Somme des angles d’un polygone

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

איך יודעים מה סכום הזוויות במחומש? לא משננים: מפרקים למשולשים.

מקודקוד אחד מותחים אלכסונים אל כל שאר הקודקודים, והמצולע נחתך למשולשים.

4→24 \rightarrow 2

מרובע — נחתך לשני משולשים, ולכן 2×180=360°2 \times 180 = 360°.

5→35 \rightarrow 3

מחומש — שלושה משולשים, 540°540°.

6→46 \rightarrow 4

משושה — ארבעה משולשים, 720°720°.

הדפוס ברור: מספר המשולשים הוא תמיד שתיים פחות ממספר הצלעות. ומכאן הנוסחה:

S=(n−2)⋅180°S = (n - 2) \cdot 180°

למה מינוס שתיים? כי שני הקודקודים הצמודים לקודקוד שממנו יצאנו אינם יוצרים משולש חדש — הם כבר צלעות של הראשון והאחרון. אין כאן שרירותיות.

מצולע בן 8 צלעות

מהו סכום הזוויות במתומן?

n=8n = 8

שמונה צלעות

(8−2)⋅180(8 - 2) \cdot 180

On remplace (מציבים)

6⋅180=1080°6 \cdot 180 = 1080°

הסכום

מצולע משוכלל

במצולע משוכלל כל הצלעות שוות וכל הזוויות שוות. לכן כדי למצוא זווית אחת — מחלקים את הסכום ב-nn.

זווית במחומש משוכלל

מהי כל זווית במחומש משוכלל?

(5−2)⋅180=540(5 - 2) \cdot 180 = 540

הסכום

540:5=108540 : 5 = 108

מחלקים בחמש זוויות שוות

108°108°

כל זווית

כמה אלכסונים?

מכל קודקוד יוצא אלכסון לכל קודקוד אחר, חוץ ממנו עצמו ומשני שכניו. כלומר n−3n - 3 אלכסונים מכל קודקוד.

אבל כל אלכסון נספר פעמיים, פעם מכל קצה. לכן מחלקים בשתיים:

n(n−3)2\frac{n(n-3)}{2}

כמה אלכסונים יש למחומש?

Voir la réponse et le corrigé

5⋅22=5\frac{5 \cdot 2}{2} = 5. מכל קודקוד יוצאים שניים, ויש חמישה קודקודים — אבל כל אלכסון נספר פעמיים.

ומה עם מרובע «שקוע»?

עד כאן כל המצולעים שציירנו היו קמורים — כל הפינות בולטות החוצה. אבל יש מרובעים שבהם פינה אחת נדחפת פנימה, כמו ראש חץ. קוראים להם מרובעים שאינם קמורים.

והשאלה המתבקשת: האם גם שם סכום הזוויות הוא 360°360°? כן — בדיוק אותו סכום, והנימוק לא משתנה כלל.

אותו פירוק, אותו סכום

מרובע שאינו קמור, שבו הזווית השקועה היא 220°220°.

4→24 \rightarrow 2

גם הוא נחתך באלכסון לשני משולשים

2⋅180=360°2 \cdot 180 = 360°

ולכן הסכום זהה

360−220=140360 - 220 = 140

ושלוש הזוויות הנותרות מסתכמות ב-140 בלבד

המפתח: באחד משני האלכסונים של מרובע שקוע — זה שיוצא מהפינה השקועה — החיתוך לשני משולשים עובד כרגיל. הנוסחה (n−2)⋅180(n-2) \cdot 180 אינה שואלת אם המצולע קמור.

במרובע שאינו קמור, זווית אחת היא 200°200°. מהו סכום שלוש הנותרות?

Voir la réponse et le corrigé

160°160°. הסכום עדיין 360, ולכן 360−200=160360 - 200 = 160. זווית גדולה מ-180°180° בתוך מצולע היא בדיוק מה שהופך אותו ללא-קמור.

הטעות של הנוסחה.

S=n⋅180S = n \cdot 180
S=(n−2)⋅180S = (n - 2) \cdot 180

המצולע נחתך ל-n−2n - 2 משולשים, לא ל-nn.

הסכום 540 ולכן כל זווית 540\text{הסכום 540 ולכן כל זווית 540}
540:5=108540 : 5 = 108

הסכום מתחלק בין כל הזוויות — רק במצולע משוכלל הן שוות ומותר לחלק.

מהו סכום הזוויות במרובע?

Voir la réponse et le corrigé

360 מעלות. אלכסון אחד מחלק כל מרובע לשני משולשים — פעמיים 180.

ומהו סכום הזוויות במחומש?

Voir la réponse et le corrigé

540. שלושה משולשים: 3×1803 \times 180. הנוסחה: מספר הצלעות פחות 2, כפול 180.

Exercices

Exercice 1

מהו סכום הזוויות במרובע (במעלות)?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 360

Corrigé :

(4−2)⋅180(4 - 2) \cdot 180

הנוסחה

=360= 360

שני משולשים

מרובע נחתך בדיוק לשני משולשים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

מהו סכום הזוויות במחומש (במעלות)?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 540

Corrigé :

(5−2)⋅180(5 - 2) \cdot 180

On remplace (מציבים)

=540= 540

שלושה משולשים

תמיד n−2n - 2 משולשים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

מהו סכום הזוויות במתומן — מצולע בן 8 צלעות (במעלות)?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1080

Corrigé :

(8−2)⋅180(8 - 2) \cdot 180

On remplace (מציבים)

6⋅180=10806 \cdot 180 = 1080

On calcule

אין צורך לשנן — הנוסחה עובדת לכל nn.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

מהי כל זווית במחומש משוכלל (במעלות)?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 108

Corrigé :

(5−2)⋅180=540(5 - 2) \cdot 180 = 540

הסכום

540:5=108540 : 5 = 108

מחלקים בחמש

רק במצולע משוכלל מותר לחלק — שם כל הזוויות שוות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

למה בנוסחה מופיע n−2n - 2?

  1. כי המצולע נחתך ל-n−2n - 2 משולשים
  2. כי מחסרים שתי זוויות
  3. זו החלטה שרירותית
  4. כי יש שני קודקודים מיוחדים
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A כי המצולע נחתך ל-n−2n - 2 משולשים

Corrigé :

n−2n - 2

מספר המשולשים

×180\times 180

כל אחד תורם 180

שני הקודקודים הצמודים לזה שממנו יצאנו לא יוצרים משולש חדש.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

משושה

מהו סכום הזוויות במשושה?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 720

Corrigé :

(6−2)×180=720(6-2) \times 180 = 720

ארבעה משולשים

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

במרובע שלוש זוויות: 90, 90 ו-110. מהי הרביעית?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 70

Corrigé :

360−290=70360 - 290 = 70

סכום הזוויות במרובע הוא 360° — פעמיים סכום המשולש, כי כל מרובע נחתך באלכסון לשני משולשים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

מחומש משוכלל

מצולע משוכלל בעל 5 צלעות — מהי כל זווית?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 108

Corrigé :

540:5=108540 : 5 = 108

הסכום שווה בין חמש זוויות שוות

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

בכמה משולשים אפשר לחלק מתומן (8 צלעות) מאלכסוני קודקוד אחד?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 6

Corrigé :

8−2=68 - 2 = 6

ומכאן הנוסחה: 6 כפול 180.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

סכום הזוויות במצולע הוא 900 מעלות. כמה צלעות לו?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 7

Corrigé :

900:180=5900 : 180 = 5

חמישה משולשים

5+2=75 + 2 = 7
Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

Une ligne est fausse (שגויה) — trouvez-la (מצאו)

540:5=108540 : 5 = 108
S=n⋅180S = n \cdot 180
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : S=n⋅180S = n \cdot 180 → S=(n−2)⋅180S = (n - 2) \cdot 180

Corrigé :

המצולע נחתך ל-n−2n - 2 משולשים, לא ל-nn.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

Associez, reliez (התאימו) chaque cas à ce qu'il indique

  • 4→24 \rightarrow 2
  • 5→35 \rightarrow 3
  • 6→46 \rightarrow 4
  • מחומש — שלושה משולשים, 540°540°.
  • מרובע — נחתך לשני משולשים, ולכן 2×180=360°2 \times 180 = 360°.
  • משושה — ארבעה משולשים, 720°720°.
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4→24 \rightarrow 2 — מרובע — נחתך לשני משולשים, ולכן 2×180=360°2 \times 180 = 360°. · 5→35 \rightarrow 3 — מחומש — שלושה משולשים, 540°540°. · 6→46 \rightarrow 4 — משושה — ארבעה משולשים, 720°720°.

Corrigé :

Chaque paire ici est apparue dans la leçon — l'association correspond exactement à ce que le tableau (טבלה) montrait.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 13

במרובע שאינו קמור, זווית אחת היא 200°200°. מהו סכום שלוש הזוויות הנותרות במעלות?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 160

Corrigé :

360−200=160360 - 200 = 160

הסכום עדיין 360

היעדר קמירות אינו משנה את סכום הזוויות — הנוסחה (n−2)⋅180(n-2) \cdot 180 אינה שואלת על כך.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 14

סכום הזוויות במרובע שאינו קמור קטן מ-360°360°.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

2⋅180=3602 \cdot 180 = 360

גם הוא נחתך לשני משולשים

הסכום זהה. מה שמשתנה הוא שזווית אחת גדולה מ-180°180° — וזו בדיוק ההגדרה של «אינו קמור».

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 15

במרובע שאינו קמור שלוש הזוויות הן 40°40°, 30°30° ו-70°70°. כמה מעלות ברביעית?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 220

Corrigé :

40+30+70=14040 + 30 + 70 = 140

שלוש הידועות

360−140=220360 - 140 = 220

והרביעית

תוצאה מעל 180°180° אינה שגיאה — היא הסימן שהמרובע שקוע באותה פינה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 16

מתומן וכל האלכסונים

כמה אלכסונים יש למתומן (8 צלעות)?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 20

Corrigé :

8−3=58 - 3 = 5

מכל קודקוד יוצאים אלכסונים לכל הקודקודים חוץ ממנו ומשני שכניו

8⋅5=408 \cdot 5 = 40

ספירה מכל הקודקודים

40:2=2040 : 2 = 20

כל אלכסון נספר פעמיים — פעם מכל קצה

הנוסחה n(n−3)2\frac{n(n-3)}{2}. הפח: לשכוח לחלק ב-2 ולענות 40.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 17

מצולע משוכלל בן 12 צלעות

מהי כל זווית במצולע משוכלל בן 12 צלעות (במעלות)?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 150

Corrigé :

(12−2)⋅180=1800(12 - 2) \cdot 180 = 1800

סכום הזוויות

1800:12=1501800 : 12 = 150

12 זוויות שוות

שני שלבים: קודם הסכום, ורק אז מחלקים. הפח: לחלק את 180 ב-12.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 18

156°
זווית אחת של המצולע: 156°

במצולע משוכלל כל זווית היא 156°156°. כמה צלעות יש לו?

  1. 24
  2. 15
  3. 12
  4. 18
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B 15

Corrigé :

(n−2)⋅180=156n(n - 2) \cdot 180 = 156n

הסכום בשתי דרכים

180n−360=156n180n - 360 = 156n

פותחים סוגריים

24n=360 ⇒ n=15\begin{aligned}24n &= 360 \ \Rightarrow \ n \\ &= 15\end{aligned}

On résout

13⋅180=2340=15⋅156\begin{aligned}13 \cdot 180 &= 2340 \\ &= 15 \cdot 156\end{aligned}

בדיקה

הפח: לענות 24 — זה המקדם שנשאר אחרי ההעברה, לא מספר הצלעות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 19

מחומש

התאימו כל מצולע למספר האלכסונים שלו

  • משולש
  • מרובע
  • מחומש
  • משושה
  • 00 אלכסונים
  • 22 אלכסונים
  • 55 אלכסונים
  • 99 אלכסונים
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : משולש — 00 אלכסונים · מרובע — 22 אלכסונים · מחומש — 55 אלכסונים · משושה — 99 אלכסונים

Corrigé :

n(n−3)2\frac{n(n-3)}{2}

מכל קודקוד n−3n - 3 אלכסונים, וכל אחד נספר פעמיים

6⋅32=9\frac{6 \cdot 3}{2} = 9

למשל במשושה

למשולש אין אלכסון בכלל: כל שני קודקודים שלו שכנים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 20

108°
135°

ככל שלמצולע משוכלל יש יותר צלעות, כל זווית שלו גדולה יותר.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

60, 90, 108, 120, 13560 , \ 90 , \ 108 , \ 120 , \ 135

משולש, ריבוע, מחומש, משושה, מתומן

180−360n180 - \frac{360}{n}

וככל ש-nn גדל, מחסרים פחות

נכון — אבל הזווית לעולם לא מגיעה ל-180°180°. מצולע עם הרבה צלעות נראה כמעט כמו עיגול.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 21

מצולע בן 10 צלעות

כמה אלכסונים יוצאים מקודקוד אחד של מצולע בן 10 צלעות?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 7

Corrigé :

10−3=710 - 3 = 7

לכל הקודקודים, חוץ ממנו ומשני שכניו

לא 9: אל שני השכנים יוצאות צלעות, לא אלכסונים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 22

למצולע יש 14 אלכסונים. כמה צלעות לו?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 7

Corrigé :

n(n−3)2=14\frac{n(n-3)}{2} = 14

הנוסחה

n(n−3)=28n(n-3) = 28

כופלים ב-2

7⋅4=287 \cdot 4 = 28

מחפשים שני מספרים שההפרש ביניהם 3

n=7n = 7, משובע. בדיקה: 7⋅42=14\frac{7 \cdot 4}{2} = 14.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 23

במשושה יוצאים 3 אלכסונים מכל קודקוד, ויש לו 6 קודקודים. לכן יש לו 3⋅6=183 \cdot 6 = 18 אלכסונים.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

6⋅3=186 \cdot 3 = 18

זו ספירה מכל הקודקודים

18:2=918 : 2 = 9

כל אלכסון נספר פעמיים

יש לו 9 אלכסונים. הספירה מכל קודקוד סופרת כל אלכסון פעמיים, פעם מכל קצה.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe