לפני כל נוסחה — סיפור. בקבוצה ארבעה חברים, ולכל אחד מספר שונה של סוכריות. הם החליטו שלא יפה שלאחד יש הרבה ולאחר מעט, ושכדאי שלכולם יהיה אותו מספר.
איך עושים את זה? פשוט מאוד: מי שיש לו הכי הרבה נותן סוכרייה אחת למי שיש לו הכי מעט. ואז שוב. ושוב — עד שלכולם יהיה שווה.
המספר שכולם הגיעו אליו בסוף — זה בדיוק הממוצע. ממוצע הוא כמה היה לכל אחד אילו חילקנו שווה בשווה, ולא «איזה מספר באמצע».
שימו לב לדבר החשוב ביותר בכל האנימציה: הסך הכול לא השתנה אף פעם. בהתחלה היו 20 סוכריות ובסוף היו 20. רק החלוקה השתנתה — ולכן אפשר גם פשוט לחבר הכול ולחלק.
ממוצע = הסכום של הכול לחלק למספר הפריטים
ארבעה חברים ולהם 8, 2, 4 ו-6 סוכריות. מהו הממוצע — בלי להעביר סוכריות?
Show the answer and the solution
5. מחברים: . מחלקים בארבעה: . בדיוק המספר שהאנימציה הגיעה אליו.
ממוצע עונה על שאלה אחת: אילו היינו מאחדים הכול ומחלקים שווה בשווה — כמה היה מקבל כל אחד?
ממוצע = סכום כל המספרים : כמה מספרים יש
כלומר: מחברים את כל המספרים, ואז מחלקים בכמה מספרים היו. שתי פעולות, בסדר הזה.
חישוב בסיסי
ציוני תלמיד: 80, 90, 70, 100. מהו הממוצע?
הסכום
מחלקים במספר הציונים
בדיקת היגיון מיידית: הממוצע תמיד נמצא בין הקטן לגדול. אם יצא מחוץ לתחום — יש טעות חשבון, בלי לבדוק כלום נוסף.
ממוצע מטבלת שכיחויות
כשערך חוזר כמה פעמים, לא כותבים אותו שוב ושוב — כופלים בשכיחות שלו.
עם שכיחויות
שלושה תלמידים קיבלו 80, ושניים קיבלו 90. מהו הממוצע?
שלוש פעמים 80
ופעמיים 90
הסכום הכולל
מחלקים במספר התלמידים, לא במספר הציונים השונים
שימו לב למכנה: הוא 5, לא 2. מחלקים בכמות הנתונים הכוללת, ולא בכמה ערכים שונים יש. זו הטעות הנפוצה ביותר בפרק.
ערכים קיצוניים
הממוצע רגיש מאוד לערך יחיד חריג. אם בחבורה של חמישה אנשים אחד מרוויח פי מאה מכולם — הממוצע יקפוץ ולא יתאר אף אחד מהם.
כשמוסיפים נתון
ערך חדש גדול מהממוצע — הממוצע יעלה.
ערך קטן ממנו — הממוצע ירד.
ערך שווה לו — הממוצע לא ישתנה בכלל.
אפשר לענות על שאלות כאלה בלי לחשב כלום — רק להשוות את הערך החדש לממוצע הקיים.
שתי הטעויות של הממוצע.
עם שכיחויות חייבים לכפול. שלושה תלמידים מושכים את הממוצע לכיוון 80.
שני מדדים שונים. הממוצע מושפע מכל ערך; החציון רק מהמיקום.
ומה קורה כשלמישהו יש אפס
זה המקרה שהכי מבלבל, ולכן שווה לעצור עליו. לשלושה חברים יש כסף: לראשון 100 ₪, לשני 50 ₪, ולשלישי אין כלום — אפס. מה הממוצע?
הרבה תלמידים אומרים: «יש רק שניים עם כסף, אז נחלק בשניים». וזו טעות. האפס הוא מקרה כמו כל מקרה אחר — הוא משתתף בחלוקה, ולכן גם נספר במכנה.
ל-3 חברים יש 100 ₪, 50 ₪ ו-0 ₪. מהו הממוצע?
Show the answer and the solution
50 ₪. מחברים: . ומחלקים ב-3 — לא בשניים! — כי יש שלושה חברים. .
הכלל: מחלקים במספר המקרים, לא במספר המקרים שאינם אפס. אם מישהו קיבל אפס, הוא עדיין נספר.
ולמה זה חשוב — הציונים של אליאור
אליאור הצליח יפה בשני המבחנים הראשונים: 100 ו-80. במבחן השלישי הוא לא הגיע, וקיבל 0. מה הממוצע שלו?
מהו הממוצע של אליאור?
Show the answer and the solution
60. , ולחלק ל-3 שווה 60. שני ציונים מצוינים, ומבחן אחד שלא נעשה — והממוצע צנח ל-60.
זה מסביר משהו שכדאי לדעת: ציון אחד של אפס מוריד את הממוצע הרבה יותר מציון נמוך. אם במקום 0 אליאור היה מקבל 30, הממוצע היה — עשר נקודות יותר, מציון אחד.
ומה היה הממוצע אילו אליאור היה נבחן רק בשני המבחנים הראשונים?
Show the answer and the solution
90. . ההבדל בין 90 ל-60 הוא כל ההבדל בין «לא נבחנתי» לבין «נבחנתי וקיבלתי אפס».
Exercises
Exercise 1
מהו הממוצע של 80, 90, 70 ו-100?
Show the answer and the solution
Answer: 85
Worked solution:
הסכום
מחלקים ב-4
הממוצע בין 70 ל-100 — בדיקת ההיגיון עברה.
Exercise 2
שלושה תלמידים קיבלו 80, ושניים קיבלו 90. מהו הממוצע?
Show the answer and the solution
Answer: 84
Worked solution:
עם השכיחות
וגם
מחלקים במספר התלמידים
המכנה הוא 5 — מספר התלמידים, לא מספר הציונים השונים.
Exercise 3
הממוצע הוא 85. מוסיפים ציון של 95. מה יקרה לממוצע?
Show the answer and the solution
Answer: D יעלה
Worked solution:
הערך החדש גדול מהממוצע
אפשר לענות בלי לחשב — רק להשוות לממוצע.
Exercise 4
הממוצע הוא 70. מוסיפים ציון של 70. מה יקרה?
Show the answer and the solution
Answer: B לא ישתנה
Worked solution:
שווה לממוצע
ערך ששווה לממוצע לא מזיז אותו לשום כיוון.
Exercise 5
ממוצע של 4 מספרים הוא 20. מהו סכומם?
Show the answer and the solution
Answer: 80
Worked solution:
הנוסחה הפוכה
מחשבים
ממוצע כפול הכמות מחזיר את הסכום.
Exercise 6
מדוע ערך חריג אחד משפיע כל כך על הממוצע?
Show the answer and the solution
Answer: C כי הוא נכנס לסכום ומושך אותו
Worked solution:
ולכן כל ערך משפיע
החציון, לעומת זאת, מסתכל רק על המיקום — ולכן חסין יותר.
Exercise 7
חמישה ילדים בני 8, 9, 10, 11 ו-12. מהו הגיל הממוצע?
Show the answer and the solution
Answer: 10
Worked solution:
האמצעי בדיוק — כי הגילים מסודרים בקפיצות שוות.
Exercise 8
בארבעה ימים ירדו 2, 0, 7 ו-3 מ״מ גשם. מהו הממוצע היומי?
Show the answer and the solution
Answer: 3
Worked solution:
האפס נספר! יום בלי גשם הוא עדיין יום — מחלקים ב-4, לא ב-3.
Exercise 9
הממוצע של 5, 5, 5, 5 הוא…
Show the answer and the solution
Answer: D 5
Worked solution:
כשכל הנתונים שווים — הממוצע הוא בדיוק הם.
Exercise 10
ממוצע של שני מספרים הוא 14. אחד מהם 10. מהו השני?
Show the answer and the solution
Answer: 18
Worked solution:
הסכום
מהממוצע אל הסכום — ומשם אל החסר.
Exercise 11
התאימו כל מקרה למה שהוא אומר
Show the answer and the solution
Answer: — ערך חדש גדול מהממוצע — הממוצע יעלה. · — ערך קטן ממנו — הממוצע ירד. · — ערך שווה לו — הממוצע לא ישתנה בכלל.
Worked solution:
כל זוג כאן הופיע בשיעור — ההתאמה היא בדיוק מה שהטבלה הראתה.