Perpendiculaires et parallèles

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

שני ישרים במישור יכולים להיות ביחס אחד משניים שמעניינים אותנו: מאונכים או מקבילים.

a⊥ba \perp b

מאונכים — נחתכים בזווית של 90°90° בדיוק. הסימן הוא ⊥\perp.

a∥ba \parallel b

מקבילים — לעולם אינם נחתכים, ולא משנה עד כמה נמשיך אותם. הסימן הוא ∥\parallel.

הישר הכחול התחיל ב-60 מעלות. בכמה מעלות צריך לסובב אותו כדי שיהיה מאונך לישר האדום?

Voir la réponse et le corrigé

ב-30 מעלות: 90−60=3090 - 60 = 30. זווית של 89 או של 91 מעלות כבר אינה ניצבות — רק 90 בדיוק.

מרחק נקודה מישר

זו ההגדרה שהכי הרבה תלמידים מפספסים: המרחק מנקודה לישר הוא אורך הקטע המאונך מהנקודה אל הישר — ולא אורך של קטע אלכסוני כלשהו.

למה דווקא המאונך? כי מכל הקטעים שאפשר למתוח מהנקודה אל הישר, המאונך הוא הקצר ביותר. וכשאומרים «מרחק» מתכוונים תמיד לקצר ביותר.

זו בדיוק הסיבה שהגובה במשולש מוגדר כמאונך: הוא המרחק מהקודקוד אל הבסיס. שני הנושאים הם אותו רעיון.

מרחק בין שני ישרים מקבילים

בין שני מקבילים המרחק קבוע לכל אורכם — וזו למעשה הגדרה שנייה של הקבלה. מודדים אותו, כמובן, על קטע מאונך לשניהם.

שתי הטעויות של היחידה.

מרחק=הקטע הנוח לציור\text{מרחק} = \text{הקטע הנוח לציור}
מרחק=הקטע המאונך\text{מרחק} = \text{הקטע המאונך}

רק המאונך הוא המרחק. כל קטע אחר ארוך ממנו.

a⊥b ולכן a∥ba \perp b \ \text{ולכן} \ a \parallel b
שני יחסים הפוכים\text{שני יחסים הפוכים}

מאונכים כן נפגשים, ובזווית ישרה. מקבילים לא נפגשים לעולם.

שני ישרים נחתכים ויוצרים זווית של 90 מעלות. איך קוראים להם?

Voir la réponse et le corrigé

מאונכים, ומסמנים a⊥ba \perp b. הריבוע הקטן בנקודת המפגש אומר את זה בציור.

ישר aa מקביל ל-bb, ו-bb מקביל ל-cc. מה היחס בין aa ל-cc?

Voir la réponse et le corrigé

מקבילים. המקבילות עוברת הלאה — שלושתם באותו כיוון בדיוק.

Exercices

Exercice 1

שני ישרים מאונכים נחתכים בזווית של:

  1. לא נחתכים כלל
  2. 45°45°
  3. 90°90°
  4. 180°180°
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C 90°90°

Corrigé :

a⊥ba \perp b

ההגדרה

מאונכים כן נפגשים — בזווית ישרה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

המרחק מנקודה לישר הוא:

  1. אורך הקטע המאונך
  2. אורך כל קטע מהנקודה לישר
  3. הקטע הארוך ביותר
  4. המרחק לקצה הישר
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A אורך הקטע המאונך

Corrigé :

⊥\perp

רק המאונך

הוא הקצר ביותר מכל הקטעים — ולכן הוא «המרחק».

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

שני ישרים מקבילים:

  1. נחתכים באינסוף נקודות
  2. נחתכים בזווית ישרה
  3. לעולם אינם נחתכים
  4. נחתכים בנקודה אחת
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C לעולם אינם נחתכים

Corrigé :

a∥ba \parallel b

ההגדרה

ולכן המרחק ביניהם קבוע לכל אורכם.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

מדוע הגובה במשולש מוגדר כמאונך לבסיס?

  1. כי הגובה הוא המרחק מהקודקוד לבסיס
  2. כי כל הקטעים שווים
  3. זו הגדרה שרירותית
  4. כי כך נוח לצייר
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A כי הגובה הוא המרחק מהקודקוד לבסיס

Corrigé :

מרחק=מאונך\text{מרחק} = \text{מאונך}

אותה הגדרה

שני הנושאים — מרחק וגובה — הם בדיוק אותו רעיון.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

שימו לב לסימן

הישרים שבציור — מה היחס ביניהם?

  1. מאונכים
  2. אותו ישר
  3. מקבילים
  4. נחתכים ב-45
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A מאונכים

Corrigé :

⊥\perp

הריבוע הקטן

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

ואלה?

  1. Impossible de savoir
  2. נפגשים רחוק
  3. מאונכים
  4. מקבילים
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D מקבילים

Corrigé :

∥\parallel

מרחק קבוע

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

ישר aa מאונך ל-bb. כמה זוויות ישרות נוצרות בנקודת המפגש?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

44

כל הארבע שוות 90

מספיק ריבוע קטן אחד בציור — השאר נובעות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

שני ישרים מאונכים לאותו ישר שלישי. מה היחס ביניהם?

  1. Impossible de savoir
  2. מאונכים זה לזה
  3. נחתכים ב-45
  4. מקבילים זה לזה
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D מקבילים זה לזה

Corrigé :

⊥ , ⊥→∥\perp \ , \ \perp \rightarrow \parallel

אותו כיוון בדיוק

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

איזה סימון אומר «aa מקביל ל-bb»?

  1. a⊥ba \perp b
  2. a×ba \times b
  3. a=ba = b
  4. a∥ba \parallel b
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D a∥ba \parallel b

Corrigé :

∥\parallel

שני קווים מקבילים קטנים

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

ישר נחתך עם ישר שני בזווית 90. אחת הזוויות במפגש היא 90 — כמה מעלות הזווית שממול לה (הקודקודית)?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 90

Corrigé :

9090

קודקודיות שוות

Vérifier la réponse sur elev

ניצבות והקבלה

Exercice 11

במלבן ABCDABCD (הקודקודים לפי הסדר), איזה זוג קטעים מאונך זה לזה?

  1. ACAC ו-BDBD
  2. ABAB ו-BCBC
  3. ABAB ו-DCDC
  4. ADAD ו-BCBC
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B ABAB ו-BCBC

Corrigé :

∠ABC=90°\angle ABC = 90°

הזווית שבין שתי הצלעות הסמוכות

צלעות סמוכות במלבן נפגשות בזווית ישרה. הצלעות הנגדיות (ABAB ו-DCDC) מקבילות, והאלכסונים במלבן נחתכים — אבל לא בהכרח בזווית ישרה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

במרובע GKMPGKMP הזווית שבקודקוד GG ישרה, וגם הזווית שבקודקוד MM ישרה. האם נובע מכך שכל ארבע הזוויות שלו ישרות?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

360−90−90=180360 - 90 - 90 = 180

מה שנשאר לשתי הזוויות האחרות

שתי הזוויות הנותרות מסתכמות ב-180°180° — אבל הן יכולות להיות 70°70° ו-110°110°. שתי זוויות ישרות אינן מספיקות; במלבן צריך ארבע.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 13

במלבן ABCDABCD (הקודקודים לפי הסדר) — מקבילים או מאונכים?

  • מקבילים
  • מאונכים
  • ABAB ו-ADAD
  • ABAB ו-DCDC
  • ADAD ו-BCBC
  • DCDC ו-BCBC
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : ABAB ו-DCDC — מקבילים · ADAD ו-BCBC — מקבילים · ABAB ו-ADAD — מאונכים · DCDC ו-BCBC — מאונכים

Corrigé :

AB∥DCAB \parallel DC

נגדיות — מקבילות

AB⊥ADAB \perp AD

סמוכות — מאונכות

צלעות נגדיות — מקבילות; צלעות סמוכות — מאונכות. זה בדיוק מה שהופך מרובע למלבן.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 14

ABCD

בטרפז ABCDABCD שבציור AB∥DCAB \parallel DC, והזוויות ב-AA וב-DD ישרות. איזו צלע מאונכת לשני הבסיסים?

  1. ADAD
  2. BCBC
  3. DCDC
  4. ABAB
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A ADAD

Corrigé :

AD⊥ABAD \perp AB

הזווית ב-AA ישרה

AD⊥DCAD \perp DC

וגם הזווית ב-DD ישרה

הצלע ADAD מאונכת לשני הבסיסים, ולכן היא גם המרחק ביניהם — הגובה של הטרפז. BCBC נטויה: היא אינה מאונכת לאף בסיס. ו-ABAB, DCDC הם הבסיסים עצמם, מקבילים זה לזה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 15

ABCDEFPQ
הישר b עובר דרך A ו-B, הישר a דרך C ו-D, והישר c דרך E ו-F.

שלושה ישרים במישור: a⊥ba \perp b וגם b⊥cb \perp c. לכן a⊥ca \perp c.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

a⊥b , c⊥ba \perp b \ , \ c \perp b

שני ישרים מאונכים לאותו ישר bb

a∥ca \parallel c

ולכן הם מקבילים זה לזה

הפיתוי הוא «ניצבות עוברת הלאה» — אבל היא לא עוברת. שני ישרים שמאונכים לאותו ישר עומדים באותו כיוון, ולכן a∥ca \parallel c ולא a⊥ca \perp c.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 16

ABCD

בריבוע ABCDABCD שבציור שורטטו גם שני האלכסונים. מקבילים או מאונכים?

  • מקבילים
  • מאונכים
  • ABAB ו-BCBC
  • ABAB ו-DCDC
  • ACAC ו-BDBD
  • ADAD ו-BCBC
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : ABAB ו-DCDC — מקבילים · ADAD ו-BCBC — מקבילים · ABAB ו-BCBC — מאונכים · ACAC ו-BDBD — מאונכים

Corrigé :

AB∥DC , AD∥BCAB \parallel DC \ , \ AD \parallel BC

צלעות נגדיות

AB⊥BCAB \perp BC

צלעות סמוכות

AC⊥BDAC \perp BD

בריבוע האלכסונים מאונכים

הזוג המפתיע הוא האלכסונים: בריבוע הם נחתכים בזווית ישרה. במלבן שאינו ריבוע הם נחתכים — אבל לא ב-90°90°.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 17

ABCDEFPQ
הישר a עובר דרך A ו-B, הישר b דרך C ו-D, והישר c דרך E ו-F.

בציור a∥ba \parallel b, והישר cc מאונך ל-aa בנקודה PP. הישר cc חותך גם את bb בנקודה QQ. כמה מעלות הזווית בין cc ל-bb?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 90

Corrigé :

a∥ba \parallel b

bb באותו כיוון בדיוק כמו aa

c⊥a ⇒ c⊥bc \perp a \ \Rightarrow \ c \perp b

ולכן cc עומד גם עליו בזווית ישרה

90°90°

ישר שמאונך לאחד משני מקבילים מאונך גם לשני. הריבוע הקטן מסומן רק ב-PP, אבל הוא נכון גם ב-QQ.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 18

ABCMND
האות E: קטע אנכי אחד ושלושה קטעים אופקיים.

האות E שבציור בנויה מארבעה קטעים: ABAB, ACAC, MNMN ו-BDBD. כמה זוגות של קטעים מקבילים יש בה?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

AC∥MN , AC∥BD , MN∥BDAC \parallel MN \ , \ AC \parallel BD \ , \ MN \parallel BD

שלושת הקטעים האופקיים — כל שניים מהם

33

זוגות

AB⊥AC , AB⊥MN , AB⊥BDAB \perp AC \ , \ AB \perp MN \ , \ AB \perp BD

והקטע האנכי מאונך לשלושתם

הטעות הנפוצה היא לספור קטעים (שלושה אופקיים) במקום זוגות, או לענות 2 כי «יש שני רווחים». כאן יוצא 3 בשני המקרים — אבל בודקים כל זוג: ACAC עם MNMN, ACAC עם BDBD, MNMN עם BDBD.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe