תבניות שחוזרות · Sequences and patterns · Bar-Ilan — entrance exam for ⁨ו׳⁩ (pupils in ⁨ה׳⁩)

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

כשמשהו חוזר על עצמו — אותיות, צבעים, ימים בשבוע — לא סופרים עד המקום הרחוק.

מוצאים את אורך המחזור, מחלקים בו, ומסתכלים על השארית.

מה יש במקום ה- $100$ ?

ומהי האות במקום ה- $102$ ?

Show the answer and the solution

ב. $102 = 25 \times 4 + 2$ — שני מקומות אחרי סוף מחזור.

השארית אומרת איפה אנחנו בתוך המחזור: שארית $1$ — המקום הראשון במחזור, שארית $2$ — השני, ושארית $0$ — המקום האחרון.

כמה פעמים?

כמה חרוזים לבנים יש באותה שרשרת?

Show the answer and the solution

$16$ . $50 - 34 = 16$ — חרוז לבן אחד בכל מחזור שלם, ושני החרוזים שנשארו אפורים.

ימים בשבוע

ספרת האחדות

$2^{5}$ פירושו $2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2$ .

ספרת האחדות של מכפלה תלויה רק בספרות האחדות של הגורמים. לכן ספרות האחדות של $2, 4, 8, 16, 32, \ldots$ חוזרות במחזור.

מהי ספרת האחדות של $2^{50}$ ?

Show the answer and the solution

$4$ . $50 = 12 \times 4 + 2$ — המקום השני במחזור $2, 4, 8, 6$ .

שתי טעויות במחזורים

100 = 25 \times 4 \Rightarrow 1

100 = 25 \times 4 \Rightarrow 4

שארית $0$ פירושה סוף מחזור — המקום האחרון בו, לא הראשון.

30 : 7 = 4

30 = 4 \times 7 + 2

ארבעה שבועות הם $28$ ימים, לא $30$ . שני הימים שנשארו מזיזים את היום.

בודקים את החלוקה בחזרה: $16 \times 3 + 2 = 50$ . אם הבדיקה לא מחזירה את המספר המקורי — יש טעות.

Exercises

Exercise 1

הצורות בשורה חוזרות שוב ושוב בסדר שבציור: עיגול, ריבוע, ריבוע, משולש. מהי הצורה ה- $52$ ?

עיגול
לא ניתן לדעת
ריבוע
משולש

Show the answer and the solution

Answer: D משולש

Worked solution:

4

אורך המחזור

52 = 13 \times 4

בדיוק $13$ מחזורים, בלי שארית

4

שארית $0$ — המקום האחרון במחזור

התשובה היא משולש. מי שבחר עיגול חשב ששארית $0$ מחזירה להתחלה — אבל היא מסיימת מחזור.

Check the answer on elev

Exercise 2

את המילה ״שלום״ כותבים שוב ושוב בלי רווחים: שלוםשלוםשלום... כמה פעמים מופיעה האות ל ב- $50$ האותיות הראשונות?

Show the answer and the solution

Answer: 13

Worked solution:

4

אורך המחזור: ש, ל, ו, ם

50 = 12 \times 4 + 2

$12$ מחזורים שלמים, ועוד שתי אותיות: ש, ל

12 + 1 = 13

ל אחת בכל מחזור, ועוד אחת בשארית

התשובה היא $13$ . מי שכתב $12$ שכח את שתי האותיות שנשארו — והשנייה בהן היא ל.

Check the answer on elev

Exercise 3

מהי ספרת האחדות של $7^{20}$ (עשרים פעמים $7$ כפול עצמו)?

Show the answer and the solution

Answer: D $1$

Worked solution:

7, 9, 3, 1

ספרות האחדות של $7, 49, 343, 2401$ — מחזור של $4$

20 = 5 \times 4

שארית $0$

1

המקום האחרון במחזור

התשובה היא $1$ . $7$ מתקבל כששארית $0$ נקראת ״התחלה״, ו- $9$ או $3$ מספירה שגויה בתוך המחזור.

Check the answer on elev

Exercise 4

ברצף הספרות $142857142857142857\ldots$ הספרה במקום ה- $2026$ היא $7$ .

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

6

אורך המחזור: $1, 4, 2, 8, 5, 7$

2026 = 337 \times 6 + 4

שארית $4$

8

הספרה הרביעית במחזור

הטענה לא נכונה: במקום ה- $2026$ עומדת הספרה $8$ . $7$ היא הספרה האחרונה במחזור — היא הייתה נכונה רק אילו $2026$ התחלק ב- $6$ .

Check the answer on elev

Exercise 5

היום יום רביעי. איזה יום יהיה בעוד $100$ ימים?

יום חמישי
יום שישי
יום רביעי
יום שבת

Show the answer and the solution

Answer: B יום שישי

Worked solution:

100 = 7 \times 14 + 2

$14$ שבועות שלמים, ועוד $2$ ימים

+2

השבועות מחזירים ליום רביעי, ועוד יומיים

התשובה: יום שישי. $14$ השבועות לא מזיזים דבר — רק השארית $2$ . מי שבחר יום רביעי חשב ש- $100$ מתחלק ב- $7$ .

Check the answer on elev

Exercise 6

הרצף א, ב, ב, ג חוזר שוב ושוב: א, ב, ב, ג, א, ב, ב, ג, ... כמה פעמים מופיעה האות ב ב- $45$ המקומות הראשונים?

Show the answer and the solution

Answer: 22

Worked solution:

4

אורך המחזור

45 = 4 \times 11 + 1

$11$ מחזורים שלמים, ועוד מקום אחד: א

11 \times 2 = 22

שתי ב בכל מחזור, ואין ב בשארית

התשובה: $22$ . מי שכתב $23$ חשב שהמקום הנוסף הוא ב — אבל מחזור חדש מתחיל ב-א.

Check the answer on elev

Exercise 7

נורות דולקות בצבעים אדום, כחול, ירוק, אדום, כחול, ירוק, ... הנורה במקום ה- $60$ אדומה.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

60 = 3 \times 20

בלי שארית

3

סוף מחזור — המקום השלישי, הצבע האחרון: ירוק

הטענה לא נכונה: $60$ מתחלק ב- $3$ , ולכן המקום ה- $60$ סוגר מחזור — ירוק. אדום הוא המקום ה- $61$ .

Check the answer on elev

Exercise 8

ברצף $1, 2, 3, 4, 5, 1, 2, 3, 4, 5, \ldots$ השלימו את הטבלה.

המקום	השארית בחלוקה ב- $5$	המספר במקום
$23$	____	____
$40$	____	____
$51$	____	____
$99$	____	____

Show the answer and the solution

Answer: $23$ : 3, 3 · $40$ : 0, 5 · $51$ : 1, 1 · $99$ : 4, 4

Worked solution:

23 = 5 \times 4 + 3

שארית $3$ — המספר $3$

40 = 5 \times 8

שארית $0$ — סוף מחזור: $5$

השארית אומרת איפה אנחנו בתוך המחזור. רק שארית $0$ דורשת זהירות: היא לא המקום ״אפס״ — היא המקום האחרון, $5$ .

Check the answer on elev

Exercise 9

ספרות האחדות של $3, 9, 27, 81, 243, \ldots$ חוזרות במחזור $3, 9, 7, 1$ . השלימו.

ספרת האחדות של $3^{10}$ היא ____, ושל $3^{12}$ היא ____.

Show the answer and the solution

Answer: ספרת האחדות של $3^{10}$ היא 9, ושל $3^{12}$ היא 1.

Worked solution:

10 = 4 \times 2 + 2

המקום השני במחזור: $9$

12 = 4 \times 3

סוף מחזור: $1$

אורך המחזור $4$ . $3^{10}$ — שארית $2$ , ו- $3^{12}$ — שארית $0$ , המקום האחרון במחזור. מי שכתב $3$ ל- $3^{12}$ חזר להתחלה.

Check the answer on elev

Exercise 10

השנה ה-1 בינואר חל ביום ראשון. בשנה $365$ ימים. באיזה יום יחול ה-1 בינואר בשנה הבאה?

יום ראשון
לא ניתן לדעת
יום שלישי
יום שני

Show the answer and the solution

Answer: D יום שני

Worked solution:

365 = 7 \times 52 + 1

$52$ שבועות שלמים, ועוד יום אחד

+1

יום ראשון, ועוד יום אחד

התשובה: יום שני. הנתונים מספיקים: השבועות לא מזיזים, והשארית $1$ מקדמת ביום אחד. מי שבחר יום ראשון חשב ששנה היא מספר שלם של שבועות.

Check the answer on elev

מה יש במקום ה-100100100?

כמה פעמים?

ימים בשבוע

ספרת האחדות

Exercises

Keep practising on elev

מה יש במקום ה- $100$ ?