה שהיה מתחת לציר ה-xx עולה מעליו. אבל זה לא רק שיקוף — גם הגובה משתנה: 33 הופך ל-99, ו-12\frac{1}{2} הופך ל-14\frac{1}{4}.

f(a)=0f(a)=0

g(a)=0g(a)=0, וזו נקודת מינימום של gg — הגרף נוגע בציר

∣f∣>1|f|>1

gg גבוהה מ-∣f∣|f|

∣f∣<1|f|<1

gg נמוכה מ-∣f∣|f|

f(a)=±1f(a)=\pm1

g(a)=1g(a)=1

לפונקציה ff יש נקודת מינימום (2, −3)(2,\,-3). מה יש לגרף של f2f^2 ב-x=2x=2?

Voir la réponse et le corrigé

נקודת מקסימום (2, 9)(2,\,9) (מקומי). סביב x=2x=2 הערכים של ff שליליים, וב-2 הערך המוחלט שלהם הכי גדול — ולכן הריבוע הכי גדול שם.

1f\frac{1}{f} של פרבולה, בלי לגזור

נתונה f(x)=x2−4x+3f(x)=x^2-4x+3. תארו את הגרף של g(x)=1f(x)g(x)=\frac{1}{f(x)}.

f(x)=(x−1)(x−3)f(x)=(x-1)(x-3)

האפסים של ff: 1 ו-3

x=1x=3\begin{aligned}x &= 1 \\ \quad x &= 3\end{aligned}

אסימפטוטות אנכיות של gg

1<x<3: f<0⇒g<01<x<3:\ f<0 \Rightarrow g<0

סימן: gg שלילית בין האסימפטוטות, חיובית מחוצה להן

f(2)=−1⇒g(2)=−1\begin{aligned}f(2) &= -1 \Rightarrow g(2) \\ &= -1\end{aligned}

המינימום של ff הופך למקסימום של gg; וכיוון ש-f(2)=−1f(2)=-1, הגרפים נפגשים שם

g(0)=13g(0)=\frac{1}{3}

חיתוך עם ציר ה-yy

y=0y=0

רחוק מהראשית ff גדלה מאוד — gg מתקרבת לאפס

שלוש הטעויות של 1f\frac{1}{f} ו-f2f^2.

f(a)=0⇒1f(a)=0\begin{aligned}f(a) &= 0 \Rightarrow \frac{1}{f(a)} \\ &= 0\end{aligned}
f(a)=0⇒x=a אסימפטוטה\begin{aligned}f(a) &= 0 \Rightarrow x \\ &= a\ \text{אסימפטוטה}\end{aligned}

אפס של ff הוא המקום שבו 1f\frac{1}{f} לא מוגדרת, לא אפס שלה. ל-1f\frac{1}{f} אין אפסים בכלל.

1f(x)=f−1(x)\frac{1}{f(x)}=f^{-1}(x)
1f(x)=(f(x))−1\frac{1}{f(x)}=\left(f(x)\right)^{-1}

f−1f^{-1} מסמנת את הפונקציה ההפוכה — נושא אחר לגמרי. 1f\frac{1}{f} היא ההופכי של הערך.

f(x)=12⇒f2(x)>f(x)f(x)=\frac{1}{2} \Rightarrow f^2(x)>f(x)
(12)2=14<12\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}<\frac{1}{2}

ריבוע «מגדיל» רק מספרים שערכם המוחלט גדול מ-1. בין −1-1 ל-1 הוא מקטין את הערך המוחלט.

האם ייתכן שהגרף של 1f\frac{1}{f} חותך את ציר ה-xx?

Voir la réponse et le corrigé

לא. נקודה על ציר ה-xx פירושה 1f(x)=0\frac{1}{f(x)}=0, וזה דורש 1=01=0. 1f\frac{1}{f} יכולה להתקרב לאפס — אבל לעולם לא להגיע אליו.

Exercices

Exercice 1

בקטע מסוים הפונקציה ff חיובית ועולה. מה ידוע על g=1fg=\frac{1}{f} באותו קטע?

  1. gg חיובית ויורדת
  2. gg שלילית ועולה
  3. gg שלילית ויורדת
  4. gg חיובית ועולה
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A gg חיובית ויורדת

Corrigé :

f>0⇒1f>0f>0 \Rightarrow \frac{1}{f}>0

אותו סימן

0<f(x1)<f(x2)⇒1f(x1)>1f(x2)0<f(x_1)<f(x_2) \Rightarrow \frac{1}{f(x_1)}>\frac{1}{f(x_2)}

מכנה גדול יותר — שבר קטן יותר

המלכודת: לחשוב שההופכי הופך גם את הסימן. הסימן נשאר; רק כיוון העלייה מתהפך. התשובה: gg חיובית ויורדת.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

הגרף של f
(0, 4)(1, 3)(−2, 0)(2, 0)-3-2-10123-112345xy

בשרטוט: הגרף של הפונקציה ff והנקודות המסומנות עליו. השלימו.

1f(0)=\frac{1}{f(0)}= ____ , (f(1))2=\left(f(1)\right)^2= ____ , ומספר האסימפטוטות האנכיות של 1f\frac{1}{f} הוא ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1f(0)=\frac{1}{f(0)}= 0.25 , (f(1))2=\left(f(1)\right)^2= 9 , ומספר האסימפטוטות האנכיות של 1f\frac{1}{f} הוא 2

Corrigé :

f(0)=4⇒14=0.25\begin{aligned}f(0) &= 4 \Rightarrow \frac{1}{4} \\ &= 0.25\end{aligned}

קוראים את הגובה ב-0

f(1)=3⇒32=9\begin{aligned}f(1) &= 3 \Rightarrow 3^2 \\ &= 9\end{aligned}

קוראים את הגובה ב-1

f(−2)=f(2)=0\begin{aligned}f(-2) &= f(2) \\ &= 0\end{aligned}

שני אפסים — שתי אסימפטוטות אנכיות

המלכודת: לספור את האפסים של ff כאפסים של 1f\frac{1}{f}. כל אפס של ff הוא אסימפטוטה של 1f\frac{1}{f}.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

לפונקציה ff שני אפסים: ב-x=−1x=-1 הגרף חוצה את ציר ה-xx, וב-x=2x=2 הוא רק נוגע בו. אילו אסימפטוטות אנכיות יש ל-g=1fg=\frac{1}{f}?

  1. רק x=−1x=-1
  2. x=−1x=-1 ו-x=2x=2
  3. אין אסימפטוטות אנכיות
  4. y=−1y=-1 ו-y=2y=2
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B x=−1x=-1 ו-x=2x=2

Corrigé :

f(−1)=0 f(2)=0\begin{aligned}f(-1) &= 0 \\ \ f(2) &= 0\end{aligned}

בשני המקומות המכנה מתאפס

x=−1 x=2\begin{aligned}x &= -1 \\ \ x &= 2\end{aligned}

שתי אסימפטוטות — לא משנה אם ff חוצה או נוגעת

המלכודת: לחשוב שנקודת השקה «לא נחשבת». ההבדל רק בסימן: ב-2 שני הצדדים של האסימפטוטה באותו סימן, וב-−1-1 הסימן מתחלף. התשובה: x=−1x=-1 ו-x=2x=2.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

לפונקציה הרציפה ff נקודת מקסימום (3, 2)(3,\,2). לכן לפונקציה 1f\frac{1}{f} יש נקודת מינימום (3, 12)\left(3,\,\frac{1}{2}\right).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

f(3)=2⇒1f(3)=12\begin{aligned}f(3) &= 2 \Rightarrow \frac{1}{f(3)} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

הגובה

0<f(x)≤2 בסביבת 30<f(x)\le 2\ \text{בסביבת } 3

סביב המקסימום ff חיובית ולא עולה על 2

1f(x)≥12\frac{1}{f(x)}\ge\frac{1}{2}

ולכן ההופכי לא יורד מתחת ל-12\frac{1}{2}

הטענה נכונה — כי המקסימום חיובי, ו-ff רציפה: קרוב ל-x=3x = 3 היא חיובית וקטנה או שווה ל-22, ולכן 1f\frac{1}{f} שם גדולה או שווה ל-12\frac{1}{2}. המלכודת: לחשוב שההופכי שומר על סוג הקיצון. מכנה גדול נותן שבר קטן, ולכן מקסימום הופך למינימום.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

הוכיחו או הפריכו: לכל פונקציה ff ולכל xx מתקיים (f(x))2≥f(x)\left(f(x)\right)^2\ge f(x).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

f(x)=12f(x)=\frac{1}{2}

דוגמה נגדית: פונקציה קבועה

(12)2=14<12\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}<\frac{1}{2}

הריבוע קטן מהמספר

הטענה אינה נכונה. t2<tt^2<t בדיוק כאשר 0<t<10<t<1. המלכודת: לבדוק רק מספרים שלמים — שם הריבוע תמיד «מגדיל».

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

נתונה f(x)=x−2f(x)=x-2 ו-g(x)=(f(x))2g(x)=\left(f(x)\right)^2. מיינו: באיזה xx הגרף של gg גבוה מהגרף של ff, ובאיזה נמוך ממנו?

  • הגרף של g גבוה יותר
  • הגרף של g נמוך יותר
  • x=0x=0
  • x=1x=1
  • x=2.2x=2.2
  • x=2.5x=2.5
  • x=2.8x=2.8
  • x=4x=4
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : x=0x=0 — הגרף של g גבוה יותר · x=2.5x=2.5 — הגרף של g נמוך יותר · x=4x=4 — הגרף של g גבוה יותר · x=1x=1 — הגרף של g גבוה יותר · x=2.8x=2.8 — הגרף של g נמוך יותר · x=2.2x=2.2 — הגרף של g נמוך יותר

Corrigé :

f(0)=−2 g(0)=4\begin{aligned}f(0) &= -2 \\ \ g(0) &= 4\end{aligned}

גובה שלילי עולה לחיובי

f(2.5)=0.5 g(2.5)=0.25\begin{aligned}f(2.5) &= 0.5 \\ \ g(2.5) &= 0.25\end{aligned}

בין 0 ל-1 הריבוע מקטין

f(4)=2 g(4)=4\begin{aligned}f(4) &= 2 \\ \ g(4) &= 4\end{aligned}

מעל 1 הריבוע מגדיל

f(1)=−1 g(1)=1\begin{aligned}f(1) &= -1 \\ \ g(1) &= 1\end{aligned}

שלילי — gg תמיד גבוהה

f(2.8)=0.8 g(2.8)=0.64\begin{aligned}f(2.8) &= 0.8 \\ \ g(2.8) &= 0.64\end{aligned}

בין 0 ל-1

f(2.2)=0.2 g(2.2)=0.04\begin{aligned}f(2.2) &= 0.2 \\ \ g(2.2) &= 0.04\end{aligned}

בין 0 ל-1

המלכודת: לחשוב ש-f2f^2 תמיד מעל ff. הוא נמוך ממנה בדיוק היכן ש-0<f(x)<10<f(x)<1 — כאן 2<x<32<x<3.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

נתונה f(x)=x2+1f(x)=x^2+1. מהי קבוצת הערכים (התמונה) של g(x)=1f(x)g(x)=\frac{1}{f(x)}?

  1. y>0y>0
  2. 0≤y≤10\le y\le 1
  3. y≥1y\ge 1
  4. 0<y≤10<y\le 1
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D 0<y≤10<y\le 1

Corrigé :

f(x)≥1f(x)\ge 1

התמונה של ff

0<1f(x)≤10<\frac{1}{f(x)}\le 1

ההופכי של מספר שגדול או שווה ל-1

g(0)=1g(0)=1

הערך 1 מתקבל, ב-x=0x=0

1f(x)≠0\frac{1}{f(x)}\neq 0

הערך 0 לא מתקבל לעולם

המלכודת: לכלול את 0 בתמונה. gg מתקרבת ל-0 כש-xx מתרחק — אבל לא מגיעה אליו. התשובה: 0<y≤10<y\le 1.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

נתונה f(x)=x2−6x+8f(x)=x^2-6x+8. לפונקציה g(x)=1f(x)g(x)=\frac{1}{f(x)} יש נקודת קיצון בקטע 2<x<42<x<4. מהו שיעור ה-yy שלה?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -1

Corrigé :

f(x)=(x−2)(x−4)f(x)=(x-2)(x-4)

האפסים 2 ו-4 הם אסימפטוטות של gg

xv=2+42=3\begin{aligned}x_v &= \frac{2+4}{2} \\ &= 3\end{aligned}

הקדקוד של ff באמצע

f(3)=9−18+8=−1\begin{aligned}f(3) &= 9-18+8 \\ &= -1\end{aligned}

המינימום של ff

g(3)=1−1=−1\begin{aligned}g(3) &= \frac{1}{-1} \\ &= -1\end{aligned}

המקסימום של gg בקטע

המלכודת: לענות 11 — ההופכי לא משנה סימן. וכאן f(3)=−1f(3)=-1, ולכן זו אחת הנקודות שבהן ff ו-1f\frac{1}{f} נפגשות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

התאימו לכל תכונה של ff את התכונה המתאימה של g=1fg=\frac{1}{f}.

  • f(a)=0f(a)=0
  • f(a)=1f(a)=1
  • ff חיובית ועולה
  • ff גדלה ללא גבול כש-xx גדל
  • g(a)=1g(a)=1
  • gg חיובית ויורדת
  • gg מתקרבת ל-0 כש-xx גדל
  • ל-gg אסימפטוטה x=ax=a
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : f(a)=0f(a)=0 — ל-gg אסימפטוטה x=ax=a · f(a)=1f(a)=1 — g(a)=1g(a)=1 · ff חיובית ועולה — gg חיובית ויורדת · ff גדלה ללא גבול כש-xx גדל — gg מתקרבת ל-0 כש-xx גדל

Corrigé :

10\frac{1}{0}

לא מוגדר — אסימפטוטה

11=1\frac{1}{1}=1

הגרפים נפגשים

f↗ ⇒ 1f↘f \nearrow \ \Rightarrow\ \frac{1}{f} \searrow

מכנה גדל — שבר קטן: כיוון מתהפך

f=1000⇒g=0.001\begin{aligned}f &= 1000 \Rightarrow g \\ &= 0.001\end{aligned}

מכנה גדול מאוד — שבר קרוב לאפס: אסימפטוטה אופקית

המלכודת: להתאים «f(a)=0f(a)=0» ל«g(a)=0g(a)=0». ל-1f\frac{1}{f} אין אפסים — יש לה אסימפטוטה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

לפונקציה ff נקודת מינימום (4, −3)(4,\,-3). מה ידוע על הגרף של g(x)=(f(x))2g(x)=\left(f(x)\right)^2 ב-x=4x=4?

  1. יש לו נקודת מינימום (4, −9)(4,\,-9)
  2. יש לו נקודת מקסימום (4, 9)(4,\,9)
  3. יש לו נקודת מקסימום (4, −9)(4,\,-9)
  4. יש לו נקודת מינימום (4, 9)(4,\,9)
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B יש לו נקודת מקסימום (4, 9)(4,\,9)

Corrigé :

g(4)=(−3)2=9\begin{aligned}g(4) &= (-3)^2 \\ &= 9\end{aligned}

הגובה

−3≤f(x)<0 בסביבת 4-3\le f(x)<0\ \text{בסביבת } 4

סביב 4 הערכים של ff שליליים ו-−3-3 הכי רחוק מאפס

0<(f(x))2≤90<\left(f(x)\right)^2\le 9

ולכן הריבוע הכי גדול ב-4

המלכודת: לחשוב שריבוע שומר על סוג הקיצון. בערכים שליליים מינימום של ff הוא הערך המוחלט הגדול ביותר — ולכן מקסימום של f2f^2. התשובה: מקסימום (4, 9)(4,\,9).

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe