Grandes racines, racines de fractions et racine cubique

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

ראינו שורשים של מספרים שלמים קטנים. עכשיו שלוש הרחבות שמופיעות במבחנים, וכולן משתמשות באותה שאלה בדיוק: «איזה מספר כפול עצמו נותן את זה?»

1. שורש של מספר עגול גדול

מה זה 10000\sqrt{10000}? אין טעם לנחש — פשוט שואלים: איזה מספר כפול עצמו נותן 10,000? התשובה היא 100, כי 100⋅100=10000100 \cdot 100 = 10000.

100=10\sqrt{100} = 10

שני אפסים בפנים, אחד בתשובה.

10000=100\sqrt{10000} = 100

ארבעה אפסים בפנים, שניים בתשובה.

1000000=1000\sqrt{1000000} = 1000

שישה אפסים בפנים, שלושה בתשובה.

שורש של 1 ואחריו אפסים = 1 ואחריו חצי מהאפסים

וזה עובד רק כשמספר האפסים זוגי. ל-1000\sqrt{1000} (שלושה אפסים) אין תשובה שלמה — כי אי אפשר לחלק שלוש לשניים. אפשר רק לכלוא אותו: 312=96131^2 = 961 ו-322=102432^2 = 1024, ולכן הוא בין 31 ל-32.

מהו 40000\sqrt{40000}?

Voir la réponse et le corrigé

200. אפשר לפרק: 40000=4⋅1000040000 = 4 \cdot 10000, ולכן השורש הוא 2⋅100=2002 \cdot 100 = 200. בדיקה: 200⋅200=40000200 \cdot 200 = 40000 ✓

2. שורש של שבר

כששואלים מהו 19\sqrt{\frac{1}{9}}, מחפשים שבר שכפול עצמו נותן 19\frac{1}{9}. וזה קל, כי בכפל שברים המונה נכפל במונה והמכנה במכנה:

13⋅13=19\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{9}

ולכן הכלל פשוט: מוציאים שורש למונה, ושורש למכנה, בנפרד.

19=13\sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3}

1=1\sqrt{1} = 1 ו-9=3\sqrt{9} = 3.

916=34\sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{3}{4}

9=3\sqrt{9} = 3 ו-16=4\sqrt{16} = 4.

254=52\sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{5}{2}

עובד גם כשהשבר גדול מ-1.

מהו 425\sqrt{\frac{4}{25}}?

Voir la réponse et le corrigé

25\frac{2}{5}. שורש למונה, שורש למכנה. בדיקה: 25⋅25=425\frac{2}{5} \cdot \frac{2}{5} = \frac{4}{25} ✓

ואם רק אחד מהשניים הוא ריבוע שלם — התשובה אינה שבר פשוט, ואז מסתפקים באומדן. 12\sqrt{\frac{1}{2}}, למשל, אינו שבר נאה.

3. שורש שלישי

עד כאן חיפשנו מספר שכפול עצמו נותן את המספר — וזה בא מהריבוע: שטח ידוע, מחפשים צלע. עכשיו אותה שאלה בדיוק, אבל בקובייה: נפח ידוע, מחפשים מקצוע.

643=4כי4⋅4⋅4=64\begin{aligned}\sqrt[3]{64} &= 4 \quad \text{כי} \quad 4 \cdot 4 \cdot 4 \\ &= 64\end{aligned}
83=2\sqrt[3]{8} = 2

כי 2⋅2⋅2=82 \cdot 2 \cdot 2 = 8.

273=3\sqrt[3]{27} = 3

כי 3⋅3⋅3=273 \cdot 3 \cdot 3 = 27.

1253=5\sqrt[3]{125} = 5

כי 5⋅5⋅5=1255 \cdot 5 \cdot 5 = 125.

10003=10\sqrt[3]{1000} = 10

כי 10⋅10⋅10=100010 \cdot 10 \cdot 10 = 1000.

קובייה שנפחה 125 סמ״ק

מהו אורך המקצוע?

V=a3=125\begin{aligned}V &= a^3 \\ &= 125\end{aligned}

נוסחת נפח הקובייה

a=1253a = \sqrt[3]{125}

הפעולה ההפוכה לחזקה שלישית

5⋅5⋅5=125 ⇒ a=5\begin{aligned}5 \cdot 5 \cdot 5 &= 125 \ \Rightarrow \ a \\ &= 5\end{aligned}

מחפשים את המספר

שתי הפעולות, זו לצד זו: שורש ריבועי לוקח שטח ומחזיר צלע — שני כיוונים. שורש שלישי לוקח נפח ומחזיר מקצוע — שלושה כיוונים. הסימן הקטן מעל השורש הוא בדיוק מספר הכיוונים.

שלוש הטעויות של היחידה.

10000=1000\sqrt{10000} = 1000
10000=100\sqrt{10000} = 100

העתקת המספר עם אפס אחד פחות במקום חצי מהאפסים. בדיקה: 1000⋅10001000 \cdot 1000 הוא מיליון, לא עשרת אלפים.

916=94\sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{9}{4}
916=34\sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{3}{4}

הוציאו שורש רק למכנה. השורש חל על שני החלקים.

643=8\sqrt[3]{64} = 8
643=4\sqrt[3]{64} = 4

ענו על השורש הריבועי במקום על השלישי. 8⋅8=648 \cdot 8 = 64 — נכון, אבל לא השאלה.

עכשיו נתרגל את שלוש ההרחבות.

Exercices

Exercice 1

חשבו: 10000\sqrt{10000}

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 100

Corrigé :

100⋅100=10000100 \cdot 100 = 10000

בדיקה בכפל

ארבעה אפסים בפנים, שניים בתשובה — חצי מהאפסים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

חשבו: 1000000\sqrt{1000000}

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1000

Corrigé :

1000⋅1000=10000001000 \cdot 1000 = 1000000

בדיקה בכפל

שישה אפסים בפנים, שלושה בתשובה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

למה ל-1000\sqrt{1000} אין תשובה שלמה?

  1. יש לו — התשובה 100
  2. כי 1000 אינו מתחלק ב-2
  3. כי 1000 גדול מדי
  4. כי מספר האפסים אי-זוגי
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D כי מספר האפסים אי-זוגי

Corrigé :

312=961  322=1024\begin{aligned}31^2 &= 961 \ \\ \ 32^2 &= 1024\end{aligned}

הריבועים השכנים

31<1000<3231 < \sqrt{1000} < 32

ולכן אפשר רק לכלוא

חצי משלושה אפסים אינו מספר שלם — ולכן אין תשובה עגולה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

חשבו: 40000\sqrt{40000}

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 200

Corrigé :

40000=4⋅1000040000 = 4 \cdot 10000

מפרקים

2⋅100=2002 \cdot 100 = 200

שורש לכל חלק

בדיקה: 200⋅200=40000200 \cdot 200 = 40000 ✓

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

מהו 916\sqrt{\frac{9}{16}}?

  1. 34\frac{3}{4}
  2. 94\frac{9}{4}
  3. 81256\frac{81}{256}
  4. 316\frac{3}{16}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A 34\frac{3}{4}

Corrigé :

9=3  16=4\begin{aligned}\sqrt{9} &= 3 \ \\ \ \sqrt{16} &= 4\end{aligned}

שורש לכל חלק בנפרד

34⋅34=916\frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4} = \frac{9}{16}

בדיקה

השורש חל על המונה ועל המכנה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

מהו 125\sqrt{\frac{1}{25}}? ענו בשבר עשרוני.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.2

Corrigé :

125=15\sqrt{\frac{1}{25}} = \frac{1}{5}

שורש למונה ולמכנה

15=0.2\frac{1}{5} = 0.2

ובעשרוני

בדיקה: 0.2⋅0.2=0.04=1250.2 \cdot 0.2 = 0.04 = \frac{1}{25} ✓

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

חשבו: 273\sqrt[3]{27}

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

3⋅3⋅3=273 \cdot 3 \cdot 3 = 27

שלוש פעמים, לא פעמיים

הסימן הקטן 3 מעל השורש אומר כמה פעמים המספר מופיע בכפל.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

קובייה שנפחה 64 סמ״ק. מהו אורך מקצועה בסנטימטרים?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

a3=64a^3 = 64

נפח הקובייה

4⋅4⋅4=64 ⇒ a=4\begin{aligned}4 \cdot 4 \cdot 4 &= 64 \ \Rightarrow \ a \\ &= 4\end{aligned}

מחפשים את המקצוע

שימו לב ש-64=8\sqrt{64} = 8 — תשובה נכונה לשאלה אחרת לגמרי. כאן נתון נפח, לא שטח.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

קובייה שנפחה 125 סמ״ק. מהו שטח פנים שלה בסמ״ר?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 150

Corrigé :

a=1253=5\begin{aligned}a &= \sqrt[3]{125} \\ &= 5\end{aligned}

קודם המקצוע

S=6⋅52=6⋅25\begin{aligned}S &= 6 \cdot 5^2 \\ &= 6 \cdot 25\end{aligned}

שש פאות ריבועיות

=150= 150

On calcule

שתי פעולות הפוכות בשאלה אחת: קודם שורש שלישי כדי לרדת מהנפח לצלע, ואז חזקה שנייה כדי לעלות לשטח.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

שורש ריבועי או שורש שלישי?

  • ריבועי
  • שלישי
  • המספר מופיע פעמיים בכפל
  • המספר מופיע שלוש פעמים בכפל
  • נתון נפח קובייה, מחפשים מקצוע
  • נתון שטח ריבוע, מחפשים צלע
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : נתון שטח ריבוע, מחפשים צלע — ריבועי · נתון נפח קובייה, מחפשים מקצוע — שלישי · המספר מופיע פעמיים בכפל — ריבועי · המספר מופיע שלוש פעמים בכפל — שלישי

Corrigé :

a : שטח→צלע\sqrt{a} \ : \ \text{שטח} \rightarrow \text{צלע}

שני כיוונים

a3 : נפח→מקצוע\sqrt[3]{a} \ : \ \text{נפח} \rightarrow \text{מקצוע}

שלושה כיוונים

שטח — שני כיוונים, ולכן חזקה שנייה. נפח — שלושה כיוונים, ולכן שלישית. הסימן שמעל השורש הוא מספר הכיוונים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

Complétez (השלימו)

שורש של 10000 הוא ____, ושורש שלישי של 1000 הוא ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : שורש של 10000 הוא 100, ושורש שלישי של 1000 הוא 10

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

Une ligne est fausse (שגויה) — trouvez-la (מצאו)

49=23\sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}
10000=100\sqrt{10000} = 100
83=4\sqrt[3]{8} = 4
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 83=4\sqrt[3]{8} = 4 → 83=2\sqrt[3]{8} = 2

Corrigé :

2⋅2⋅2=82 \cdot 2 \cdot 2 = 8

השורש השלישי של 8

4⋅4⋅4=644 \cdot 4 \cdot 4 = 64

ואילו 4 נותן 64

4⋅4⋅4=644 \cdot 4 \cdot 4 = 64, ולא 8. השורש השלישי של 8 הוא 2, כי 2⋅2⋅2=82 \cdot 2 \cdot 2 = 8.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 13

התאימו כל שורש לשבר שלו

  • 14\sqrt{\frac{1}{4}}
  • 1625\sqrt{\frac{16}{25}}
  • 49\sqrt{\frac{4}{9}}
  • 49100\sqrt{\frac{49}{100}}
  • 12\frac{1}{2}
  • 23\frac{2}{3}
  • 45\frac{4}{5}
  • 710\frac{7}{10}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 14\sqrt{\frac{1}{4}} — 12\frac{1}{2} · 1625\sqrt{\frac{16}{25}} — 45\frac{4}{5} · 49\sqrt{\frac{4}{9}} — 23\frac{2}{3} · 49100\sqrt{\frac{49}{100}} — 710\frac{7}{10}

Corrigé :

12⋅12=14\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}

בדיקה בכפל

45⋅45=1625\frac{4}{5} \cdot \frac{4}{5} = \frac{16}{25}

בדיקה בכפל

23⋅23=49\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{9}

בדיקה בכפל

710⋅710=49100\frac{7}{10} \cdot \frac{7}{10} = \frac{49}{100}

בדיקה בכפל

שורש למונה ושורש למכנה, בנפרד. מי שהוציא שורש רק לאחד מהם קיבל שבר שאינו ברשימה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 14

10003=100\sqrt[3]{1000} = 100

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

100⋅100⋅100=1000000100 \cdot 100 \cdot 100 = 1000000

100 נותן מיליון

10⋅10⋅10=100010 \cdot 10 \cdot 10 = 1000

השורש השלישי של 1000 הוא 10

לא נכון. 100 הוא השורש הריבועי של 10000. בשורש שלישי המספר מופיע שלוש פעמים בכפל.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe