Réflexions : −f(x), f(−x) et −f(−x)

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

לפני כל כלל — תמונה. הגרף של y=xy=\sqrt{x} יוצא מהראשית ועולה ימינה. יש שלוש דרכים «להפוך» אותו: להפוך למטה, להפוך לצד השני, או לעשות את שני הדברים יחד. כל אחת מהן נכתבת בעזרת מינוס אחד — והמקום של המינוס הוא כל ההבדל.

ארבעת הגרפים של שורש x
-5-4-3-2-1012345-3-2-1123xy
  • y = √x
  • y = −√x
  • y = √(−x)
  • y = −√(−x)
עקבו אחרי הנקודה (4,2)(4,2): ב-−f(x)-f(x) היא עוברת ל-(4,−2)(4,-2), ב-f(−x)f(-x) ל-(−4,2)(-4,2), וב-−f(−x)-f(-x) ל-(−4,−2)(-4,-2).

שיקוף בציר ה-xx: y=−f(x)y=-f(x)

המינוס נמצא מחוץ לפונקציה, ולכן הוא פוגע בתוצאה: כל נקודה (a, b)(a,\,b) עוברת ל-(a, −b)(a,\,-b). מה שהיה מעל ציר ה-xx יורד מתחתיו. נקודות האפס לא זזות, תחום ההגדרה לא משתנה, ונקודת מקסימום הופכת לנקודת מינימום.

לפונקציה ff יש נקודת מקסימום (2, 5)(2,\,5). מה ידוע על הגרף של y=−f(x)y=-f(x) ב-x=2x=2?

Voir la réponse et le corrigé

יש לו נקודת מינימום (2, −5)(2,\,-5). השיקוף הופך את הגובה: הנקודה שהייתה הגבוהה ביותר בסביבתה הופכת לנמוכה ביותר.

שיקוף בציר ה-yy: y=f(−x)y=f(-x)

עכשיו המינוס נמצא בתוך הפונקציה, צמוד ל-xx. הגובה לא משתנה, אבל הצד מתחלף: (a, b)(a,\,b) עוברת ל-(−a, b)(-a,\,b). לכן גם תחום ההגדרה משתקף: x\sqrt{x} מוגדרת עבור x≥0x\ge 0, ו-−x\sqrt{-x} מוגדרת עבור x≤0x\le 0. נקודת החיתוך עם ציר ה-yy לא זזה — היא יושבת על ציר השיקוף.

מאיזו נקודה יוצא הגרף של y=4−xy=\sqrt{4-x}, ולאיזה כיוון הוא הולך?

Voir la réponse et le corrigé

מ-(4, 0)(4,\,0), שמאלה. התנאי 4−x≥04-x\ge 0 נותן x≤4x\le 4. אפשר לראות זאת גם כטרנספורמציות: 4−x=−(x−4)\sqrt{4-x}=\sqrt{-(x-4)} — שיקוף בציר ה-yy, ואחריו הזזה ימינה ב-4.

−f(x)-f(x)

(a,b)→(a,−b)(a,b)\rightarrow(a,-b) — שיקוף בציר ה-xx

f(−x)f(-x)

(a,b)→(−a,b)(a,b)\rightarrow(-a,b) — שיקוף בציר ה-yy

−f(−x)-f(-x)

(a,b)→(−a,−b)(a,b)\rightarrow(-a,-b) — שיקוף ביחס לראשית

כשהשיקוף לא משנה דבר — זוגיות

יש פונקציות שהשיקוף בציר ה-yy מחזיר בדיוק לאותו גרף: f(−x)=f(x)f(-x)=f(x) לכל xx. אלה הפונקציות הזוגיות. ויש פונקציות ששיקוף ביחס לראשית מחזיר אותן לעצמן: −f(−x)=f(x)-f(-x)=f(x), כלומר f(−x)=−f(x)f(-x)=-f(x). אלה האי-זוגיות. הזוגיות היא לא נושא חדש — היא בדיוק השאלה «האם השיקוף הזיז משהו?».

שני שיקופים של אותה פרבולה

נתונה f(x)=x2−4xf(x)=x^2-4x. מצאו את f(−x)f(-x) ואת −f(x)-f(x), ואת הקדקוד של כל אחת.

f(x)=(x−2)2−4f(x)=(x-2)^2-4

קדקוד ff: (2, −4)(2,\,-4)

f(−x)=(−x)2−4(−x)=x2+4x\begin{aligned}f(-x) &= (-x)^2-4(-x) \\ &= x^2+4x\end{aligned}

מציבים −x-x בסוגריים במקום כל xx

x2+4x=(x+2)2−4x^2+4x=(x+2)^2-4

קדקוד (−2, −4)(-2,\,-4) — עבר לצד השני, אותו גובה

−f(x)=−x2+4x=−(x−2)2+4\begin{aligned}-f(x) &= -x^2+4x \\ &= -(x-2)^2+4\end{aligned}

קדקוד (2, 4)(2,\,4) — אותו xx, והפרבולה נהפכה: עכשיו זו נקודת מקסימום

שתי הטעויות של השיקוף.

f(x)=x2−4x⇒f(−x)=−x2−4x\begin{aligned}f(x) &= x^2-4x \Rightarrow f(-x) \\ &= -x^2-4x\end{aligned}
f(−x)=(−x)2−4(−x)=x2+4x\begin{aligned}f(-x) &= (-x)^2-4(-x) \\ &= x^2+4x\end{aligned}

מציבים −x-x עם סוגריים בכל מקום שבו מופיע xx. (−x)2(-x)^2 הוא x2x^2, לא −x2-x^2.

f(−x)=−f(x)  לכל ff(-x)=-f(x)\ \ \text{לכל}\ f
x2−4x:  f(−x)≠−f(x)x^2-4x:\ \ f(-x)\neq -f(x)

השוויון הזה מתקיים רק בפונקציה אי-זוגית. באופן כללי אלה שני גרפים שונים.

האם ייתכן שהגרף של y=−f(x)y=-f(x) זהה לגרף של y=f(x)y=f(x)?

Voir la réponse et le corrigé

כן, אבל רק כאשר f(x)=−f(x)f(x)=-f(x) לכל xx, כלומר f(x)=0f(x)=0. הפונקציה היחידה ששיקוף בציר ה-xx לא משנה אותה היא פונקציית האפס.

Exercices

Exercice 1

הנקודה (3, −2)(3,\,-2) נמצאת על הגרף של y=f(x)y=f(x). איזו נקודה נמצאת בוודאות על הגרף של y=f(−x)y=f(-x)?

  1. (−3, 2)(-3,\,2)
  2. (−3, −2)(-3,\,-2)
  3. (3, 2)(3,\,2)
  4. (−2, 3)(-2,\,3)
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B (−3, −2)(-3,\,-2)

Corrigé :

f(−x) ב- x=−3: f(3)=−2\begin{aligned}f(-x)\ \text{ב-}\ x &= -3:\ f(3) \\ &= -2\end{aligned}

מציבים x=−3x=-3 ומקבלים את הערך שבנקודה הנתונה

(3,−2)→(−3,−2)(3,-2)\rightarrow(-3,-2)

שיקוף בציר ה-yy: ה-xx מחליף סימן, הגובה נשאר

המלכודת: להפוך את הגובה. הנקודה (3, 2)(3,\,2) שייכת ל-−f(x)-f(x), והנקודה (−3, 2)(-3,\,2) ל-−f(−x)-f(-x). התשובה: (−3, −2)(-3,\,-2).

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

נתונה f(x)=x3−2x2+5f(x)=x^3-2x^2+5. מהי f(−x)f(-x)?

  1. −x3+2x2+5-x^3+2x^2+5
  2. −x3−2x2+5-x^3-2x^2+5
  3. x3+2x2+5x^3+2x^2+5
  4. −x3+2x2−5-x^3+2x^2-5
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B −x3−2x2+5-x^3-2x^2+5

Corrigé :

f(−x)=(−x)3−2(−x)2+5f(-x)=(-x)^3-2(-x)^2+5

מציבים −x-x בסוגריים

(−x)3=−x3(−x)2=x2\begin{aligned}(-x)^3 &= -x^3 \\ \quad (-x)^2 &= x^2\end{aligned}

חזקה אי-זוגית מחליפה סימן, זוגית לא

f(−x)=−x3−2x2+5f(-x)=-x^3-2x^2+5

התוצאה

המלכודת: להפוך את כל הסימנים. −x3+2x2−5-x^3+2x^2-5 היא −f(x)-f(x), לא f(−x)f(-x). התשובה: −x3−2x2+5-x^3-2x^2+5.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

הפונקציה y=6−xy=\sqrt{6-x} מוגדרת עבור x≤cx\le c. מהו cc?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 6

Corrigé :

6−x≥06-x\ge 0

תנאי הקיום של השורש

x≤6x\le 6

מעבירים אגף

6−x=−(x−6)\sqrt{6-x}=\sqrt{-(x-6)}

שיקוף בציר ה-yy והזזה ימינה ב-6: הגרף יוצא מ-(6,0)(6,0) שמאלה

המלכודת: לכתוב x≥6x\ge 6. בגלל המינוס ליד ה-xx, השורש מוגדר משמאל ל-6.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

לפונקציה ff יש נקודת מקסימום (−1, 4)(-1,\,4). מה ידוע על הגרף של y=−f(x)y=-f(x)?

  1. יש לו נקודת מינימום (−1, −4)(-1,\,-4)
  2. יש לו נקודת מינימום (1, 4)(1,\,4)
  3. יש לו נקודת מקסימום (1, −4)(1,\,-4)
  4. יש לו נקודת מקסימום (−1, −4)(-1,\,-4)
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A יש לו נקודת מינימום (−1, −4)(-1,\,-4)

Corrigé :

(−1,4)→(−1,−4)(-1,4)\rightarrow(-1,-4)

שיקוף בציר ה-xx: הגובה מחליף סימן

f(x)≤4⇒−f(x)≥−4f(x)\le 4 \Rightarrow -f(x)\ge -4

בסביבת x=−1x=-1 — ולכן זו נקודת מינימום

המלכודת: לשכוח שהשיקוף הופך את סוג הקיצון. התשובה: נקודת מינימום (−1, −4)(-1,\,-4).

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

לכל פונקציה ff, הגרפים של y=−f(x)y=-f(x) ושל y=f(−x)y=f(-x) שונים זה מזה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

f(x)=x3f(x)=x^3

דוגמה נגדית

−f(x)=−x3f(−x)=(−x)3=−x3\begin{aligned}-f(x) &= -x^3 \\ \quad f(-x) &= (-x)^3 \\ &= -x^3\end{aligned}

שני הביטויים שווים

הטענה אינה נכונה. בכל פונקציה אי-זוגית שני השיקופים נותנים אותו גרף. מספיקה דוגמה נגדית אחת כדי להפריך «לכל».

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

הנקודה (2, 5)(2,\,5) נמצאת על הגרף של y=f(x)y=f(x). התאימו לכל פונקציה נקודה על הגרף שלה.

  • y=−f(x)y=-f(x)
  • y=f(−x)y=f(-x)
  • y=−f(−x)y=-f(-x)
  • y=−f(x)+5y=-f(x)+5
  • (−2, −5)(-2,\,-5)
  • (−2, 5)(-2,\,5)
  • (2, −5)(2,\,-5)
  • (2, 0)(2,\,0)
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : y=−f(x)y=-f(x) — (2, −5)(2,\,-5) · y=f(−x)y=f(-x) — (−2, 5)(-2,\,5) · y=−f(−x)y=-f(-x) — (−2, −5)(-2,\,-5) · y=−f(x)+5y=-f(x)+5 — (2, 0)(2,\,0)

Corrigé :

−f(2)=−5-f(2)=-5

שיקוף בציר ה-xx

f(−(−2))=f(2)=5\begin{aligned}f(-(-2)) &= f(2) \\ &= 5\end{aligned}

שיקוף בציר ה-yy

−f(−(−2))=−5-f(-(-2))=-5

שני השיקופים

−5+5=0-5+5=0

שיקוף ואחריו הזזה למעלה ב-5

המלכודת: לשכוח שב-−f(x)+5-f(x)+5 קודם משקפים ורק אחר כך מזיזים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

נתונה f(x)=x2−6x+5f(x)=x^2-6x+5, ונגדיר g(x)=f(−x)g(x)=f(-x). מהו שיעור ה-xx של קדקוד הפרבולה gg?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -3

Corrigé :

f(x)=(x−3)2−4f(x)=(x-3)^2-4

קדקוד ff: (3, −4)(3,\,-4)

g(x)=x2+6x+5=(x+3)2−4\begin{aligned}g(x) &= x^2+6x+5 \\ &= (x+3)^2-4\end{aligned}

או ישירות: הצבת −x-x

(3,−4)→(−3,−4)(3,-4)\rightarrow(-3,-4)

שיקוף בציר ה-yy

המלכודת: לשקף גם את הגובה ולקבל (−3, 4)(-3,\,4). שיקוף בציר ה-yy משנה רק את xx.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

מיינו: האם שיקוף בציר ה-yy משנה את הגרף?

  • לא משנה
  • משנה
  • y=1x2y=\frac{1}{x^2}
  • y=xy=\sqrt{x}
  • y=∣x∣+1y=|x|+1
  • y=x3y=x^3
  • y=x4−x2y=x^4-x^2
  • y=x+1y=x+1
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : y=x4−x2y=x^4-x^2 — לא משנה · y=∣x∣+1y=|x|+1 — לא משנה · y=1x2y=\frac{1}{x^2} — לא משנה · y=x3y=x^3 — משנה · y=x+1y=x+1 — משנה · y=xy=\sqrt{x} — משנה

Corrigé :

(−x)4−(−x)2=x4−x2(-x)^4-(-x)^2=x^4-x^2

זוגית

∣−x∣+1=∣x∣+1|-x|+1=|x|+1

זוגית

1(−x)2=1x2\frac{1}{(-x)^2}=\frac{1}{x^2}

זוגית

(−x)3=−x3(-x)^3=-x^3

משתנה

−x+1≠x+1-x+1\neq x+1

משתנה

−x: x≤0\sqrt{-x}:\ x\le 0

אפילו תחום ההגדרה עובר צד

המלכודת: x\sqrt{x}. היא לא «מתהפכת», אבל השיקוף מעביר אותה כולה לצד השמאלי — ולכן הגרף משתנה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

נתונה f(x)=x+9f(x)=\sqrt{x+9}. השלימו על הגרף של y=f(−x)y=f(-x).

y=f(−x)y=f(-x) מוגדרת עבור x≤x \le ____, והגרף שלה חותך את ציר ה-yy בנקודה שבה y=y= ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : y=f(−x)y=f(-x) מוגדרת עבור x≤x \le 9, והגרף שלה חותך את ציר ה-yy בנקודה שבה y=y= 3

Corrigé :

f(−x)=9−xf(-x)=\sqrt{9-x}

הצבת −x-x

9−x≥0⇒x≤99-x\ge 0 \Rightarrow x\le 9

תחום ההגדרה

f(−0)=9=3\begin{aligned}f(-0) &= \sqrt{9} \\ &= 3\end{aligned}

החיתוך עם ציר ה-yy לא זז

המלכודת: לכתוב x≤−9x\le -9. ff מוגדרת עבור x≥−9x\ge -9, והשיקוף הופך את התחום ל-x≤9x\le 9.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

נתונה פונקציה ff ונקודה (a, b)(a,\,b) על הגרף שלה. נגדיר g(x)=−f(−x)g(x)=-f(-x). הוכיחו שהנקודה (−a, −b)(-a,\,-b) נמצאת על הגרף של gg.

  • (a, b)(a,\,b) נמצאת על הגרף של ff, כלומר f(a)=bf(a)=b
  • g(x)=−f(−x)g(x)=-f(-x)

g(−a)=−bg(-a)=-b

Voir la réponse et le corrigé
  1. f(a)=bf(a)=b — נתון — הנקודה על הגרף של ff
  2. g(−a)=−f(−(−a))g(-a)=-f\left(-(-a)\right) — הצבת x=−ax=-a בהגדרת gg
  3. −(−a)=a-(-a)=a — מינוס כפול מינוס
  4. g(−a)=−f(a)g(-a)=-f(a) — הצבת הפישוט
  5. g(−a)=−bg(-a)=-b — הצבת הנתון

Corrigé :

g(−a)=−f(a)=−b\begin{aligned}g(-a) &= -f(a) \\ &= -b\end{aligned}

הצבה ישירה

המלכודת: להציב x=ax=a. כדי שבתוך ff יתקבל aa, מציבים x=−ax=-a — ולכן הנקודה עוברת לצד השני וגם מתהפכת.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe