When the three coincide

On elev, this lesson comes with a video, exercises checked instantly and progress tracking.

Practise on elev
Watch the lesson video

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

שלושתם יוצאים מאותה נקודה — ובדרך כלל נופלים בשלושה מקומות שונים על הבסיס.

יש מקרה אחד שבו שלושתם מתלכדים לקטע אחד: במשולש שווה שוקיים, מקודקוד הראש אל הבסיס.

שווה שוקיים⟶תיכון=גובה=חוצה זווית\begin{aligned}\text{שווה שוקיים} \quad \longrightarrow\quad \text{תיכון} &= \text{גובה} \\ &= \text{חוצה זווית}\end{aligned}

במשולש כלשהו, חוצה הזווית מקודקוד AA פוגע בבסיס. האם הוא בהכרח באמצע?

Show the answer and the solution

לא. רק אם המשולש שווה שוקיים ו-AA הוא קודקוד הראש. בכל מקרה אחר — הוא נופל במקום אחר מהאמצע.

הכיוון שאסור להפוך.

בכל משולש: תיכון=גובה\text{בכל משולש: תיכון} = \text{גובה}
רק בשווה שוקיים, ורק לבסיס\text{רק בשווה שוקיים, ורק לבסיס}

זהו מקרה מיוחד, לא כלל כללי. במשולש רגיל הם קטעים שונים — וגם בשווה שוקיים ההתלכדות נכונה רק לגבי הבסיס, לא לגבי השוקיים.

שני קטעים שמתלכדים

וזה עובד גם בכיוון ההפוך: אם שניים מהקטעים מאותו קודקוד מתלכדים, המשולש בהכרח שווה שוקיים.

נתון משולש שבו הגובה מקודקוד AA הוא גם תיכון. מה אפשר להסיק?

Show the answer and the solution

שהמשולש שווה שוקיים, ו-AA הוא קודקוד הראש. שני קטעים שמתלכדים — זה מספיק כדי להסיק.

ובמשולש שווה צלעות זה קורה מכל שלושת הקודקודים, כי הוא שווה שוקיים משלוש דרכים בבת אחת.

בגלל זה שווה השוקיים כל כך שימושי בהוכחות: מספיק לדעת אחד מהשלושה, ושני האחרים באים במתנה.

זו אחת הטעויות הידועות ביותר בגאומטריה: להניח שחוצה זווית הוא גם תיכון. הוא לא — אלא אם כן נתון שהמשולש שווה שוקיים, ואת זה צריך להוכיח, לא להסתכל בציור.

ומדוע אסור להסיק את זה מהציור בלבד?

Show the answer and the solution

כי ציור אינו הוכחה. שתי נקודות שנראות באותו מקום יכולות להיות במרחק קטן זו מזו — ובגאומטריה מסיקים מהנתונים, לא מהעין.

שלוש הטעויות של הקטעים המיוחדים.

חוצה זווית=תיכון\text{חוצה זווית} = \text{תיכון}
רק בשווה שוקיים, מקודקוד הראש\text{רק בשווה שוקיים, מקודקוד הראש}

ההנחה הזאת שוברת הוכחות שלמות. תמיד לבדוק מה נתון.

הגובה תמיד בתוך המשולש\text{הגובה תמיד בתוך המשולש}
במשולש קהה זווית הוא בחוץ\text{במשולש קהה זווית הוא בחוץ}

הגובה יוצא אל המשך הבסיס. זה עדיין גובה.

נראה שווה בציור⇒שווה\text{נראה שווה בציור} \Rightarrow \text{שווה}
צריך נתון או הוכחה\text{צריך נתון או הוכחה}

הציור עוזר לחשוב, ואינו קובע דבר.

שלושה קווים, נקודה אחת

עד עכשיו הסתכלנו על קודקוד אחד. עכשיו נשרטט את אותו סוג קטע מכל שלושת הקודקודים.

שרטטתם שני תיכונים, והם נחתכים ב-GG. צריך את השלישי כדי למצוא את GG?

Show the answer and the solution

לא. השלישי עובר תמיד באותה נקודה, ולכן שניים מספיקים.

GG

שלושת התיכונים נפגשים בנקודה אחת, שמחלקת כל תיכון ביחס 2:12 : 1 מהקודקוד.

II

שלושת חוצי הזווית נפגשים בנקודה אחת: מרכז המעגל החסום במשולש.

HH

שלושת הגבהים, או ההמשכים שלהם, נפגשים בנקודה אחת. במשולש קהה-זווית היא מחוץ למשולש.

AG=2⋅GMAG = 2 \cdot GM

התיכון AMAM ארוך 1212. כמה מ-AA עד נקודת המפגש GG?

Show the answer and the solution

8. שני שלישים מ-12. ומ-GG עד MM נשארים 4.

איזה חלק ארוך יותר?

AG=13 AMAG = \frac{1}{3} \, AM
AG=23 AMAG = \frac{2}{3} \, AM

החלק הארוך הוא זה שליד הקודקוד. GG קרוב יותר לאמצע הצלע.

Exercises

Exercise 1

במשולש כלשהו — האם חוצה הזווית הוא בהכרח גם תיכון?

  1. לא
  2. כן, תמיד
  3. רק אם הוא גדול
  4. רק במשולש ישר זווית
Show the answer and the solution

Answer: A לא

Worked solution:

שלוש נקודות שונות\text{שלוש נקודות שונות}

במקרה הכללי

זו אחת הטעויות הידועות ביותר בגאומטריה. רק בשווה שוקיים, מקודקוד הראש.

Check the answer on elev

Exercise 2

במשולש, הגובה מקודקוד AA הוא גם תיכון. מה נובע?

  1. לא נובע דבר
  2. המשולש שווה צלעות
  3. המשולש ישר זווית
  4. המשולש שווה שוקיים ו-AA קודקוד הראש
Show the answer and the solution

Answer: D המשולש שווה שוקיים ו-AA קודקוד הראש

Worked solution:

שני קטעים מתלכדים\text{שני קטעים מתלכדים}

זה מספיק — וזה עובד בשני הכיוונים.

Check the answer on elev

Exercise 3

בכמה מקרים מתוך שלושת קודקודי משולש שווה צלעות מתלכדים שלושת הקטעים?

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

33

מכל קודקוד

הוא שווה שוקיים משלוש דרכים בבת אחת.

Check the answer on elev

Exercise 4

איפה נמצא הגובה במשולש קהה זווית?

  1. תמיד בתוך המשולש
  2. לפעמים מחוץ למשולש, אל המשך הבסיס
  3. תמיד על הצלע
  4. אין לו גובה
Show the answer and the solution

Answer: B לפעמים מחוץ למשולש, אל המשך הבסיס

Worked solution:

⊥\perp

אל המשך הבסיס

זה עדיין גובה — ההגדרה היא מאונך, לא «בפנים».

Check the answer on elev

Exercise 5

שתי נקודות נראות באותו מקום בציור. מה מותר להסיק?

  1. שהמשולש שווה שוקיים
  2. שהציור שגוי
  3. כלום
  4. שהן שוות
Show the answer and the solution

Answer: C כלום

Worked solution:

ציור אינו הוכחה\text{ציור אינו הוכחה}

הציור עוזר לחשוב, ואינו קובע. צריך נתון או הוכחה.

Check the answer on elev

Exercise 6

במשולש כלשהו, חוצה הזווית הוא גם תיכון.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

שלוש נקודות שונות\text{שלוש נקודות שונות}

במקרה הכללי

זו אחת הטעויות הידועות ביותר בגאומטריה.

Check the answer on elev

Exercise 7

סכום הזוויות בכל משולש שווה ל-180 מעלות.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

180°180°

זה נכון לכל משולש: חד, ישר או קהה זווית.

Check the answer on elev

Exercise 8

הגובה במשולש נמצא תמיד בתוך המשולש.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

⊥\perp

ההגדרה היא מאונך, לא «בפנים»

Check the answer on elev

Exercise 9

שלושת התיכונים נפגשים בנקודה אחת. התיכון 12 — כמה מהקודקוד עד המפגש?

Show the answer and the solution

Answer: 8

Worked solution:

12×23=812 \times \frac{2}{3} = 8

נקודת המפגש מחלקת 2:1

AG=8AG = 8: החלק הארוך, שני שלישים מהתיכון.

Check the answer on elev

Exercise 10

שלושת התיכונים נפגשים ב-GG, והתיכון AMAM ארוך 1212. מה המרחק מ-GG עד אמצע הצלע, MM?

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

12:3=412 : 3 = 4

השליש הקצר

GM=4GM = 4: השליש הקצר. יחד עם AG=8AG = 8 מקבלים 1212.

Check the answer on elev

Exercise 11

ABCM
MM הוא אמצע הבסיס — זו הגדרת התיכון.

במשולש שווה-שוקיים ABCABC (AB=ACAB = AC) מעבירים את התיכון AMAM אל הבסיס. הוכיחו: AM⊥BCAM \perp BC — התיכון הוא גם גובה.

  • AB=ACAB = AC
  • AMAM תיכון: BM=MCBM = MC

AM⊥BCAM \perp BC

Show the answer and the solution
  1. AB=ACAB = AC — נתון
  2. BM=MCBM = MC — נתון — AMAM תיכון
  3. AM=AMAM = AM — צלע משותפת
  4. △ABM≅△ACM\triangle ABM \cong \triangle ACM — צ.צ.צ — שלוש צלעות שוות בהתאמה
  5. ∠AMB=∠AMC\angle AMB = \angle AMC — זוויות מתאימות במשולשים חופפים
  6. ∠AMB+∠AMC=180°\angle AMB + \angle AMC = 180° — זוויות צמודות על הישר BCBC
  7. ∠AMB=90°\angle AMB = 90° — שתי זוויות שוות שסכומן 180°180°
  8. AM⊥BCAM \perp BC — זווית ישרה היא בדיוק מאונכות
Check the answer on elev

Exercise 12

GG היא נקודת המפגש של התיכונים במשולש ABCABC, ו-AG=14AG = 14. מה אורך התיכון AMAM?

Show the answer and the solution

Answer: 21

Worked solution:

AG:GM=2:1AG : GM = 2 : 1
GM=14:2=7\begin{aligned}GM &= 14 : 2 \\ &= 7\end{aligned}
AM=14+7=21\begin{aligned}AM &= 14 + 7 \\ &= 21\end{aligned}

AM=21AM = 21. AGAG הוא שני שלישים מהתיכון, לא כולו.

Check the answer on elev

Exercise 13

התאימו כל שלישייה לנקודת המפגש שלה.

  • שלושת התיכונים
  • שלושת חוצי הזווית
  • שלושת הגבהים
  • יכולה להיות מחוץ למשולש
  • מחלקת כל אחד ביחס 2 : 1
  • מרכז המעגל החסום
Show the answer and the solution

Answer: שלושת התיכונים — מחלקת כל אחד ביחס 2 : 1 · שלושת חוצי הזווית — מרכז המעגל החסום · שלושת הגבהים — יכולה להיות מחוץ למשולש

Worked solution:

GIHG \quad I \quad H

לכל משפחה נקודת מפגש משלה, ולכל נקודה תכונה משלה.

Check the answer on elev

Exercise 14

במשולש ישר-זווית ABCABC (∠B=90°\angle B = 90°), היכן נפגשים שלושת הגבהים?

  1. במרכז המשולש
  2. בקודקוד BB
  3. מחוץ למשולש
  4. באמצע היתר ACAC
Show the answer and the solution

Answer: B בקודקוד BB

Worked solution:

AB⊥BCAB \perp BC

הניצב ABAB הוא הגובה מ-AA, והניצב CBCB הוא הגובה מ-CC

H=BH = B

שם הם נפגשים

בקודקוד BB. כל ניצב הוא גם גובה, והם נפגשים בזווית הישרה.

Check the answer on elev

Exercise 15

במשולש קהה-זווית שלושת הגבהים נפגשים בתוך המשולש.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

∠B>90°\angle B > 90°

הגבהים מ-AA ומ-CC בחוץ

בקהה-זווית שני גבהים יוצאים החוצה, אל המשכי הצלעות.

Check the answer on elev

Exercise 16

GG היא נקודת המפגש של התיכונים, והתיכון AMAM ארוך 2727. מה אורך GMGM?

Show the answer and the solution

Answer: 9

Worked solution:

GM=13⋅27=9\begin{aligned}GM &= \frac{1}{3} \cdot 27 \\ &= 9\end{aligned}

GM=9GM = 9: השליש הקצר, ליד אמצע הצלע. AG=18AG = 18.

Check the answer on elev

Exercise 17

נקודת המפגש של שלושת חוצי הזווית נמצאת תמיד בתוך המשולש.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

II

מרכז המעגל החסום

לעומת הגבהים, שיכולים להיפגש בחוץ.

Check the answer on elev

Exercise 18

GG נקודת המפגש של התיכונים, ו-AM=18AM = 18. שורה אחת שגויה — מצאו אותה.

AM=18AM = 18
AG:GM=1:2AG : GM = 1 : 2
AG=6AG = 6
Show the answer and the solution

Answer: AG:GM=1:2AG : GM = 1 : 2 → AG:GM=2:1AG : GM = 2 : 1

Worked solution:

AG=23⋅18=12\begin{aligned}AG &= \frac{2}{3} \cdot 18 \\ &= 12\end{aligned}

החלק הארוך ליד הקודקוד: AG=12AG = 12 ו-GM=6GM = 6.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade