תבניות מספר — לתרגם מצב לביטוי · Algebraic expressions · Bar-Ilan — entrance exam for ⁨ח׳⁩ (pupils in ⁨ז׳⁩)

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

זה הנושא שמפריד את מבחן כיתה ח׳ מכל מה שקדם לו. אין כאן חשבון קשה — יש תרגום. משפט בעברית הופך לביטוי עם אות, והאות מייצגת את מה שאיננו יודעים. מי שמצליח לכתוב את הביטוי כבר ענה על מחצית השאלה.

מה מייצגת האות

לפני כל דבר אחר, כתבו לעצמכם במילים מה $x$ מייצג — ״מספר הדקות״, ״מספר הקילומטרים״. חצי מהטעויות בנושא נובעות מכך שהאות שינתה משמעות באמצע הפתרון.

Interactive activity

בריכה שמתרוקנת

בבריכה 320 ליטר. משאבה שואבת 20 ליטר בכל דקה. כמה מים נשארים אחרי $x$ דקות?

הבריכה

320 ליטר

הבר הוא כל המים שהיו בבריכה בהתחלה.

הבריכה

320 ליטר

x

המשאבה עובדת $x$ דקות. חלק מהמים יצא, וחלק נשאר — שני חלקים שעוד לא ידועים.

הבריכה

320 ליטר

20x

בכל דקה יוצאים $20$ ליטר, ולכן ב- $x$ דקות יוצאים $20x$ ליטר.

הבריכה

320 ליטר

320 - 20x

מה שנשאר = מה שהיה פחות מה שיצא: $320 - 20x$ .

הבר מראה את הסדר: מחסרים את מה שיצא ממה שהיה, ולא להפך.

Do the activity on elev

המלכודת הראשונה: להפוך את החיסור.

20x - 320

320 - 20x

מחסירים את מה שיצא ממה שהיה

320 - 20 + x

320 - 20x

בכל דקה עוד 20, ולא 20 פעם אחת

התשלום הקבוע והתשלום המשתנה

Interactive activity

קבוע ועוד משתנה

שכירת אוטובוס עולה $4{,}000$ ש״ח ליום, ועוד $5$ ש״ח לכל קילומטר. מהו המחיר ליום שבו נסעו $x$ קילומטרים?

$(4000 + 5)x$

$4000x + 5$

$4000 + 5x$

$4005 + x$

מה משתנה כשנוסעים יותר?

רק התוספת של $5$ ש״ח לקילומטר

Show the answer and the solution

כל קילומטר מוסיף $5$ ש״ח. ה- $4{,}000$ משולמים פעם אחת.

גם $4{,}000$ וגם $5$

Show the answer and the solution

$4{,}000$ הוא מחיר קבוע ליום. הוא לא גדל עם הקילומטרים.

5 \cdot x = 5x

החלק המשתנה: $5$ כפול מספר הקילומטרים.

מה עושים עם $4{,}000$ ?

מוסיפים אותו פעם אחת

Show the answer and the solution

הקבוע נכתב לבדו, בלי $x$ .

כופלים גם אותו ב- $x$

Show the answer and the solution

אז יוצא $(4000 + 5)x$ — כאילו משלמים $4{,}000$ על כל קילומטר.

4000 + 5x

קבוע ועוד משתנה.

Show the answer and the solution

$4000 + 5x$ . המסיח $(4000 + 5)x$ כופל גם את הקבוע, והמסיח $4000x + 5$ מחליף בין הקבוע לבין המחיר לקילומטר.

Do the activity on elev

צורה שחוזרת: מחיר בסיס קבוע, ועוד תוספת לכל יחידה. הקבוע נכתב לבדו, והמשתנה מוכפל באות. אוטובוס ב- $4{,}000$ ש״ח ליום ועוד $5$ ש״ח לקילומטר עולה $4000 + 5x$ — ולא $(4000 + 5)x$ .

\text{מחיר} = \text{קבוע} + (\text{מחיר ליחידה}) \times x

המבנה הקבוע

הצבה

להציב פירושו להחליף כל מופע של האות באותו ערך, ורק אז לחשב לפי סדר הפעולות. כשמציבים מספר שלילי, חובה סוגריים: ב- $x^{2}$ עם $x = -3$ הביטוי הוא $(-3)^{2} = 9$ , ולא $-3^{2} = -9$ .

Interactive activity

$2x^{2} - x$ עבור $x = -3$

\begin{aligned}2x^{2} - x \\ \quad x &= -3\end{aligned}

לחצו «להתחיל». כל $x$ מתחלף ב- $(-3)$ — עם סוגריים.

מציבים

2(-3)^{2} - (-3)

שני מופעים של $x$ , ושניהם מקבלים סוגריים.

חזקה

(-3)^{2} = 9

קודם החזקה. ריבוע של שלילי חיובי.

כפל

2 \times 9 = 18

אחר כך הכפל.

מינוס מינוס

18 - (-3) = 18 + 3

חיסור של שלילי הוא חיבור.

תוצאה

= 21

התשובה $21$ . מי שכתב $18 - 3$ שכח שחיסור של $-3$ הוא חיבור, וקיבל $15$ .

הצבה = להחליף כל $x$ בסוגריים, ואז סדר פעולות רגיל.

Do the activity on elev

מה ערכו של $x^{2} + x$ עבור $x = -1$ ?

Show the answer and the solution

$0$ . הצבה נותנת $(-1)^{2} + (-1) = 1 - 1 = 0$ . ריבוע של שלילי חיובי, והחיבור מבטל אותו.

קבוצת ההצבה

לא כל מספר מותר בכל ביטוי. אם האות נמצאת במכנה, אסור להציב ערך שמאפס אותו — חלוקה באפס אינה מוגדרת. קבוצת ההצבה היא בדיוק אוסף הערכים המותרים, והשאלה עליה כמעט תמיד מסתכמת בזיהוי המכנה.

אין אות במכנה — כל המספרים מותרים. יש אות במכנה — פותרים ״מכנה $= 0$ ״ ומוציאים את הפתרון מהקבוצה. זו כל השאלה, ולוקח שלוש שניות לענות עליה.

מכפלה ששווה לאפס

אם מכפלה שווה לאפס, לפחות אחד הגורמים הוא אפס — ואין דרך אחרת. מכאן ש- $(x+2)(x-3) = 0$ נפתר על ידי איפוס כל סוגר בנפרד: $x = -2$ או $x = 3$ . שימו לב לסימנים ההפוכים.

Interactive activity

$(x + 2)(x - 3) = 0$

(x + 2)(x - 3) = 0

לחצו «להתחיל». מכפלה של שני סוגריים שווה $0$ .

הכלל

\begin{aligned}A \cdot B &= 0 \ \Rightarrow \ A \\ &= 0 \ \text{או} \ B \\ &= 0\end{aligned}

אם מכפלה היא אפס, לפחות אחד הגורמים הוא אפס.

סוגר ראשון

\begin{aligned}x + 2 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= -2\end{aligned}

מעבירים את $2$ לאגף השני, והסימן מתהפך.

סוגר שני

\begin{aligned}x - 3 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 3\end{aligned}

גם כאן הסימן מתהפך: $-3$ הופך ל- $3$ .

בדיקה

\begin{aligned}(-2 + 2)(-2 - 3) &= 0 \cdot (-5) \\ &= 0\end{aligned}

מציבים $x = -2$ — ויוצא $0$ ✓. אותו דבר עם $x = 3$ .

הפתרונות הם המספרים ההפוכים למה שכתוב בסוגריים: $+2 \to -2$ , $-3 \to 3$ .

Do the activity on elev

המלכודת השנייה: להעתיק את הסימן מהסוגר.

\begin{aligned}(x + 2) &= 0 \Rightarrow x \\ &= 2\end{aligned}

x = -2

מעבירים אגף, והסימן מתהפך

\begin{aligned}(x - 3) &= 0 \Rightarrow x \\ &= -3\end{aligned}

x = 3

אותו כלל, לכיוון השני

מה מייצגת האות

התשלום הקבוע והתשלום המשתנה

הצבה

קבוצת ההצבה

מכפלה ששווה לאפס

Keep practising on elev