רשימה מסודרת ועקרון הכפל · Counting · Bar-Ilan — entrance exam for ⁨ו׳⁩ (pupils in ⁨ה׳⁩)

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

שאלת ספירה שואלת כמה אפשרויות יש — לא מה הן.

רשימה מסודרת

הדרך הבטוחה להתחיל: רשימה מסודרת. מקבעים את הבחירה הראשונה, ועוברים על כל האפשרויות של השנייה.

רק אחר כך מחליפים את הראשונה. כך לא שוכחים מקרה, ולא סופרים מקרה פעמיים.

בפלאפלייה בוחרים לחם (פיתה או לאפה), רוטב אחד מתוך $4$ ושתייה אחת מתוך $3$ . כמה ארוחות שונות אפשר להרכיב?

Show the answer and the solution

$24$ . $2 \times 4 \times 3 = 24$ — כל לחם עם כל רוטב, וכל צירוף כזה עם כל שתייה.

כשיש תנאי — מתחילים מהמקום המוגבל

״ספרות שונות״, ״מספר זוגי״, ״גדול מ- $500$ ״ — תנאי מגביל מקום אחד.

קובעים קודם את המקום המוגבל ביותר. ספרת המאות מוגבלת תמיד: היא אינה $0$ .

בונים מספרים תלת-ספרתיים מהספרות $0, 1, 2, 3$ , בלי לחזור על ספרה. מאיזה מקום כדאי להתחיל?

Show the answer and the solution

מספרת המאות — שם יש תנאי. נסו למטה להתחיל דווקא באחדות, ותראו מה משתבש.

כמה מספרים מכילים את הספרה $7$ ?

$7$ באחדות: $7, 17, \ldots, 97$ — $10$ מספרים.

$7$ בעשרות: $70, 71, \ldots, 79$ — עוד $10$ . אבל $77$ נמצא בשתי הרשימות.

וכמה פעמים נכתבת הספרה $7$ כשכותבים את כל המספרים מ- $1$ עד $100$ ?

Show the answer and the solution

$20$ . כאן סופרים ספרות ולא מספרים: ב- $77$ כותבים את $7$ פעמיים, ולכן לא מורידים דבר.

שלוש טעויות ספירה.

10 + 10 = 20

10 + 10 - 1 = 19

מספרים עד $100$ שמכילים את $7$ : המספר $77$ נמצא בשתי הרשימות.

4 \times 3 \times 2 = 24

3 \times 3 \times 2 = 18

מספרים תלת-ספרתיים מ- $0, 1, 2, 3$ : אסור ל- $0$ לעמוד בראש.

3 + 2 = 5

3 \times 2 = 6

$3$ חולצות ו- $2$ מכנסיים: בוחרים גם חולצה וגם מכנסיים — כופלים. מחברים רק כשבוחרים או מזה או מזה.

לפני שכופלים, שאלו: האם כל בחירה בשלב הראשון מתאימה לכל בחירה בשלב השני? אם לא — מחלקים למקרים, סופרים כל מקרה לחוד, ומחברים.

Exercises

Exercise 1

לנועה $4$ חולצות, $3$ חצאיות ו- $2$ זוגות נעליים. היא אף פעם לא לובשת את החולצה האדומה עם החצאית הוורודה. כמה תלבושות שונות (חולצה, חצאית ונעליים) יש לה?

Show the answer and the solution

Answer: 22

Worked solution:

4 \times 3 \times 2 = 24

כל התלבושות, בלי התנאי

1 \times 1 \times 2 = 2

האסורות: האדומה עם הוורודה, ועם כל אחד משני זוגות הנעליים

24 - 2 = 22

התשובה: $22$ . מי שמוריד רק $1$ שוכח שהצירוף האסור מופיע עם שני זוגות נעליים.

Check the answer on elev

Exercise 2

כמה מספרים תלת-ספרתיים גדולים מ- $500$ אפשר לכתוב בעזרת הספרות $1, 3, 5, 7$ בלבד? (מותר לחזור על ספרה.)

$32$
$16$
$64$
$12$

Show the answer and the solution

Answer: A $32$

Worked solution:

2

ספרת המאות: $5$ או $7$ — וכל מספר כזה גדול מ- $500$

4 \times 4 = 16

לעשרות ולאחדות — כל אחת מארבע הספרות

2 \times 16 = 32

התשובה: $32$ . $64$ הם כל המספרים, בלי התנאי; $12$ מתקבל אם אוסרים לחזור על ספרה; $16$ שוכח שיש למאות שתי אפשרויות.

Check the answer on elev

Exercise 3

כמה מהמספרים $1, 2, 3, \ldots, 100$ מכילים את הספרה $5$ לפחות פעם אחת?

Show the answer and the solution

Answer: 19

Worked solution:

5, 15, 25, \ldots, 95

$10$ מספרים עם $5$ באחדות

50, 51, \ldots, 59

$10$ מספרים עם $5$ בעשרות

10 + 10 - 1 = 19

$55$ נמצא בשתי הרשימות

התשובה: $19$ . מי שעונה $20$ סופר את $55$ פעמיים.

Check the answer on elev

Exercise 4

למנעול של ארון בחדר הכושר יש קוד של $3$ ספרות, מ- $000$ עד $999$ . איתי זוכר רק שהספרה הראשונה אי-זוגית ושהספרה האחרונה גדולה מ- $6$ . כמה קודים עליו לנסות לכל היותר?

$1000$
$150$
$135$
$18$

Show the answer and the solution

Answer: B $150$

Worked solution:

5

הראשונה אי-זוגית: $1, 3, 5, 7, 9$

10

האמצעית: כל ספרה, כולל $0$

3

האחרונה: $7, 8$ או $9$

5 \times 10 \times 3 = 150

התשובה: $150$ . $18$ מחבר ( $5 + 10 + 3$ ) במקום לכפול; $135$ שוכח ש- $0$ מותר באמצע קוד; $1000$ מתעלם ממה שאיתי זוכר.

Check the answer on elev

Exercise 5

כמה מספרים אפשר לבנות מהספרות $1, 2, 3, 4$ בלבד? השלימו.

מה בונים	כמה מספרים
דו-ספרתי, מותר לחזור על ספרה	____
דו-ספרתי, ספרות שונות	____
תלת-ספרתי, ספרות שונות	____
תלת-ספרתי, מותר לחזור על ספרה	____

Show the answer and the solution

Answer: דו-ספרתי, מותר לחזור על ספרה: 16 · דו-ספרתי, ספרות שונות: 12 · תלת-ספרתי, ספרות שונות: 24 · תלת-ספרתי, מותר לחזור על ספרה: 64

Worked solution:

4 \times 4 = 16

כל ספרה יכולה לחזור

4 \times 3 = 12

הספרה השנייה — כל אחת חוץ מהראשונה

4 \times 3 \times 2 = 24

4 \times 4 \times 4 = 64

אין כאן $0$ , ולכן אין מקום מוגבל: לכל מקום כל הספרות שנשארו. האיסור לחזור הוא מה שמקטין את המספר בכל שלב.

Check the answer on elev

Exercise 6

בכל מקרה: כופלים את מספרי האפשרויות, או מחברים אותם?

כופלים
מחברים

ארוחה: מנה עם בשר מתוך $4$ , או מנה צמחונית מתוך $2$
בוחרים חולצה וגם מכנסיים
בוחרים ספרת עשרות, ואחריה ספרת אחדות
בוחרים שביל לעלות להר ושביל לרדת ממנו
מתנה: ספר אחד מתוך $5$ , או משחק אחד מתוך $3$
נוסעים לעיר באוטובוס או ברכבת

Show the answer and the solution

Answer: בוחרים חולצה וגם מכנסיים — כופלים · נוסעים לעיר באוטובוס או ברכבת — מחברים · בוחרים ספרת עשרות, ואחריה ספרת אחדות — כופלים · מתנה: ספר אחד מתוך $5$ , או משחק אחד מתוך $3$ — מחברים · בוחרים שביל לעלות להר ושביל לרדת ממנו — כופלים · ארוחה: מנה עם בשר מתוך $4$ , או מנה צמחונית מתוך $2$ — מחברים

Worked solution:

\times

בוחרים גם את זה וגם את זה — כל בחירה עם כל בחירה

+

בוחרים רק אחד מהשניים — שתי קבוצות נפרדות

המילה ״או״ בין שתי קבוצות אומרת לחבר. ״וגם״, ״ואחריו״, ״הלוך וחזור״ אומרות לכפול.

Check the answer on elev

Exercise 7

כמה מספרים תלת-ספרתיים זוגיים אפשר לבנות מהספרות $1, 2, 3, 4, 5$ , בלי לחזור על ספרה? עידו חישב כך. באיזו שורה הטעות?

5 \times 4 \times 3 = 60

60 : 2 = 30

Show the answer and the solution

Answer: $60 : 2 = 30$ → $2 \times 4 \times 3 = 24$

Worked solution:

2

האחדות — המקום המוגבל: $2$ או $4$

4 \times 3

למאות ולעשרות — מה שנשאר

2 \times 4 \times 3 = 24

התשובה: $24$ . עידו הניח שחצי מהמספרים זוגיים. אבל רק $2$ מתוך $5$ הספרות זוגיות — מתחילים מהמקום המוגבל, האחדות.

Check the answer on elev

Exercise 8

השלימו.

בשורה $5$ נורות, וכל נורה דולקת או כבויה. יש ____ מצבים שונים לשורה. אם הנורה הראשונה חייבת לדלוק — יש ____ מצבים.

Show the answer and the solution

Answer: בשורה $5$ נורות, וכל נורה דולקת או כבויה. יש 32 מצבים שונים לשורה. אם הנורה הראשונה חייבת לדלוק — יש 16 מצבים.

Worked solution:

2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32

לכל נורה שתי אפשרויות

1 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16

לנורה הראשונה נשארה אפשרות אחת

הפיתוי הוא $5 \times 2 = 10$ : מחברים $2 + 2 + \ldots$ במקום לכפול. כל נורה מכפילה את מספר המצבים.

Check the answer on elev

Exercise 9

כמה מספרים דו-ספרתיים אי-זוגיים יש, שהספרות שלהם שונות?

Show the answer and the solution

Answer: 40

Worked solution:

5

האחדות — המקום המוגבל: $1, 3, 5, 7, 9$

8

העשרות — לא $0$ , ולא ספרת האחדות

5 \times 8 = 40

התשובה: $40$ . מי שמתחיל בעשרות מקבל $9$ אפשרויות, ואז לאחדות לפעמים $4$ ולפעמים $5$ — אי אפשר לכפול.

Check the answer on elev

Exercise 10

כמה מהמספרים $1$ עד $100$ אינם מכילים את הספרה $3$ ?

$19$
$81$
$80$
$90$

Show the answer and the solution

Answer: B $81$

Worked solution:

10 + 10 - 1 = 19

מכילים $3$ : באחדות או בעשרות, ו- $33$ פעם אחת

100 - 19 = 81

כל השאר

התשובה: $81$ . $80$ מוריד את $33$ פעמיים; $90$ שוכח את העשרות $30$ עד $39$ ; $19$ הם דווקא המספרים שכן מכילים $3$ .

Check the answer on elev

רשימה מסודרת

כשיש תנאי — מתחילים מהמקום המוגבל

כמה מספרים מכילים את הספרה 777?

Exercises

Keep practising on elev

כמה מספרים מכילים את הספרה $7$ ?