במחסן יש כמות מסוימת של חיטה. כל משאית מעמיסה אותו מספר טונות. הועמסו כמה משאיות. כמה חיטה נשארה במחסן?
אין כאן אף מספר, ובכל זאת אפשר לענות תשובה מלאה: «כופלים את מספר הטונות שכל משאית מעמיסה במספר המשאיות, ומחסרים את התוצאה מכל החיטה שהייתה». זו תוכנית הפתרון — ובלעדיה, גם עם מספרים, אין פתרון.
למה לוותר על המספרים דווקא
כי הם מפתים לחשב מוקדם מדי. כשמופיעים 102 ו-36, היד כותבת חיסור עוד לפני שהראש קרא את השאלה. בלי מספרים אין מה לחשב — נשאר רק המבנה, וזה בדיוק מה שצריך לתרגל.
ארבע מילים שמסגירות את הפעולה
יחד, בסך הכול, הצטרפו — מחברים
נשאר, ההפרש, בכמה יותר — מחסרים
בכל אחד, פי, כל אחד קיבל — כופלים
מחלקים שווה בשווה, לכל אחד, כמה קבוצות — מחלקים
המילים עוזרות, והן לא כלל. «נשאר» יכול להוביל גם לחילוק, ו«יחד» יכול להוביל לכפל. התוכנית נבנית מהסיפור, לא מהמילה.
תוכנית לשאלה רב-שלבית
«כמה אנשים ישבו סביב כל שולחן עגול?»
במסיבה השתתפו הורים וילדים. חלקם תלמידים, והם ישבו סביב שולחנות ארוכים. השאר ישבו סביב כמה שולחנות עגולים.
כמה אנשים ישבו סביב השולחנות העגולים — מחסרים את התלמידים מכלל המשתתפים
כמה סביב כל שולחן — מחלקים את התוצאה במספר השולחנות העגולים
שימו לב: שלב 2 לא יכול לקרות לפני שלב 1. זה המבנה של כל שאלה רב-שלבית — תוצאת הביניים היא הנתון של השלב הבא.
על המדף הראשון 2 ספרים פחות מאשר על השני, על השני 3 יותר מאשר על השלישי, ועל השלישי 4 יותר מאשר על הרביעי. מאיזה מדף מתחילים?
Show the answer and the solution
מהרביעי. הוא היחיד שאפשר לדעת עליו משהו בלי משהו אחר. כל שאר המדפים מוגדרים ביחס למישהו — ולכן מתחילים מהיחיד שעומד לבדו, ומטפסים אחורה.
ובדיקת סבירות בסוף
כשהתוכנית מוכנה והחשבון נעשה, נשאר צעד אחד: לשאול אם המספר הגיוני. 2.5 ילדים, מחיר שלילי, או תוצאה גדולה מהכמות שהייתה — כל אלה אומרים שהתוכנית הייתה שגויה, ולא החשבון.
שתי הטעויות של שאלה מילולית.
שני מספרים בשאלה אינם אומרים שצריך לצרף אותם. לפעמים אחד מהם אינו נחוץ בכלל.
בשאלה רב-שלבית קל לעצור באמצע ולמסור את תוצאת הביניים. חוזרים לשאלה וקוראים מה היא ביקשה.
Exercises
להכיר
Exercise 1
«בכל ארגז 8 בקבוקים, והביאו 5 ארגזים.» איזו פעולה?
Show the answer and the solution
Answer: A כפל
Worked solution:
אותה כמות שחוזרת
כפל — «בכל ארגז» מסגיר כמות חוזרת.
Exercise 2
«חילקו 24 עוגיות שווה בשווה בין 6 ילדים.» איזו פעולה?
Show the answer and the solution
Answer: A חילוק
Worked solution:
שווה בשווה
חילוק.
Exercise 3
מיינו כל ביטוי לפעולה שהוא מרמז עליה
Show the answer and the solution
Answer: בכל קופסה… — כפל · לכל ילד בשווה… — חילוק · פי שלושה… — כפל · לכמה קבוצות אפשר לחלק… — חילוק
Worked solution:
כמות שחוזרת
וחלוקה
«בכל» ו«פי» מרמזים על כפל; «שווה בשווה» ו«לכמה קבוצות» — על חילוק.
להתאמן
Exercise 4
סדרו את תוכנית הפתרון: «במסיבה היו משתתפים, חלקם תלמידים. השאר ישבו סביב שולחנות עגולים. כמה ישבו סביב כל שולחן?»
Show the answer and the solution
Answer: קוראים את השאלה עד הסוף · מחסרים את התלמידים מכלל המשתתפים · מחלקים את התוצאה במספר השולחנות · בודקים שהתשובה הגיונית
Worked solution:
מחסרים את התלמידים מכלל המשתתפים
ומחלקים את התוצאה במספר השולחנות
תוצאת הביניים של שלב אחד היא הנתון של הבא.
Exercise 5
«במחסן כמות חיטה. כל משאית מעמיסה אותו מספר טונות. הועמסו כמה משאיות. כמה נשאר?»
Show the answer and the solution
Answer: C כופלים טונות במשאיות, ומחסרים מכמות החיטה
Worked solution:
כמה הועמס בסך הכול
ורק אז מה נשאר
קודם כמה הועמס בסך הכול, ורק אז מה נשאר.
Exercise 6
אם בשאלה מופיעים שלושה מספרים, חייבים להשתמש בכולם
Show the answer and the solution
Answer: False
Worked solution:
נתון יכול להיות מיותר
לא. יש שאלות שבהן נתון אחד אינו נחוץ, והוא שם כדי לבדוק שקוראים.
Exercise 7
על המדף הרביעי 5 ספרים. על השלישי 4 יותר. כמה על השלישי?
Show the answer and the solution
Answer: 9
Worked solution:
מטפסים אחורה מהמדף הידוע
9 ספרים.
Exercise 8
המשך: על המדף השני 3 יותר מהשלישי, ועל הראשון 2 פחות מהשני. כמה ספרים על הראשון?
Show the answer and the solution
Answer: 10
Worked solution:
המדף השני
והראשון
10 ספרים — ארבעה שלבים, כל אחד נשען על הקודם.
לשחק ולבדוק
Exercise 9
תלמיד חישב שבכיתה יש 2.5 תלמידים. מה המסקנה?
Show the answer and the solution
Answer: D התוכנית שגויה — כנראה חילקו במספר הלא נכון
Worked solution:
מספר שבור לדבר שנספר בשלמים — טעות במבנה
בדיקת סבירות: תלמידים נספרים בשלמים. מספר שבור מסגיר טעות במבנה, לא בחשבון.
Exercise 10
«לדני 3 פעמים יותר גולות מאשר ליוסי, ולשניהם יחד 40.» מה שלב 1 בתוכנית?
Show the answer and the solution
Answer: C לחשב כמה חלקים שווים יש בסך הכול
Worked solution:
חלק אחד ליוסי, שלושה לדני
סופרים את החלקים לפני שמחלקים — ארבעה חלקים, ולכן ליוסי.