What are congruent triangles?

On elev, this lesson comes with a video, exercises checked instantly and progress tracking.

Practise on elev
Watch the lesson video

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

בגאומטריה אומרים על שתי צורות שהן חופפות אם אפשר להניח אחת על השנייה כך שיתכסו בדיוק — בלי חלק שבולט החוצה ובלי חלק שנשאר גלוי. לפני כל הגדרה, בואו נראה את זה.

המשולש השני היה מסובב. האם זה משנה משהו לשאלה אם הוא חופף לראשון?

Show the answer and the solution

לא. מותר להזיז, לסובב ואפילו להפוך את המשולש, כמו שהופכים דף. המקום והכיוון בדף לא משנים דבר — משנים רק האורכים והזוויות.

ההגדרה

משולשים חופפים הם משולשים שאפשר להניח זה על זה כך שיתלכדו. בשני משולשים חופפים שלוש הצלעות שוות בהתאמה, ושלוש הזוויות שוות בהתאמה.

המילה בהתאמה היא העיקר. היא אומרת שלכל צלע במשולש אחד יש בת־זוג אחת במשולש השני: הצלע שנחה עליה כשהנחנו את המשולשים זה על זה. צלעות כאלה נקראות צלעות מתאימות, וזוויות כאלה נקראות זוויות מתאימות.

איך מסמנים את זה בשרטוט

במחברת לא גוזרים משולשים. במקום זה מסמנים על השרטוט מה שווה למה: צלעות שוות מקבלות אותו מספר קווים קטנים, וזוויות שוות מקבלות אותו מספר קשתות.

ABCDEF
קו אחד מול קו אחד, שני קווים מול שני קווים, שלושה מול שלושה — וכך גם הקשתות. כל הסימנים יחד אומרים: △ABC≅△DEF\triangle ABC \cong \triangle DEF.

בשרטוט שלמעלה, איזו צלע במשולש DEFDEF שווה ל-BCBC? ואיזו זווית שווה ל-∠C\angle C?

Show the answer and the solution

ל-BCBC יש שני קווים, וגם ל-EFEF — לכן BC=EFBC = EF. ב-∠C\angle C יש שלוש קשתות, וגם ב-∠F\angle F — לכן ∠C=∠F\angle C = \angle F.

חפיפה אחת — שישה שוויונות

כשיודעים ששני משולשים חופפים, מקבלים מיד שישה שוויונות: שלוש של צלעות ושלוש של זוויות. זה מה שהופך את החפיפה לכלי חזק כל כך: מוכיחים פעם אחת שהמשולשים חופפים — ומקבלים את כל השאר במתנה.

AB=DEAB = DE

צלע מול צלע

BC=EFBC = EF

צלע מול צלע

CA=FDCA = FD

צלע מול צלע

∠A=∠D\angle A = \angle D

זווית מול זווית

∠B=∠E\angle B = \angle E

זווית מול זווית

∠C=∠F\angle C = \angle F

זווית מול זווית

ומה אינו חפיפה

שני משולשים עם אותה צורה אבל גודל שונה אינם חופפים. חשבו על תמונה ועל ההגדלה שלה: כל הזוויות שוות, אבל הצלעות לא — התמונה הגדולה לא תיכנס בתוך הקטנה. (למשולשים כאלה קוראים דומים, ונלמד עליהם בהמשך השנה.)

הטעות הנפוצה ביותר בהגדרה.

רק זוויות שוות  ⇒  חופפים\text{רק זוויות שוות} \;\Rightarrow\; \text{חופפים}
זוויות וצלעות שוות  ⇒  חופפים\text{זוויות וצלעות שוות} \;\Rightarrow\; \text{חופפים}

זוויות שוות קובעות רק את הצורה. משולש קטן ומשולש גדול יכולים להיות עם אותן זוויות בדיוק.

שני משולשים שווי צלעות: לאחד צלע של 3 ס״מ, ולשני צלע של 5 ס״מ. האם הם חופפים?

Show the answer and the solution

לא. כל הזוויות של שניהם הן 60∘60^\circ, אבל הצלעות שונות. הגדול לא ייכנס בתוך הקטן.

מה יבוא בהמשך הפרק

כדי להוכיח ששני משולשים חופפים, האם צריך לבדוק את כל ששת השוויונות? מתברר שלא: שלושה נתונים נכונים מספיקים. אלה משפטי החפיפה: צ.צ.צ, צ.ז.צ ו-ז.צ.ז — לכל אחד מהם יחידה משלו — ומשפט רביעי, צ.צ.ז, שנלמד ביחידה של צ.ז.צ. אבל קודם נלמד איך כותבים חפיפה, כי סדר הכתיבה הוא חצי מהעבודה.

Exercises

Exercise 1

מה פירוש «שני משולשים חופפים»?

  1. אפשר להניח אחד על השני כך שיתכסו בדיוק
  2. יש להם אותה צורה, אבל הגודל יכול להיות שונה
  3. יש להם צלע משותפת
  4. יש להם אותו שטח
Show the answer and the solution

Answer: A אפשר להניח אחד על השני כך שיתכסו בדיוק

Worked solution:

כיסוי מדויק  ⇒  חופפים\text{כיסוי מדויק} \;\Rightarrow\; \text{חופפים}

כל הצלעות וכל הזוויות שוות בהתאמה

חפיפה היא כיסוי מדויק: כל הצלעות וכל הזוויות שוות בהתאמה. אותה צורה בגודל אחר — זה דמיון, לא חפיפה.

Check the answer on elev

Exercise 2

אם שני משולשים חופפים, אז כל זווית במשולש אחד שווה לזווית המתאימה לה במשולש השני.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

△ABC≅△DEF  ⇒  ∠A=∠D ∠B=∠E ∠C=∠F\begin{aligned}\triangle ABC \cong \triangle DEF \;\Rightarrow\; \angle A &= \angle D \\ \ \angle B &= \angle E \\ \ \angle C &= \angle F\end{aligned}

זוויות מתאימות

כשמניחים את המשולשים זה על זה, כל זווית נחה על הזווית המתאימה לה — ולכן הן שוות.

Check the answer on elev

Exercise 3

אם לשני משולשים יש אותן שלוש זוויות, הם בהכרח חופפים.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

60∘, 60∘, 60∘60^\circ,\ 60^\circ,\ 60^\circ

בשני המשולשים

2≠92 \neq 9

אבל הצלעות שונות

אותן זוויות קובעות רק את הצורה. משולש שווה צלעות עם צלע 2 ומשולש שווה צלעות עם צלע 9 — אותן זוויות, וגודל שונה לגמרי.

Check the answer on elev

Exercise 4

ABCDEF
המשולש DEFDEF הוא המשולש ABCABC אחרי סיבוב.

המשולש DEFDEF בשרטוט הוא המשולש ABCABC אחרי שסובבו אותו. המשולשים חופפים.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

סיבוב  ⇒  אותם אורכים ואותן זוויות\text{סיבוב} \;\Rightarrow\; \text{אותם אורכים ואותן זוויות}

סיבוב לא משנה מידות

סיבוב לא משנה אף אורך ואף זווית. אם נסובב את DEFDEF בחזרה, הוא יכסה את ABCABC בדיוק.

Check the answer on elev

Exercise 5

אם שני משולשים חופפים, יש להם אותו היקף.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

AB+BC+CA=DE+EF+FDAB+BC+CA = DE+EF+FD

מחברים שלושה שוויונות

שלוש הצלעות שוות בהתאמה, ולכן גם הסכום שלהן — ההיקף — שווה.

Check the answer on elev

Exercise 6

אם לשני משולשים יש אותו שטח, הם בהכרח חופפים.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

6⋅22=64⋅32=6\begin{aligned}\frac{6 \cdot 2}{2} &= 6 \quad \\ \quad \frac{4 \cdot 3}{2} &= 6\end{aligned}

אותו שטח

6≠46 \neq 4

אבל הבסיסים שונים

משולש עם בסיס 6 וגובה 2, ומשולש עם בסיס 4 וגובה 3 — לשניהם שטח 6 סמ״ר, אבל הם שונים לגמרי.

Check the answer on elev

Exercise 7

ABCDEF
הסימנים מראים אילו צלעות מתאימות. AB=5AB = 5, BC=7BC = 7, CA=6CA = 6 ס״מ.

המשולשים בשרטוט חופפים, והסימנים מראים אילו צלעות מתאימות. AB=5AB = 5 ס״מ, BC=7BC = 7 ס״מ ו-CA=6CA = 6 ס״מ. מה אורך EFEF (בס״מ)?

Show the answer and the solution

Answer: 7

Worked solution:

EF=BCEF = BC

לשתיהן שני קווים

EF=7EF = 7

מחפשים את הסימן, לא את המקום בדף: ל-EFEF יש שני קווים, בדיוק כמו ל-BCBC.

Check the answer on elev

Exercise 8

ABCDEF
הקשתות מראות אילו זוויות מתאימות. ∠A=50∘\angle A = 50^\circ, ∠B=70∘\angle B = 70^\circ.

המשולשים בשרטוט חופפים. ∠A=50∘\angle A = 50^\circ ו-∠B=70∘\angle B = 70^\circ. מה גודל ∠F\angle F (במעלות)?

Show the answer and the solution

Answer: 60

Worked solution:

∠C=180∘−50∘−70∘=60∘\begin{aligned}\angle C &= 180^\circ - 50^\circ - 70^\circ \\ &= 60^\circ\end{aligned}

סכום הזוויות במשולש

∠F=∠C=60∘\begin{aligned}\angle F &= \angle C \\ &= 60^\circ\end{aligned}

זוויות מתאימות

שני צעדים: קודם מוצאים את ∠C\angle C מסכום הזוויות, ואז רואים ש-∠F\angle F מתאימה לה — לשתיהן שלוש קשתות.

Check the answer on elev

Exercise 9

ABCDEF
המשולשים חופפים. הקשתות מראות אילו זוויות מתאימות.

המשולשים בשרטוט חופפים. איזו זווית במשולש ABCABC שווה ל-∠E\angle E?

  1. ∠C\angle C
  2. ∠A\angle A
  3. ∠B\angle B
  4. אי אפשר לדעת בלי מדידה
Show the answer and the solution

Answer: C ∠B\angle B

Worked solution:

∠E=∠B\angle E = \angle B

שתי קשתות מול שתי קשתות

ב-∠E\angle E יש שתי קשתות, וגם ב-∠B\angle B. המשולש DEFDEF הפוך, ולכן אי אפשר לסמוך על «איפה זה נמצא בציור» — רק על הסימנים.

Check the answer on elev

Exercise 10

לוקחים משולש ועושים לו פעולה אחת. אחרי איזו פעולה המשולש החדש אינו חופף למשולש המקורי?

  1. הגדלה של המשולש פי 2
  2. סיבוב של המשולש
  3. הזזה של המשולש ימינה
  4. היפוך של המשולש, כמו שהופכים דף
Show the answer and the solution

Answer: A הגדלה של המשולש פי 2

Worked solution:

הגדלה פי 2  ⇒  כל צלע גדלה פי 2\text{הגדלה פי } 2 \;\Rightarrow\; \text{כל צלע גדלה פי } 2

הצלעות כבר לא שוות

הזזה, סיבוב והיפוך שומרים על כל האורכים ועל כל הזוויות. הגדלה משנה את האורכים — הצורה נשארת, אבל המשולשים כבר לא חופפים.

Check the answer on elev

Exercise 11

שני משולשים חופפים. היקף הראשון הוא 24 ס״מ. מה היקף השני (בס״מ)?

Show the answer and the solution

Answer: 24

Worked solution:

2424

אותו היקף

שלוש הצלעות שוות בהתאמה, ולכן גם ההיקפים שווים.

Check the answer on elev

Exercise 12

ABCD
הריבוע ABCDABCD והאלכסון ACAC.

האלכסון ACAC מחלק את הריבוע ABCDABCD לשני משולשים. האם △ABC\triangle ABC ו-△CDA\triangle CDA חופפים?

  1. אי אפשר לדעת בלי למדוד
  2. כן — אם מסובבים אחד מהם חצי סיבוב, הוא מכסה את השני
  3. לא — המשולשים מצביעים לכיוונים שונים
  4. רק אם הריבוע גדול
Show the answer and the solution

Answer: B כן — אם מסובבים אחד מהם חצי סיבוב, הוא מכסה את השני

Worked solution:

AB=CD BC=DA CA=AC\begin{aligned}AB &= CD \\ \ BC &= DA \\ \ CA &= AC\end{aligned}

שלוש צלעות שוות בהתאמה

בריבוע כל הצלעות שוות וכל הזוויות ישרות. חצי סיבוב סביב מרכז הריבוע מעביר את AA ל-CC, את BB ל-DD ואת CC ל-AA — ולכן △ABC\triangle ABC נח בדיוק על △CDA\triangle CDA.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade