מספרים מכוונים — הסימן והמקום על הציר · Signed numbers · Bar-Ilan — entrance exam for ⁨ח׳⁩ (pupils in ⁨ז׳⁩)

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

ברגע שהמספרים השליליים נכנסים, שני דברים שהיו מובנים מאליהם מפסיקים להיות נכונים: כפל לא תמיד מגדיל, ומספר גדול יותר אינו בהכרח רחוק יותר מאפס. המבחן בונה את רוב השאלות שלו על שתי ההפתעות האלה.

הציר קובע מי גדול

על ציר המספרים, ימינה פירושו גדול יותר — תמיד. $-2$ גדול מ- $-7$ , אף ש- $7$ גדול מ- $2$ . הדרך הבטוחה לענות על כל שאלת השוואה בין שליליים היא לצייר את הציר בשוליים, ולא לסמוך על התחושה.

-7 < -2 < 0 < 2 < 7

הסדר על הציר

|-7| > |-2|

אבל המרחק מאפס הפוך

המלכודת הראשונה: להשוות שליליים לפי הגודל המספרי.

-7 > -2

-7 < -2

שבעה מתחת לאפס נמוך משניים מתחת לאפס

|a| > |b| \Rightarrow a > b

|-7| > |-2|

המרחק אינו הסדר

ארבע פעולות, שני כללי סימן

בכפל ובחילוק הכלל היחיד שצריך הוא ספירת המינוסים: מספר זוגי של מינוסים נותן תוצאה חיובית, מספר אי-זוגי נותן שלילית. בחיבור ובחיסור הכלל אחר — מחסירים מינוס פירושו להוסיף.

(-) \times (-) = (+)

שני מינוסים

(-) \times (+) = (-)

מינוס אחד

a - (-b) = a + b

חיסור של שלילי

a + (-b) = a - b

חיבור של שלילי

האם $-a$ הוא בהכרח מספר שלילי?

Show the answer and the solution

לא. אם $a$ עצמו שלילי, למשל $a = -3$ , אז $-a = 3$ — חיובי. הסימן שכתוב לפני האות אינו אומר דבר על סימן הערך; זו אחת השאלות שהמבחן שואל כמעט תמיד.

כפל שמקטין, וחילוק שמגדיל

המספרים בין $0$ ל- $1$ מתנהגים הפוך ממה שהיד רגילה: כפל בהם מקטין, וחילוק בהם מגדיל. ומעבר לזה, כפל במספר שלילי הופך את הסדר — $2 < 3$ , אבל $-2 > -3$ .

המלכודת השנייה: להניח שכפל מגדיל.

a \times b > a

5 \times 0.5 = 2.5

כפל בשבר קטן מאחד מקטין

a \times b > a

5 \times (-2) = -10

וכפל בשלילי מקטין תמיד, לחיובי

שאלות ״מי הגדול״ בלי מספרים

הצורה השכיחה בכיתה ח׳: נתונים $a$ חיובי ו- $b$ שלילי, ושואלים איזה ביטוי גדול ביותר. אין כאן חישוב — יש בדיקת סימן. ביטוי חיובי גדול מכל ביטוי שלילי, ורק אם שניים חיוביים צריך להשוות גודל.

Interactive activity

בדיקת סימן, בלי מספרים

$a$ חיובי ו- $b$ שלילי. מי גדול יותר: $a - b$ או $a + b$ ?

$a - b$

$a + b$

הם שווים

לא ניתן לדעת

מה עושה $-b$ כש- $b$ שלילי?

$-b$ חיובי

Show the answer and the solution

המינוס לפני $b$ הופך את הסימן: אם $b = -3$ אז $-b = 3$ .

$-b$ שלילי, כי יש לפניו מינוס

Show the answer and the solution

המינוס לפני האות אינו הסימן של הערך. $-(-3) = 3$ .

b < 0 \ \Rightarrow \ -b > 0

ולכן $a - b = a + (-b)$ הוא $a$ ועוד מספר חיובי.

ו- $a + b$ ?

$a$ ועוד מספר שלילי — קטן מ- $a$

Show the answer and the solution

חיבור של שלילי מחסיר.

גדול מ- $a$ , כי מחברים

Show the answer and the solution

חיבור מגדיל רק כשהמחובר חיובי. כאן $b < 0$ .

a + b < a < a - b

$a$ נמצא באמצע: $a + b$ משמאלו, $a - b$ מימינו.

איך בודקים עם מספרים?

מציבים $a = 2$ , $b = -3$

Show the answer and the solution

זוג פשוט, ששומר על התנאים: $a > 0$ , $b < 0$ .

מציבים $a = 2$ , $b = 3$

Show the answer and the solution

$b$ חייב להיות שלילי. זוג כזה בודק שאלה אחרת.

\begin{aligned}a - b &= 2 + 3 \\ &= 5 \\ \quad a + b &= 2 - 3 \\ &= -1\end{aligned}

$5 > -1$ ✓

Show the answer and the solution

$a - b$ גדול יותר, תמיד. מי שחשב ש- $-b$ שלילי בחר $a + b$ .

Do the activity on elev

כשנתקעים בשאלה כזו, הציבו מספרים משלכם — למשל $a = 2$ ו- $b = -3$ . אם התוצאה עדיין מותירה שתי אפשרויות, הציבו זוג שני. שני זוגות שנותנים סדר שונה מוכיחים ש״לא ניתן לדעת״.

$b$ שלילי. מי גדול יותר — $b^{2}$ או $b$ ?

Show the answer and the solution

$b^{2}$ , תמיד. ריבוע של מספר שלילי הוא חיובי, וכל חיובי גדול מכל שלילי. עם $b = -3$ : $b^{2} = 9$ ו- $b = -3$ .

הציר קובע מי גדול

ארבע פעולות, שני כללי סימן

כפל שמקטין, וחילוק שמגדיל

שאלות ״מי הגדול״ בלי מספרים

Keep practising on elev