הפרשים והפרשי הפרשים · Sequences and patterns · Bar-Ilan — entrance exam for ⁨ח׳⁩ (pupils in ⁨ז׳⁩)

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

סדרה היא רשימת מספרים שנבנית לפי כלל. הצעד הראשון תמיד זהה: כותבים מתחת לסדרה את ההפרשים בין כל שני איברים סמוכים. ההפרשים מספרים איך הסדרה גדלה — ומשם מגיעים לכלל.

הפרש קבוע

ההפרש קבוע:

+4

. עד האיבר ה-

50

יש

49

קפיצות כאלה.

בסדרה $7, 11, 15, 19, \ldots$ — מהו האיבר ה- $50$ ?

לא כותבים חמישים איברים. מוצאים כלל שתלוי במקום $n$ .

+4

ההפרש קבוע

4n + 3

ארבע פעמים המקום, ועוד תיקון: $4 \times 1 + 3 = 7$

4 \times 50 + 3 = 203

האיבר ה- $50$

בסדרה $9, 16, 23, 30, \ldots$ — האם המספר $100$ מופיע?

Show the answer and the solution

כן, במקום ה- $14$ . מהאיבר הראשון ל- $100$ צריך לעלות $91$ , ו- $91 = 7 \times 13$ — בדיוק $13$ קפיצות של $7$ .

כשההפרש משתנה: הפרשי ההפרשים

ההפרשים גדלים:

3, 6, 9, 12

ההפרשים, כסדרה: הם גדלים תמיד ב-

3

Interactive activity

מהו האיבר הבא בסדרה $2, 5, 11, 20, 32, \ldots$ ?

2, \ 5, \ 11, \ 20, \ 32, \ ?

לחצו «להתחיל». ההפרשים אינם קבועים — אז יורדים שורה נוספת.

הפרשים

3, \ 6, \ 9, \ 12

מה נוסף בכל צעד.

הפרשי הפרשים

+3, \ +3, \ +3

בשורה השנייה ההפרש קבוע. כאן עוצרים.

ההפרש הבא

12 + 3 = 15

ממשיכים את שורת ההפרשים — לא חוזרים על $12$ .

האיבר הבא

32 + 15 = 47

ועולים בחזרה לסדרה.

המסיח הקבוע הוא $44 = 32 + 12$ : מי שחוזר על ההפרש האחרון במקום להמשיך את סדרת ההפרשים.

Do the activity on elev

שתי סדרות מוכרות מסתתרות לעתים קרובות מאחורי הפרשים שגדלים ב- $1$ או ב- $2$ : הריבועים, שההפרשים שלהם $3, 5, 7, \ldots$ , והמספרים המשולשיים — מספר הנקודות במשולש של שורות $1, 2, 3, \ldots$ — שההפרשים שלהם $2, 3, 4, \ldots$ . כדאי להכיר אותם בעל פה, וגם אותם עם תוספת קבועה.

1, 4, 9, 16, 25

ריבועים: $n^{2}$

1, 3, 6, 10, 15

משולשיים: $\frac{n(n+1)}{2}$

2, 5, 10, 17, 26

$n^{2} + 1$

2, 6, 12, 20, 30

$n(n+1)$

סדרה שכופלת

כשההפרשים גדלים מהר מדי, מחלקים במקום לחסר: בסדרה $3, 6, 12, 24$ כל איבר הוא פי $2$ מהקודם. ויש כלל מעורב: כופלים ואז מוסיפים או מחסרים. סימן ההיכר שלו — ההפרשים עצמם מוכפלים.

סדרה שכופלת: מעל כל חץ — פי כמה.

ההפרשים

3, 6, 12, 24

מוכפלים ב-

2

— סימן לכלל של כפל.

מהו האיבר הבא בסדרה $5, 8, 14, 26, 50, \ldots$ ?

ההפרשים $3, 6, 12, 24$ מוכפלים ב- $2$ — סימן לכלל כפל.

5 \times 2 - 2 = 8

ננסה: פעמיים הקודם פחות $2$

\begin{aligned}8 \times 2 - 2 &= 14 \\ \quad 14 \times 2 - 2 &= 26\end{aligned}

הכלל מתאים לכל האיברים

50 \times 2 - 2 = 98

האיבר הבא

איבר שנבנה משני הקודמים

בסדרה $2, 3, 5, 8, 13, 21$ כל איבר הוא סכום שני האיברים שלפניו. ההפרשים שלה הם הסדרה עצמה, מוזזת — וזה סימן ההיכר. בודקים בחיבור של כל זוג סמוך.

מהו האיבר הבא בסדרה $2, 5, 7, 12, 19, \ldots$ ?

Show the answer and the solution

$31$ . כל איבר הוא סכום שני הקודמים: $2 + 5 = 7$ , $5 + 7 = 12$ , $7 + 12 = 19$ , ולכן $12 + 19 = 31$ .

איבר חסר באמצע

החץ הראשון והאחרון ידועים:

+5

ו-

+11

. שני החצים שבאמצע עוברים דרך התא החסר.

מהו המספר החסר: $6, 11, \_\_, 27, 38$ ?

ההפרשים בקצוות ידועים — $5$ בהתחלה ו- $11$ בסוף. ממלאים את האמצע כך שהכלל יתקיים.

5, \ ?, \ ?, \ 11

ההפרשים הידועים

5, 7, 9, 11

הפרשים שגדלים ב- $2$

11 + 7 = 18

המספר החסר

18 + 9 = 27

בדיקה מול האיבר הבא

שלוש טעויות שחוזרות.

4 \times 50 = 200

4 \times 50 + 3 = 203

ההפרש הוא רק חלק מהכלל. בודקים את הכלל על האיבר הראשון.

2, 5, 11, 20, 32 \Rightarrow 32 + 12

32 + 15

ההפרש הבא אינו חוזר על האחרון — הוא ממשיך את סדרת ההפרשים.

\frac{11 + 27}{2} = 19

18

איבר חסר אינו הממוצע של שכניו, אלא אם ההפרש קבוע.

אחרי שמצאתם כלל, בדקו אותו על כל האיברים הנתונים, לא רק על שניים. מסיחים נבנים בדיוק מכלל שמתאים לשלושת האיברים הראשונים ונשבר ברביעי.

Exercises

Exercise 1

בסדרה $8, 13, 18, 23, \ldots$ — מהו האיבר ה- $20$ ?

$103$
$108$
$98$
$100$

Show the answer and the solution

Answer: A $103$

Worked solution:

+5

ההפרש קבוע

8 + 19 \times 5 = 103

מהאיבר הראשון לעשרים יש $19$ קפיצות

התשובה היא $103$ . $108$ מתקבל כשסופרים $20$ קפיצות במקום $19$ , ו- $100$ כששוכחים את נקודת ההתחלה.

Check the answer on elev

Exercise 2

מהו האיבר הבא בסדרה $1, 3, 7, 13, 21, \ldots$ ?

$31$
$33$
$34$
$29$

Show the answer and the solution

Answer: A $31$

Worked solution:

2, 4, 6, 8

ההפרשים

8 + 2 = 10

ההפרש הבא

21 + 10 = 31

התשובה היא $31$ . $29$ מתקבל כשחוזרים על ההפרש האחרון, $8$ , במקום להמשיך את סדרת ההפרשים.

Check the answer on elev

Exercise 3

מהו האיבר הבא בסדרה $3, 5, 8, 13, 21, \ldots$ ?

$29$
$34$
$42$
$31$

Show the answer and the solution

Answer: B $34$

Worked solution:

13 + 21 = 34

כל איבר הוא סכום שני הקודמים

התשובה היא $34$ . $29$ מתקבל מהפרש חוזר של $8$ , ו- $42$ מכפל ב- $2$ — שני כללים שלא מתאימים לכל האיברים.

Check the answer on elev

Exercise 4

מהו האיבר הבא בסדרה $4, 10, 22, 46, \ldots$ ?

$94$
$92$
$96$
$70$

Show the answer and the solution

Answer: A $94$

Worked solution:

6, 12, 24

ההפרשים מוכפלים

46 \times 2 + 2 = 94

כל איבר: פעמיים הקודם ועוד $2$

התשובה היא $94$ . $92$ הוא רק כפל ב- $2$ ושוכח את התוספת, ו- $70$ חוזר על ההפרש $24$ .

Check the answer on elev

הפרש קבוע

כשההפרש משתנה: הפרשי ההפרשים

סדרה שכופלת

איבר שנבנה משני הקודמים

איבר חסר באמצע

Exercises

Keep practising on elev