On résout ensemble · Fonctions trigonométriques · Kita י

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

חמש שאלות בסגנון הבגרות, אחת לכל רעיון של הפרק: ערכים מתוך נתון אחד, משוואה עם זווית מורכבת, פרמטרים מתוך גרף, תנאי קיום עם פרמטר, ומודל של תופעה מחזורית. כל שאלה נפתרת יחד, שלב אחרי שלב, ומחכה לכם למטה בגרסה תאומה לפתור לבד.

לפני כל לחיצה, אמרו לעצמכם מה אתם הייתם כותבים בשורה הבאה. הפער בין מה שתכננתם לבין השלב שמופיע — שם הלמידה.

1 — מנתון אחד לכל הערכים

Activité interactive

נתון $\sin\alpha = -0.6$ ו- $180^\circ < \alpha < 270^\circ$ . א. מצאו את $\cos\alpha$ ואת $\tan\alpha$ . ב. הביעו באמצעות מספרים את $\sin(180^\circ - \alpha)$ ואת $\cos(90^\circ - \alpha)$ .

\begin{aligned}\sin\alpha &= -0.6 \\ \qquad 180^\circ < \alpha < 270^\circ\end{aligned}

לחצו «להתחיל». הרביע נתון — הוא יחליט על כל סימן.

זהות

\begin{aligned}\cos^2\alpha &= 1 - 0.36 \\ &= 0.64\end{aligned}

הזהות היסודית. עדיין אין סימן.

סימן

\cos\alpha = -0.8

ברביע השלישי הנקודה משמאל לציר $y$ .

\begin{aligned}\tan\alpha &= \frac{-0.6}{-0.8} \\ &= 0.75\end{aligned}

שלילי חלקי שלילי: חיובי, כמו שצריך ברביע השלישי.

\begin{aligned}\sin(180^\circ - \alpha) &= \sin\alpha \\ &= -0.6\end{aligned}

שיקוף בציר $y$ שומר על הגובה.

\begin{aligned}\cos(90^\circ - \alpha) &= \sin\alpha \\ &= -0.6\end{aligned}

הזווית המשלימה.

המלכודת של סעיף ב: לחשב זווית במחשבון. הזהויות נותנות את התשובה המדויקת בלי למצוא את $\alpha$ בכלל.

Faire l'activité sur elev

ומה $\cos(-\alpha)$ באותה שאלה?

Voir la réponse et le corrigé

$\cos(-\alpha) = \cos\alpha = -0.8$ . שיקוף בציר $x$ לא משנה את ה- $x$ של הנקודה.

השאלה התאומה: שאלה 1 ברשימה למטה.

2 — משוואה עם זווית מורכבת בתחום

Activité interactive

פותרים בתחום, צעד אחרי צעד

פתרו את המשוואה $2\sin(2x + 30^\circ) = \sqrt3$ בתחום $0^\circ \le x \le 360^\circ$ .

מה עושים קודם?

מחלקים ב- $2$ : $\sin(2x + 30^\circ) = \frac{\sqrt3}{2}$

Voir la réponse et le corrigé

מבודדים את הסינוס, ובודקים ש- $\frac{\sqrt3}{2} \le 1$ .

מחלקים את הזווית ב- $2$ : $2\sin(x + 15^\circ)$

Voir la réponse et le corrigé

ה- $2$ שבחוץ והזווית שבפנים הם שני דברים שונים. אי אפשר להכניס אותו לסוגריים.

כותבים $2x + 30^\circ = \sqrt3$

Voir la réponse et le corrigé

$\sqrt3$ הוא ערך של סינוס, לא זווית.

\sin(2x + 30^\circ) = \tfrac{\sqrt3}{2}

איך נראה הפתרון הכללי?

$2x + 30^\circ = 60^\circ + 360^\circ k$ או $2x + 30^\circ = 120^\circ + 360^\circ k$

Voir la réponse et le corrigé

כלל הסינוס, על כל הזווית שבסוגריים.

$2x + 30^\circ = \pm 60^\circ + 360^\circ k$

Voir la réponse et le corrigé

זה כלל הקוסינוס. $\sin(-60^\circ)$ שלילי.

\begin{aligned}x &= 15^\circ + 180^\circ k \ \ \text{או}\ \ x \\ &= 45^\circ + 180^\circ k\end{aligned}

מחסירים $30^\circ$ ומחלקים הכל ב- $2$ .

אילו ערכי $k$ נכנסים?

$k = 0$ ו- $k = 1$ בכל משפחה

Voir la réponse et le corrigé

$15^\circ, 195^\circ$ ו- $45^\circ, 225^\circ$ . ב- $k = 2$ עוברים את $360^\circ$ .

רק $k = 0$

Voir la réponse et le corrigé

המחזור אחרי החלוקה הוא $180^\circ$ , ולכן בתחום של $360^\circ$ יש שני סיבובים.

\begin{aligned}x &= 15^\circ \\ \ 45^\circ \\ \ 195^\circ \\ \ 225^\circ\end{aligned}

Voir la réponse et le corrigé

ארבעה פתרונות: $15^\circ$ , $45^\circ$ , $195^\circ$ , $225^\circ$ .

Faire l'activité sur elev

השאלה התאומה: שאלה 2 ברשימה למטה.

3 — פרמטרים מתוך גרף

הגרף של f — שאלה 3

Activité interactive

בציור הגרף של $f(x) = A\cos(bx) + c$ , כאשר $A > 0$ ו- $b > 0$ . א. מצאו את $A$ , $b$ ו- $c$ . ב. פתרו $f(x) = 5$ בתחום $0^\circ \le x \le 180^\circ$ .

f(x) = A\cos(bx) + c

לחצו «להתחיל». קוראים מהגרף שלושה מספרים: הגבוה, הנמוך, והמרחק בין שתי פסגות.

קריאה

\begin{aligned}\max &= 7 \\ \quad \min &= -1\end{aligned}

הפסגות והעמקים.

\begin{aligned}c &= \frac{7 + (-1)}{2} \\ &= 3 \\ \quad A &= \frac{7 - (-1)}{2} \\ &= 4\end{aligned}

קו האמצע והאמפליטודה.

\begin{aligned}\text{מחזור} &= 180^\circ \Rightarrow b \\ &= \frac{360^\circ}{180^\circ} \\ &= 2\end{aligned}

פסגה ב- $0^\circ$ ושוב ב- $180^\circ$ .

\begin{aligned}4\cos(2x) + 3 &= 5 \Rightarrow \cos(2x) \\ &= \tfrac12\end{aligned}

מבודדים.

\begin{aligned}2x &= \pm 60^\circ + 360^\circ k \Rightarrow x \\ &= \pm 30^\circ + 180^\circ k\end{aligned}

\begin{aligned}x &= 30^\circ \\ \ 150^\circ\end{aligned}

$k = 0$ נותן $30^\circ$ , ו- $-30^\circ + 180^\circ = 150^\circ$ .

בדיקה בגרף: הישר $y = 5$ חותך את הגל בתחום $0^\circ$ עד $180^\circ$ בדיוק פעמיים.

Faire l'activité sur elev

כמה פתרונות יש ל- $f(x) = 5$ בתחום $0^\circ \le x \le 360^\circ$ ?

Voir la réponse et le corrigé

ארבעה: $30^\circ$ , $150^\circ$ , $210^\circ$ , $330^\circ$ . בתחום יש שני מחזורים, ובכל אחד שני חיתוכים.

השאלה התאומה: שאלה 3 ברשימה למטה.

4 — פרמטר ותנאי קיום

Activité interactive

עבור אילו ערכי m?

נתונה המשוואה $3\cos x = m - 1$ . א. עבור אילו ערכי $m$ יש למשוואה פתרון? ב. עבור אילו ערכי $m$ יש לה בדיוק פתרון אחד בתחום $0^\circ \le x \le 180^\circ$ ?

איך מתחילים?

מבודדים: $\cos x = \frac{m - 1}{3}$

Voir la réponse et le corrigé

את התנאי שמים על מה שהקוסינוס שווה לו.

דורשים $-1 \le m - 1 \le 1$

Voir la réponse et le corrigé

שכחתם את $3$ : הקוסינוס שווה ל- $\frac{m-1}{3}$ , לא ל- $m - 1$ .

\cos x = \frac{m - 1}{3}

מה התנאי לקיום?

$-1 \le \frac{m-1}{3} \le 1$

Voir la réponse et le corrigé

הקוסינוס כלוא בין $-1$ ל- $1$ , כולל הקצוות.

$-1 < \frac{m-1}{3} < 1$

Voir la réponse et le corrigé

ב- $\cos x = 1$ ו- $\cos x = -1$ יש פתרונות: $0^\circ$ ו- $180^\circ$ .

-3 \le m - 1 \le 3 \Rightarrow -2 \le m \le 4

סעיף א.

כמה פתרונות יש ל- $\cos x = a$ בתחום $0^\circ \le x \le 180^\circ$ ?

בדיוק אחד לכל $-1 \le a \le 1$

Voir la réponse et le corrigé

בחצי העליון של המעגל כל ישר אנכי פוגש את המעגל פעם אחת בלבד: הקוסינוס יורד מ- $1$ ל- $-1$ .

שניים, כמו בכל סיבוב

Voir la réponse et le corrigé

הפתרון השני הוא $-\alpha$ — והוא בחצי התחתון, מחוץ לתחום.

-2 \le m \le 4

סעיף ב: אותו תחום בדיוק.

Voir la réponse et le corrigé

א. $-2 \le m \le 4$ . ב. גם כן $-2 \le m \le 4$ : בתחום $0^\circ$ עד $180^\circ$ הקוסינוס מקבל כל ערך פעם אחת.

Faire l'activité sur elev

ואם במקום $\cos$ היה $\sin$ — האם גם אז היה פתרון יחיד בתחום $0^\circ \le x \le 180^\circ$ ?

Voir la réponse et le corrigé

לא. $\sin x = a$ עם $0 \le a < 1$ נותן שני פתרונות, $\alpha$ ו- $180^\circ - \alpha$ . פתרון יחיד רק ב- $a = 1$ ( $x = 90^\circ$ ); וב- $a < 0$ אין אף פתרון בתחום.

השאלה התאומה: שאלה 4 ברשימה למטה.

5 — גלגל ענק

Activité interactive

הגובה של תא בגלגל ענק הוא $h(t) = 25 - 22\cos(15t)$ מטר, כאשר $t$ בדקות. א. מה הגובה הנמוך והגבוה ביותר? ב. כמה זמן נמשך סיבוב? ג. מתי התא מגיע לראשונה לגובה $36$ מטר? ד. כמה דקות מכל סיבוב נמצא התא מעל $36$ מטר?

h(t) = 25 - 22\cos(15t)

לחצו «להתחיל».

\begin{aligned}h_{\min} &= 25 - 22 \\ &= 3 \\ \quad h_{\max} &= 25 + 22 \\ &= 47\end{aligned}

$\cos(15t)$ בין $-1$ ל- $1$ .

\frac{360^\circ}{15} = 24

סיבוב של $24$ דקות.

\begin{aligned}25 - 22\cos(15t) &= 36 \Rightarrow \cos(15t) \\ &= -\tfrac12\end{aligned}

מבודדים.

\begin{aligned}15t &= 120^\circ \ \text{או}\ 15t \\ &= 240^\circ\end{aligned}

בסיבוב הראשון.

\begin{aligned}t &= 8 \ \text{או}\ t \\ &= 16\end{aligned}

לראשונה: $t = 8$ .

16 - 8 = 8

בין שני הרגעים התא מעל $36$ מטר.

בסעיף ד משך הזמן הוא הפרש בין שני פתרונות — לא אחד מהם.

Faire l'activité sur elev

השאלה התאומה: שאלה 5 ברשימה למטה.

Exercices

Exercice 1

נתון $\cos\alpha = 0.8$ ו- $270^\circ < \alpha < 360^\circ$ . מהו $\tan\alpha$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -0.75

Corrigé :

\begin{aligned}\sin^2\alpha &= 1 - 0.64 \\ &= 0.36\end{aligned}

הזהות היסודית

\sin\alpha = -0.6

ברביע הרביעי הגובה שלילי

\begin{aligned}\tan\alpha &= \frac{-0.6}{0.8} \\ &= -0.75\end{aligned}

המלכודת: $0.75$ . הקוסינוס חיובי, אבל ברביע הרביעי הסינוס שלילי — ולכן הטנגנס שלילי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

כמה פתרונות יש למשוואה $2\cos(2x - 20^\circ) = 1$ בתחום $0^\circ \le x \le 360^\circ$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

\cos(2x - 20^\circ) = \tfrac12

בידוד

2x - 20^\circ = \pm 60^\circ + 360^\circ k

כלל הקוסינוס

\begin{aligned}x &= 40^\circ + 180^\circ k \ \text{או}\ x \\ &= -20^\circ + 180^\circ k\end{aligned}

מחלקים הכל ב- $2$

\begin{aligned}x &= 40^\circ \\ \ 220^\circ \\ \ 160^\circ \\ \ 340^\circ\end{aligned}

ב- $-20^\circ$ מתחילים מ- $k = 1$

המלכודת: $3$ , מי שפסל את $-20^\circ$ ושכח לנסות $k = 2$ במשפחה הזאת. ספירת בדיקה: שני מחזורים, שני פתרונות בכל אחד.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

הגרף של $f(x) = A\sin(bx) + c$ , כאשר $A > 0$ ו- $b > 0$ , נע בין $1$ ל- $7$ , והמחזור שלו $90^\circ$ . מהו $b$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

\begin{aligned}A &= \frac{7 - 1}{2} \\ &= 3 \\ \quad c &= \frac{7 + 1}{2} \\ &= 4\end{aligned}

אמפליטודה וקו אמצע

\frac{360^\circ}{b} = 90^\circ

המחזור

b = 4

המלכודת: לענות $3$ בגלל האמפליטודה, או $90$ בגלל המחזור. $b$ נקבע רק מהמחזור: $\frac{360^\circ}{b} = 90^\circ$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

למשוואה $\sin x = \frac{m + 1}{2}$ יש פתרון לכל $m$ שמקיים $-3 \le m \le 1$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

-1 \le \frac{m + 1}{2} \le 1

תנאי הקיום

-2 \le m + 1 \le 2

כופלים ב- $2$

-3 \le m \le 1

נכון, והקצוות נכללים: ב- $m = 1$ מקבלים $\sin x = 1$ , וב- $m = -3$ מקבלים $\sin x = -1$ — ולשתיהן יש פתרון.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

הגובה של תא בגלגל ענק הוא $h(t) = 30 - 26\cos(10t)$ מטר, כאשר $t$ בדקות והזווית $10t$ נמדדת במעלות. אחרי כמה דקות מגיע התא לראשונה לגובה $43$ מטר?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 12

Corrigé :

\begin{aligned}30 - 26\cos(10t) &= 43 \Rightarrow \cos(10t) \\ &= -\tfrac12\end{aligned}

בידוד

\begin{aligned}10t &= 120^\circ \ \text{או}\ 10t \\ &= 240^\circ\end{aligned}

בסיבוב הראשון

\begin{aligned}t &= 12 \ \text{או}\ t \\ &= 24\end{aligned}

לראשונה: $t = 12$

המלכודת: $24$ , הפעם השנייה (בירידה), או $6$ — מי שכתב $10t = 60^\circ$ ושכח את המינוס של $-\frac12$ .

Vérifier la réponse sur elev

1 — מנתון אחד לכל הערכים

2 — משוואה עם זווית מורכבת בתחום

3 — פרמטרים מתוך גרף

4 — פרמטר ותנאי קיום

5 — גלגל ענק

Exercices

La suite se pratique sur elev