Somme, produit et quotient de fonctions

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

איך נראה הגרף של h(x)=x+1xh(x)=x+\frac{1}{x}? אין צורך בנוסחה חדשה: בכל xx מחברים שני גבהים — את הגובה של הישר y=xy=x ואת הגובה של ההיפרבולה y=1xy=\frac{1}{x}. ב-x=1x=1 זה 1+1=21+1=2; ב-x=4x=4 זה 4+0.254+0.25, כמעט על הישר; וקרוב ל-0 ההיפרבולה משתלטת. בשרטוט רואים את שלושת הגרפים יחד.

ארבע פעולות, ותחום הגדרה אחד משותף

פעולה על פונקציות היא פעולה על הערכים שלהן, נקודה אחרי נקודה. כדי לחשב את (f+g)(x)(f+g)(x) צריך את f(x)f(x) וגם את g(x)g(x) — ולכן הסכום מוגדר רק היכן ששתיהן מוגדרות. במנה יש תנאי נוסף: אסור לחלק באפס.

(f±g)(x)=f(x)±g(x)(f\pm g)(x)=f(x)\pm g(x)

תחום: היכן ש-ff וגם gg מוגדרות

(f⋅g)(x)=f(x)⋅g(x)(f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x)

אותו תחום. המכפלה מתאפסת היכן שאחת מהן מתאפסת

(fg)(x)=f(x)g(x)\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}

אותו תחום, ובנוסף g(x)≠0g(x)\neq 0

f(x)=xf(x)=\sqrt{x} ו-g(x)=4−xg(x)=\sqrt{4-x}. מהו תחום ההגדרה של f+gf+g?

Voir la réponse et le corrigé

0≤x≤40\le x\le 4. ff דורשת x≥0x\ge 0, ו-gg דורשת x≤4x\le 4. הסכום צריך את שתיהן יחד — החיתוך של שני התחומים, לא האיחוד.

הסימן של מכפלה ושל מנה

את הסימן של f⋅gf\cdot g אפשר לקרוא בלי לפתוח סוגריים: חיובי כפול חיובי — חיובי, שלילי כפול חיובי — שלילי. אותו כלל בדיוק למנה fg\frac{f}{g}. לכן מספיק לדעת היכן כל אחת מהפונקציות חיובית והיכן שלילית — ואת זה רואים בגרף שלה.

f(x)=x−2f(x)=x-2 ו-g(x)=x+3g(x)=x+3. היכן המכפלה f⋅gf\cdot g שלילית?

Voir la réponse et le corrigé

עבור −3<x<2-3<x<2. שם gg כבר חיובית ו-ff עדיין שלילית. משמאל ל-−3-3 שתיהן שליליות, ומימין ל-2 שתיהן חיוביות — ובשני המקרים המכפלה חיובית.

תחום וערך של מנה

נתונות f(x)=x+1f(x)=\sqrt{x+1} ו-g(x)=x−3g(x)=x-3. מצאו את תחום ההגדרה של h=fgh=\frac{f}{g} ואת h(8)h(8).

x+1≥0⇒x≥−1x+1\ge 0 \Rightarrow x\ge -1

התחום של ff

g: כל xg:\ \text{כל } x

התחום של gg

g(x)≠0⇒x≠3g(x)\neq 0 \Rightarrow x\neq 3

התנאי של המנה

x≥−1,  x≠3x\ge -1,\ \ x\neq 3

תחום ההגדרה של hh

h(8)=98−3=35\begin{aligned}h(8) &= \frac{\sqrt{9}}{8-3} \\ &= \frac{3}{5}\end{aligned}

הצבה: קודם כל פונקציה בנפרד, אחר כך חילוק

שלוש הטעויות של הפעולות.

h=x+1x−3:  x≥−1h=\frac{\sqrt{x+1}}{x-3}:\ \ x\ge -1
x≥−1,  x≠3x\ge -1,\ \ x\neq 3

במנה שני תנאים: המונה מוגדר, והמכנה אינו אפס.

(f⋅g)(x)=f(g(x))(f\cdot g)(x)=f\left(g(x)\right)
(f⋅g)(x)=f(x)⋅g(x)(f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x)

מכפלה של פונקציות היא כפל של שני ערכים. הצבה של פונקציה בפונקציה היא פעולה אחרת — הרכבה.

x2−4x−2=x+2  לכל x\frac{x^2-4}{x-2}=x+2\ \ \text{לכל } x
x2−4x−2=x+2  x≠2\begin{aligned}\frac{x^2-4}{x-2} &= x+2 \\ \ \ x\neq 2\end{aligned}

הצמצום לא מוחק את התנאי. הגרף הוא ישר עם חור.

לפני כל פעולה על פונקציות — שלוש שאלות: איפה ff מוגדרת? איפה gg מוגדרת? והאם יש מכנה שמתאפס? התשובה לשלוש יחד היא תחום ההגדרה.

Exercices

Exercice 1

נתונות f(x)=x2−1f(x)=x^2-1 ו-g(x)=3−xg(x)=3-x. חשבו את (f−g)(4)(f-g)(4).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 16

Corrigé :

f(4)=16−1=15\begin{aligned}f(4) &= 16-1 \\ &= 15\end{aligned}

מחשבים כל פונקציה בנפרד

g(4)=3−4=−1\begin{aligned}g(4) &= 3-4 \\ &= -1\end{aligned}

ואת השנייה — היא יוצאת שלילית

(f−g)(4)=15−(−1)=16\begin{aligned}(f-g)(4) &= 15-(-1) \\ &= 16\end{aligned}

מחסרים את הערכים

המלכודת: לחסר בלי סוגריים ולקבל 15−1=1415-1=14. g(4)g(4) שלילי, ומינוס כפול מינוס נותן פלוס.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

מהו תחום ההגדרה של h(x)=x−1+5−xh(x)=\sqrt{x-1}+\sqrt{5-x}?

  1. x≥1x\ge 1
  2. 1≤x≤51\le x\le 5
  3. x≤5x\le 5
  4. כל xx
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B 1≤x≤51\le x\le 5

Corrigé :

x−1≥0⇒x≥1x-1\ge 0 \Rightarrow x\ge 1

השורש הראשון

5−x≥0⇒x≤55-x\ge 0 \Rightarrow x\le 5

השורש השני

1≤x≤51\le x\le 5

שני התנאים יחד

המלכודת: לאחד את התחומים («x≥1x\ge 1 או x≤5x\le 5» הם כל המספרים). סכום דורש ששני המחוברים יהיו מוגדרים. התשובה: 1≤x≤51\le x\le 5.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

נתונות f(x)=xf(x)=\sqrt{x} ו-g(x)=x−4g(x)=x-4. מהו תחום ההגדרה של fg\frac{f}{g}?

  1. x≥0x\ge 0
  2. x≠4x\neq 4
  3. x>4x>4
  4. x≥0x\ge 0 וגם x≠4x\neq 4
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D x≥0x\ge 0 וגם x≠4x\neq 4

Corrigé :

x≥0x\ge 0

התחום של ff

x−4≠0⇒x≠4x-4\neq 0 \Rightarrow x\neq 4

המכנה אינו אפס

המלכודת: לשכוח אחד משני התנאים — או לחשוב שהמכנה צריך להיות חיובי. מכנה שלילי מותר, רק אפס אסור. התשובה: x≥0x\ge 0 וגם x≠4x\neq 4.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

ערכי f ו-g
x−10123
f(x)320−14
g(x)1−2532

בטבלה ערכים של שתי פונקציות. השלימו.

(f+g)(1)=(f+g)(1)= ____ , (f⋅g)(2)=(f\cdot g)(2)= ____ , (fg)(3)=\left(\frac{f}{g}\right)(3)= ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : (f+g)(1)=(f+g)(1)= 5 , (f⋅g)(2)=(f\cdot g)(2)= -3 , (fg)(3)=\left(\frac{f}{g}\right)(3)= 2

Corrigé :

(f+g)(1)=0+5=5\begin{aligned}(f+g)(1) &= 0+5 \\ &= 5\end{aligned}

העמודה של x=1x=1

(f⋅g)(2)=(−1)⋅3=−3\begin{aligned}(f\cdot g)(2) &= (-1)\cdot 3 \\ &= -3\end{aligned}

העמודה של x=2x=2

(fg)(3)=42=2\begin{aligned}\left(\frac{f}{g}\right)(3) &= \frac{4}{2} \\ &= 2\end{aligned}

העמודה של x=3x=3

המלכודת: לקרוא ערך מעמודה אחרת. כל פעולה לוקחת את שני הערכים באותו xx. שימו לב גם ש-gf\frac{g}{f} לא מוגדרת ב-x=1x=1, כי שם f(1)=0f(1)=0.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

נתונות f(x)=x−1f(x)=x-1 ו-g(x)=x+2g(x)=x+2. מיינו את הנקודות לפי הסימן של (f⋅g)(x)(f\cdot g)(x).

  • חיובית
  • שלילית
  • x=−1x=-1
  • x=−2.5x=-2.5
  • x=−3x=-3
  • x=0x=0
  • x=1.5x=1.5
  • x=2x=2
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : x=−3x=-3 — חיובית · x=0x=0 — שלילית · x=2x=2 — חיובית · x=−1x=-1 — שלילית · x=1.5x=1.5 — חיובית · x=−2.5x=-2.5 — חיובית

Corrigé :

x=−3: (−)⋅(−)=+\begin{aligned}x &= -3:\ (-)\cdot(-) \\ &= +\end{aligned}

שתיהן שליליות

x=0: (−)⋅(+)=−\begin{aligned}x &= 0:\ (-)\cdot(+) \\ &= -\end{aligned}

בין −2-2 ל-1

x=2: (+)⋅(+)=+\begin{aligned}x &= 2:\ (+)\cdot(+) \\ &= +\end{aligned}

שתיהן חיוביות

x=−1: (−)⋅(+)=−\begin{aligned}x &= -1:\ (-)\cdot(+) \\ &= -\end{aligned}

בין −2-2 ל-1

x=1.5: (+)⋅(+)=+\begin{aligned}x &= 1.5:\ (+)\cdot(+) \\ &= +\end{aligned}

מימין ל-1

x=−2.5: (−)⋅(−)=+\begin{aligned}x &= -2.5:\ (-)\cdot(-) \\ &= +\end{aligned}

משמאל ל-−2-2

המלכודת: x=−2.5x=-2.5. גם שם ff שלילית — אבל גם gg שלילית, והמכפלה חיובית. המכפלה שלילית רק בין שני האפסים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

הוכיחו או הפריכו: אם ff ו-gg פונקציות עולות לכל xx, אז גם f⋅gf\cdot g עולה לכל xx.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

f(x)=g(x)=x\begin{aligned}f(x) &= g(x) \\ &= x\end{aligned}

שתי פונקציות עולות

(f⋅g)(x)=x2(f\cdot g)(x)=x^2

המכפלה

(f⋅g)(−2)=4>(f⋅g)(−1)=1\begin{aligned}(f\cdot g)(-2) &= 4>(f\cdot g)(-1) \\ &= 1\end{aligned}

בין −2-2 ל-−1-1 המכפלה יורדת

הטענה אינה נכונה. דוגמה נגדית אחת מספיקה: x⋅x=x2x\cdot x=x^2 יורדת עבור x<0x<0. המלכודת: להסיק מ«חיבור של עולות הוא עולה» — עבור כפל זה לא עובד כשהערכים שליליים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

נתונות שתי פונקציות זוגיות ff ו-gg המוגדרות לכל xx, ונגדיר h(x)=f(x)⋅g(x)h(x)=f(x)\cdot g(x). הוכיחו ש-hh זוגית.

  • f(−x)=f(x)f(-x)=f(x) לכל xx
  • g(−x)=g(x)g(-x)=g(x) לכל xx

h(−x)=h(x)h(-x)=h(x)

Voir la réponse et le corrigé
  1. h(−x)=f(−x)⋅g(−x)h(-x)=f(-x)\cdot g(-x) — הגדרת hh, הצבת −x-x
  2. f(−x)=f(x)f(-x)=f(x) — נתון: ff זוגית
  3. g(−x)=g(x)g(-x)=g(x) — נתון: gg זוגית
  4. h(−x)=f(x)⋅g(x)h(-x)=f(x)\cdot g(x) — הצבת שני הנתונים
  5. h(−x)=h(x)h(-x)=h(x) — הגדרת hh

Corrigé :

h(−x)=f(−x)g(−x)=f(x)g(x)=h(x)\begin{aligned}h(-x) &= f(-x)g(-x) \\ &= f(x)g(x) \\ &= h(x)\end{aligned}

שרשרת אחת

המלכודת: לבדוק כמה מספרים ולהכריז «הוכחנו». טענה «לכל xx» מוכיחים עם xx כללי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

נתונות f(x)=2x+1f(x)=2x+1 ו-g(x)=x−3g(x)=x-3. עבור איזה xx מתקיים (fg)(x)=3\left(\frac{f}{g}\right)(x)=3?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 10

Corrigé :

2x+1x−3=3x≠3\begin{aligned}\frac{2x+1}{x-3} &= 3 \\ \quad x\neq 3\end{aligned}

המשוואה ותנאי התחום

2x+1=3x−92x+1=3x-9

On multiplie par le dénominateur (מכנה)

x=10x=10

פתרון

g(10)=7≠0g(10)=7\neq 0

הפתרון בתחום ✓

המלכודת: לכפול רק את xx ב-3 ולכתוב 2x+1=3x−32x+1=3x-3. כופלים את כל המכנה: 3(x−3)=3x−93(x-3)=3x-9.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

נתונות f(x)=x2f(x)=x^2 ו-g(x)=1xg(x)=\frac{1}{x}. איזו טענה על h(x)=f(x)⋅g(x)h(x)=f(x)\cdot g(x) נכונה?

  1. h(x)=xh(x)=x לכל xx
  2. h(x)=xh(x)=x עבור x≠0x\neq 0, והגרף הוא ישר בלי הראשית
  3. h(x)=1x3h(x)=\frac{1}{x^3}
  4. h(x)=x3h(x)=x^3
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B h(x)=xh(x)=x עבור x≠0x\neq 0, והגרף הוא ישר בלי הראשית

Corrigé :

x≠0x\neq 0

התחום של gg — ולכן גם של המכפלה

x2⋅1x=xx^2\cdot\frac{1}{x}=x

פישוט

המלכודת: לפשט ולשכוח ש-gg לא מוגדרת ב-0. הנקודה (0,0)(0,0) חסרה בגרף. התשובה: h(x)=xh(x)=x עבור x≠0x\neq 0.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

תלמידה כתבה את התנאים של תחום ההגדרה של h(x)=x+2x−1h(x)=\frac{\sqrt{x+2}}{x-1}. שורה אחת שגויה — מצאו אותה.

x+2≥0⇒x≥−2x+2\ge 0 \Rightarrow x\ge -2
x−1≥0⇒x≥1x-1\ge 0 \Rightarrow x\ge 1
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : x−1≥0⇒x≥1x-1\ge 0 \Rightarrow x\ge 1 → x−1≠0⇒x≠1x-1\neq 0 \Rightarrow x\neq 1

Corrigé :

x+2\sqrt{x+2}

השורש נמצא במונה — הוא דורש x+2≥0x+2\ge 0

x−1x-1

המכנה אינו בתוך שורש — הוא רק צריך להיות שונה מאפס

תחום: x≥−2,  x≠1\text{תחום: } x\ge -2,\ \ x\neq 1

שני התנאים יחד

המלכודת: להעתיק את התנאי של השורש גם למכנה. x=0x=0 למשל מותר: h(0)=2−1h(0)=\frac{\sqrt{2}}{-1}.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe