הפרשים — המפתח לכל סדרה · Sequences and patterns · Bar-Ilan — entrance exam for ⁨ו׳⁩ (pupils in ⁨ה׳⁩)

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

הצעד הראשון בכל סדרה: כותבים את ההפרשים בין איברים סמוכים.

מה שההפרשים עושים — מגלה את הכלל.

הפרש קבוע: קופצים ישר למקום רחוק

והאם $100$ נמצא באותה סדרה?

Show the answer and the solution

לא. $100 - 3 = 97$ , ו- $97$ אינו מתחלק ב- $6$ . וגם בלי חשבון: כל האיברים אי-זוגיים, ו- $100$ זוגי.

בסדרה $6, 10, 14, 18, \ldots$ — מהו האיבר ה- $25$ ?

Show the answer and the solution

$102$ . מהאיבר הראשון עד ה- $25$ יש $24$ קפיצות של $4$ : $6 + 24 \times 4 = 102$ .

הפרשים שגדלים

מהו האיבר הבא: $3, 4, 7, 12, 19, \ldots$ ?

Show the answer and the solution

$28$ . ההפרשים $1, 3, 5, 7$ גדלים ב- $2$ . ההפרש הבא $9$ , ו- $19 + 9 = 28$ .

בסדרה $1, 3, 6, 10, 15, \ldots$ — מהו האיבר העשירי?

Show the answer and the solution

$55$ . ההפרשים $2, 3, 4, \ldots$ , ולכן האיבר העשירי הוא $1 + 2 + \ldots + 10$ . בזוגות: $1 + 10$ , $2 + 9$ , ... — חמישה זוגות של $11$ .

סדרה שכופלת

כל איבר כפול

2

מהקודם. גם ההפרשים

3, 6, 12

מוכפלים — זה סימן ההיכר.

שתי טעויות

20 \times 4 = 80

6 + 19 \times 4 = 82

האיבר ה- $20$ בסדרה $6, 10, 14, \ldots$ : מתחילים מ- $6$ ועושים $19$ קפיצות.

5, 6, 8, 11, 15, 19

5, 6, 8, 11, 15, 20

ההפרש הבא אינו חזרה על האחרון. ההפרשים $1, 2, 3, 4$ ממשיכים ל- $5$ .

ההפרשים גדלים באותו מספר? בודקים הפרשי הפרשים. הם מוכפלים? הסדרה כנראה כופלת, ואולי מוסיפה עוד משהו קטן.

Exercises

Exercise 1

בסדרה $9, 13, 17, 21, \ldots$ — מהו האיבר ה- $20$ ?

$80$
$85$
$81$
$89$

Show the answer and the solution

Answer: B $85$

Worked solution:

+4

ההפרש קבוע

20 - 1 = 19

מהאיבר הראשון עד העשרים יש $19$ קפיצות

9 + 19 \times 4 = 85

האיבר ה- $20$

התשובה היא $85$ . $89$ סופר $20$ קפיצות במקום $19$ , $80$ שוכח את נקודת ההתחלה ( $20 \times 4$ ), ו- $81$ עושה $18$ קפיצות בלבד.

Check the answer on elev

Exercise 2

מהו האיבר הבא בסדרה $2, 3, 5, 8, 12, \ldots$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 17

Worked solution:

1, 2, 3, 4

ההפרשים גדלים ב- $1$

4 + 1 = 5

ההפרש הבא

12 + 5 = 17

האיבר הבא

התשובה היא $17$ . מי שכתב $16$ חזר על ההפרש $4$ , ומי שכתב $20$ חיבר את שני האיברים האחרונים ( $8 + 12$ ) — אבל $3 + 5 = 8$ ו- $5 + 8 \neq 12$ , כך שזה לא הכלל.

Check the answer on elev

Exercise 3

מהו האיבר הבא בסדרה $2, 3, 5, 9, 17, \ldots$ ?

$34$
$33$
$25$
$26$

Show the answer and the solution

Answer: B $33$

Worked solution:

1, 2, 4, 8

ההפרשים מוכפלים ב- $2$

8 \times 2 = 16

ההפרש הבא

17 + 16 = 33

האיבר הבא

17 \times 2 - 1 = 33

וגם: פעמיים הקודם פחות $1$

התשובה היא $33$ . $25$ חוזר על ההפרש $8$ , $34$ כופל ושוכח את החיסור, ו- $26$ מוסיף להפרש $1$ במקום להכפיל אותו.

Check the answer on elev

Exercise 4

המספר $100$ הוא איבר בסדרה $4, 11, 18, 25, \ldots$

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

100 - 4 = 96

כמה צריך לעלות מהאיבר הראשון

96 = 13 \times 7 + 5

$96$ אינו מתחלק ב- $7$

הטענה לא נכונה. $13$ קפיצות מגיעות ל- $95$ ו- $14$ קפיצות ל- $102$ ; $100$ נמצא בין שני איברים.

Check the answer on elev

Exercise 5

בסדרה $7, 12, 17, 22, \ldots$ — באיזה מקום נמצא האיבר $102$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 20

Worked solution:

102 - 7 = 95

כמה עולים מהאיבר הראשון

95 : 5 = 19

מספר הקפיצות של $5$

19 + 1 = 20

המקום: קפיצה אחת פחות מהמקום

התשובה: המקום ה- $20$ . מי שכתב $19$ ספר קפיצות ושכח שהאיבר הראשון עומד במקום $1$ , לפני כל קפיצה.

Check the answer on elev

Exercise 6

בסדרה $4, 11, 18, 25, \ldots$ ההפרש קבוע. השלימו את הטבלה.

המקום	האיבר
$1$	$4$
$2$	$11$
$10$	____
$20$	____
$100$	____

Show the answer and the solution

Answer: $10$ : 67 · $20$ : 137 · $100$ : 697

Worked solution:

4 + 9 \times 7 = 67

עד המקום ה- $10$ : $9$ קפיצות

4 + 19 \times 7 = 137

4 + 99 \times 7 = 697

בכל שורה: האיבר הראשון, ועוד מספר הקפיצות — המקום פחות $1$ — כפול $7$ . מי שכפל $100 \times 7$ קיבל $700$ ושכח שמתחילים מ- $4$ .

Check the answer on elev

Exercise 7

מיינו כל סדרה: הפרש קבוע, או הפרשים שגדלים?

הפרש קבוע
הפרשים שגדלים

$1, 2, 4, 7$
$1, 4, 9, 16$
$10, 7, 4, 1$
$2, 5, 8, 11$
$20, 31, 42, 53$
$3, 4, 6, 9$

Show the answer and the solution

Answer: $2, 5, 8, 11$ — הפרש קבוע · $1, 2, 4, 7$ — הפרשים שגדלים · $10, 7, 4, 1$ — הפרש קבוע · $3, 4, 6, 9$ — הפרשים שגדלים · $1, 4, 9, 16$ — הפרשים שגדלים · $20, 31, 42, 53$ — הפרש קבוע

Worked solution:

+3, +3, +3

$2, 5, 8, 11$ — קבוע

+1, +2, +3

$1, 2, 4, 7$ — גדל

-3, -3, -3

$10, 7, 4, 1$ — קבוע, גם כשהסדרה יורדת

כותבים את ההפרשים מתחת לכל סדרה. $1, 4, 9, 16$ נראית ״מסודרת״, אבל ההפרשים $3, 5, 7$ גדלים — היא לא חשבונית.

Check the answer on elev

Exercise 8

בסדרה $2, 5, 10, 17, \square, 37, \square, \ldots$ ההפרשים גדלים. השלימו את שני האיברים החסרים.

האיבר החמישי הוא ____, והאיבר השביעי הוא ____.

Show the answer and the solution

Answer: האיבר החמישי הוא 26, והאיבר השביעי הוא 50.

Worked solution:

3, 5, 7, \square, 11

ההפרשים: מספרים אי-זוגיים ברצף

17 + 9 = 26

ההפרש החסר $9$

37 + 13 = 50

ההפרש הבא $13$

בדיקה: $26 + 11 = 37$ ✓. מי שהמשיך את ההפרש $11$ אחרי $37$ כתב $48$ — אבל ההפרשים ממשיכים לגדול ב- $2$ .

Check the answer on elev

Exercise 9

נועה חיפשה את האיבר הבא בסדרה $2, 5, 11, 23, 47, \ldots$ . באיזו שורה הטעות?

3, 6, 12, 24

24 + 3 = 27

47 + 27 = 74

Show the answer and the solution

Answer: $24 + 3 = 27$ → $24 \times 2 = 48$

Worked solution:

3, 6, 12, 24

ההפרשים מוכפלים ב- $2$

24 \times 2 = 48

ההפרש הבא

47 + 48 = 95

האיבר הבא

התשובה: $95$ . נועה הוסיפה $3$ להפרש, כאילו ההפרשים גדלים באותו מספר. אבל $6 - 3 = 3$ ו- $12 - 6 = 6$ — הם מוכפלים. בדיקה: $47 \times 2 + 1 = 95$ .

Check the answer on elev

Exercise 10

בסדרה $1, 2, 4, 8, 16, \ldots$ כל איבר כפול מהקודם. איזה מהמספרים לא יכול להיות איבר בסדרה?

$64$
$1024$
$256$
$96$

Show the answer and the solution

Answer: D $96$

Worked solution:

64 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2

רק כפל ב- $2$

96 = 32 \times 3

יש בו גורם $3$

התשובה: $96$ . כל איבר בסדרה בנוי רק מכפל ב- $2$ . $96$ זוגי וגדול, אבל יש בו גורם $3$ — אחרי $64$ בא $128$ , ו- $96$ נמצא ביניהם.

Check the answer on elev

הפרש קבוע: קופצים ישר למקום רחוק

הפרשים שגדלים

סדרה שכופלת

Exercises

Keep practising on elev