The order of the letters

On elev, this lesson comes with a video, exercises checked instantly and progress tracking.

Practise on elev
Watch the lesson video

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

ראינו שבשני משולשים חופפים יש לכל צלע בת־זוג ולכל זווית בת־זוג. עכשיו השאלה היא איך כותבים מי בת־הזוג של מי. והתשובה נמצאת כולה בסדר האותיות.

הסימן, וסדר האותיות

חפיפה נכתבת בסימן ≅\cong. אבל הדבר החשוב באמת אינו הסימן — אלא סדר האותיות.

△ABC≅△DEF\triangle ABC \cong \triangle DEF

הכתיבה הזאת אומרת הרבה יותר מ«שני המשולשים זהים». היא אומרת בדיוק מי מתאים למי: האות הראשונה לאות הראשונה, השנייה לשנייה, השלישית לשלישית.

A↔DA \leftrightarrow D

הקודקוד הראשון

B↔EB \leftrightarrow E

הקודקוד השני

C↔FC \leftrightarrow F

הקודקוד השלישי

סדר הכתיבה קובע. △ABC≅△DEF\triangle ABC \cong \triangle DEF ו-△ABC≅△EDF\triangle ABC \cong \triangle EDF הן שתי טענות שונות. הראשונה אומרת ש-AA מתאים ל-DD, והשנייה אומרת ש-AA מתאים ל-EE. בשרטוט מסוים, בדרך כלל רק אחת מהן נכונה.

זו מוסכמת כתיבה, לא חוק מתמטי — ומורים כמעט אף פעם לא עוצרים להסביר אותה, כי תלמיד שגדל בארץ פשוט קלט אותה. מי שלא קלט אותה יקרא כל תרגיל חפיפה לא נכון, גם אם הוא מבין גאומטריה מצוין.

איך מוצאים את הסדר הנכון

כשהמשולשים מסובבים או הפוכים בשרטוט, אל תסמכו על «איפה זה נמצא». עובדים לפי הסימנים, בשלושה צעדים:

11

בוחרים קודקוד במשולש הראשון, ומוצאים במשולש השני את הקודקוד עם אותו סימן זווית (אותו מספר קשתות).

22

עושים אותו דבר לקודקוד השני ולשלישי.

33

כותבים את שני השמות באותו סדר: הקודקוד הראשון מול בן־הזוג שלו, וכך הלאה.

ואם מסומנות רק צלעות? אז כל קודקוד מזוהה לפי שתי הצלעות שיוצאות ממנו: הקודקוד שבין הצלע עם קו אחד לצלע עם שני קווים מתאים לקודקוד שבין אותן שתי צלעות במשולש השני.

ששת השוויונות שנובעים מחפיפה אחת

מתוך שורה אחת של חפיפה אפשר לשלוף מיד שישה שוויונות — שלוש צלעות ושלוש זוויות. מרכיבים כל צלע משתי אותיות, לפי אותם מיקומים:

AB=DEAB = DE

הצלע שבין הקודקוד הראשון לשני

BC=EFBC = EF

בין השני לשלישי

AC=DFAC = DF

בין הראשון לשלישי

∠A=∠D\angle A = \angle D

זווית מול זווית

∠B=∠E\angle B = \angle E

לפי אותו סדר

∠C=∠F\angle C = \angle F

ותמיד לפי המיקום, לא לפי הצורה בשרטוט

הטעות שמפילה את כל התרגיל, ואינה קשורה לגאומטריה בכלל.

△MOS≅△BAR⇒MO=AR\triangle MOS \cong \triangle BAR \quad \Rightarrow\quad MO = AR
△MOS≅△BAR⇒MO=BA\triangle MOS \cong \triangle BAR \quad \Rightarrow\quad MO = BA

סופרים לפי המיקום באותיות: MM ראשון ו-BB ראשון, OO שני ו-AA שני. אסור להתאים לפי דמיון בין האותיות או לפי איך שהמשולש נראה בציור.

מה מותר לשנות בכתיבה

מותר לסדר את האותיות מחדש — בתנאי שעושים אותו שינוי בשני הצדדים. שלוש השורות האלה אומרות בדיוק אותו דבר, כי בכולן A↔DA \leftrightarrow D, B↔EB \leftrightarrow E ו-C↔FC \leftrightarrow F:

△ABC≅△DEF\triangle ABC \cong \triangle DEF
△BCA≅△EFD\triangle BCA \cong \triangle EFD
△DEF≅△ABC\triangle DEF \cong \triangle ABC

מה שאסור הוא לשנות את הסדר רק בצד אחד: △ABC≅△EFD\triangle ABC \cong \triangle EFD כבר אומרת ש-AA מתאים ל-EE — וזו טענה אחרת.

נתון △KLM≅△XYZ\triangle KLM \cong \triangle XYZ. איזו זווית שווה ל-∠L\angle L?

Show the answer and the solution

∠Y\angle Y. האות LL היא השנייה בשם הראשון, ו-YY היא השנייה בשם השני.

האם △ABC≅△DEF\triangle ABC \cong \triangle DEF ו-△CAB≅△FDE\triangle CAB \cong \triangle FDE אומרות אותו דבר?

Show the answer and the solution

כן. בשתיהן A↔DA \leftrightarrow D, B↔EB \leftrightarrow E, C↔FC \leftrightarrow F — הסדר הוזז באותו אופן בשני הצדדים.

Exercises

Exercise 1

נתון שהמשולשים חופפים. לאיזו צלע שווה הצלע MOMO?

△MOS≅△BAR\triangle MOS \cong \triangle BAR
  1. BRBR
  2. RBRB
  3. ARAR
  4. BABA
Show the answer and the solution

Answer: D BABA

Worked solution:

M↔B,O↔AM \leftrightarrow B \quad ,\quad O \leftrightarrow A

מתאימים כל אות לפי מיקומה

MO=BAMO = BA

ולכן הצלעות שוות

M הוא הקודקוד הראשון ו-O הקודקוד השני — אז מחפשים את אותם מיקומים במשולש השני.

Check the answer on elev

Exercise 2

נתון שהמשולשים חופפים. לאיזו זווית שווה הזווית ∠O\angle O?

△MOS≅△BAR\triangle MOS \cong \triangle BAR
  1. ∠A\angle A
  2. ∠O\angle O
  3. ∠B\angle B
  4. ∠R\angle R
Show the answer and the solution

Answer: A ∠A\angle A

Worked solution:

O↔AO \leftrightarrow A

שניהם הקודקוד השני

בזוויות זה עוד יותר פשוט: אות אחת מול אות אחת, לפי המיקום בלבד.

Check the answer on elev

Exercise 3

נתון שהמשולשים חופפים. לאיזו צלע שווה הצלע MGMG?

△PMG≅△SKR\triangle PMG \cong \triangle SKR
  1. KSKS
  2. KRKR
  3. RSRS
  4. SKSK
Show the answer and the solution

Answer: B KRKR

Worked solution:

M↔K,G↔RM \leftrightarrow K \quad ,\quad G \leftrightarrow R

מתאימים כל אות לפי מיקומה

MG=KRMG = KR

ולכן הצלעות שוות

M הוא הקודקוד השני ו-G הקודקוד השלישי — אז מחפשים את אותם מיקומים במשולש השני.

Check the answer on elev

Exercise 4

נתון שהמשולשים חופפים. לאיזו זווית שווה הזווית ∠G\angle G?

△PMG≅△SKR\triangle PMG \cong \triangle SKR
  1. ∠K\angle K
  2. ∠R\angle R
  3. ∠G\angle G
  4. ∠S\angle S
Show the answer and the solution

Answer: B ∠R\angle R

Worked solution:

G↔RG \leftrightarrow R

שניהם הקודקוד השלישי

בזוויות זה עוד יותר פשוט: אות אחת מול אות אחת, לפי המיקום בלבד.

Check the answer on elev

Exercise 5

נתון שהמשולשים חופפים. לאיזו צלע שווה הצלע BABA?

△ACB≅△FDE\triangle ACB \cong \triangle FDE
  1. FDFD
  2. EDED
  3. EFEF
  4. DEDE
Show the answer and the solution

Answer: C EFEF

Worked solution:

B↔E,A↔FB \leftrightarrow E \quad ,\quad A \leftrightarrow F

מתאימים כל אות לפי מיקומה

BA=EFBA = EF

ולכן הצלעות שוות

B הוא הקודקוד השלישי ו-A הקודקוד הראשון — אז מחפשים את אותם מיקומים במשולש השני.

Check the answer on elev

Exercise 6

נתון שהמשולשים חופפים. לאיזו זווית שווה הזווית ∠A\angle A?

△ACB≅△FDE\triangle ACB \cong \triangle FDE
  1. ∠F\angle F
  2. ∠D\angle D
  3. ∠A\angle A
  4. ∠E\angle E
Show the answer and the solution

Answer: A ∠F\angle F

Worked solution:

A↔FA \leftrightarrow F

שניהם הקודקוד הראשון

בזוויות זה עוד יותר פשוט: אות אחת מול אות אחת, לפי המיקום בלבד.

Check the answer on elev

Exercise 7

נתון שהמשולשים חופפים. לאיזו צלע שווה הצלע CDCD?

△CDE≅△MKG\triangle CDE \cong \triangle MKG
  1. MGMG
  2. GMGM
  3. MKMK
  4. KGKG
Show the answer and the solution

Answer: C MKMK

Worked solution:

C↔M,D↔KC \leftrightarrow M \quad ,\quad D \leftrightarrow K

מתאימים כל אות לפי מיקומה

CD=MKCD = MK

ולכן הצלעות שוות

C הוא הקודקוד הראשון ו-D הקודקוד השני — אז מחפשים את אותם מיקומים במשולש השני.

Check the answer on elev

Exercise 8

נתון שהמשולשים חופפים. לאיזו זווית שווה הזווית ∠D\angle D?

△CDE≅△MKG\triangle CDE \cong \triangle MKG
  1. ∠D\angle D
  2. ∠K\angle K
  3. ∠M\angle M
  4. ∠G\angle G
Show the answer and the solution

Answer: B ∠K\angle K

Worked solution:

D↔KD \leftrightarrow K

שניהם הקודקוד השני

בזוויות זה עוד יותר פשוט: אות אחת מול אות אחת, לפי המיקום בלבד.

Check the answer on elev

Exercise 9

נתון שהמשולשים חופפים. לאיזו צלע שווה הצלע SASA?

△MSA≅△BRG\triangle MSA \cong \triangle BRG
  1. RBRB
  2. RGRG
  3. BRBR
  4. GBGB
Show the answer and the solution

Answer: B RGRG

Worked solution:

S↔R,A↔GS \leftrightarrow R \quad ,\quad A \leftrightarrow G

מתאימים כל אות לפי מיקומה

SA=RGSA = RG

ולכן הצלעות שוות

S הוא הקודקוד השני ו-A הקודקוד השלישי — אז מחפשים את אותם מיקומים במשולש השני.

Check the answer on elev

Exercise 10

נתון שהמשולשים חופפים. לאיזו זווית שווה הזווית ∠A\angle A?

△MSA≅△BRG\triangle MSA \cong \triangle BRG
  1. ∠B\angle B
  2. ∠G\angle G
  3. ∠R\angle R
  4. ∠A\angle A
Show the answer and the solution

Answer: B ∠G\angle G

Worked solution:

A↔GA \leftrightarrow G

שניהם הקודקוד השלישי

בזוויות זה עוד יותר פשוט: אות אחת מול אות אחת, לפי המיקום בלבד.

Check the answer on elev

Exercise 11

נתון שהמשולשים חופפים. לאיזו צלע שווה הצלע EDED?

△DFE≅△BCD\triangle DFE \cong \triangle BCD
  1. CDCD
  2. DCDC
  3. BCBC
  4. DBDB
Show the answer and the solution

Answer: D DBDB

Worked solution:

E↔D,D↔BE \leftrightarrow D \quad ,\quad D \leftrightarrow B

מתאימים כל אות לפי מיקומה

ED=DBED = DB

ולכן הצלעות שוות

E הוא הקודקוד השלישי ו-D הקודקוד הראשון — אז מחפשים את אותם מיקומים במשולש השני.

Check the answer on elev

Exercise 12

נתון שהמשולשים חופפים. לאיזו זווית שווה הזווית ∠D\angle D?

△DFE≅△BCD\triangle DFE \cong \triangle BCD
  1. ∠F\angle F
  2. ∠B\angle B
  3. ∠D\angle D
  4. ∠C\angle C
Show the answer and the solution

Answer: B ∠B\angle B

Worked solution:

D↔BD \leftrightarrow B

שניהם הקודקוד הראשון

בזוויות זה עוד יותר פשוט: אות אחת מול אות אחת, לפי המיקום בלבד.

Check the answer on elev

Exercise 13

כמה שוויונות אפשר לרשום מתוך שורת חפיפה אחת של שני משולשים?

Show the answer and the solution

Answer: 6

Worked solution:

3 צלעות3 \text{ צלעות}

שלוש צלעות שוות בהתאמה

3 זוויות3 \text{ זוויות}

ושלוש זוויות שוות בהתאמה

שש בסך הכול. שורה אחת של חפיפה שווה שש שורות של נתונים — זה מה שהופך אותה לכל כך שימושית בהוכחות.

Check the answer on elev

Exercise 14

נתון △MOS≅△BAR\triangle MOS \cong \triangle BAR. תלמיד רשם MO=ARMO = AR. איפה הטעות?

  1. הוא הפך את סדר המשולשים
  2. הצלע MOMO לא קיימת
  3. אין טעות
  4. הוא התאים לפי דמיון בין האותיות ולא לפי מיקומן
Show the answer and the solution

Answer: D הוא התאים לפי דמיון בין האותיות ולא לפי מיקומן

Worked solution:

M↔B,O↔AM \leftrightarrow B \quad ,\quad O \leftrightarrow A

לפי המיקום בשורת החפיפה

MO=BAMO = BA

זו התשובה הנכונה

המיקום באותיות הוא הדבר היחיד שקובע. לא הדמיון בין האותיות, ולא איך שהמשולש מצויר.

Check the answer on elev

Exercise 15

ABCQRP
הקשתות מראות אילו זוויות מתאימות.

המשולשים בשרטוט חופפים. איזו כתיבה נכונה?

  1. △ABC≅△QRP\triangle ABC \cong \triangle QRP
  2. △ABC≅△QPR\triangle ABC \cong \triangle QPR
  3. △ABC≅△RQP\triangle ABC \cong \triangle RQP
  4. △ABC≅△PQR\triangle ABC \cong \triangle PQR
Show the answer and the solution

Answer: A △ABC≅△QRP\triangle ABC \cong \triangle QRP

Worked solution:

A↔QA \leftrightarrow Q

קשת אחת

B↔RB \leftrightarrow R

שתי קשתות

C↔PC \leftrightarrow P

שלוש קשתות

עוברים קודקוד אחר קודקוד לפי הקשתות, ולא לפי הסדר האלפביתי.

Check the answer on elev

Exercise 16

נתון △ABC≅△DEF\triangle ABC \cong \triangle DEF. איזו מהכתיבות הבאות אומרת בדיוק אותו דבר?

  1. △ABC≅△EDF\triangle ABC \cong \triangle EDF
  2. △BCA≅△EFD\triangle BCA \cong \triangle EFD
  3. △CBA≅△DEF\triangle CBA \cong \triangle DEF
  4. △BAC≅△DEF\triangle BAC \cong \triangle DEF
Show the answer and the solution

Answer: B △BCA≅△EFD\triangle BCA \cong \triangle EFD

Worked solution:

B↔E, C↔F, A↔DB \leftrightarrow E ,\ C \leftrightarrow F ,\ A \leftrightarrow D

אותה התאמה

מותר לסדר מחדש רק אם עושים אותו שינוי בשני הצדדים. ב-△BCA≅△EFD\triangle BCA \cong \triangle EFD עדיין B↔EB \leftrightarrow E, C↔FC \leftrightarrow F, A↔DA \leftrightarrow D.

Check the answer on elev

Exercise 17

נתון △PQR≅△XYZ\triangle PQR \cong \triangle XYZ. איזו טענה אינה נובעת מהחפיפה?

  1. PQ=XYPQ = XY
  2. QR=YZQR = YZ
  3. PR=YZPR = YZ
  4. ∠R=∠Z\angle R = \angle Z
Show the answer and the solution

Answer: C PR=YZPR = YZ

Worked solution:

P↔X, R↔ZP \leftrightarrow X ,\ R \leftrightarrow Z

הראשון והשלישי

PR=XZPR = XZ

ולא YZYZ

PRPR מחברת את הקודקוד הראשון לשלישי, ולכן היא שווה ל-XZXZ — לא ל-YZYZ.

Check the answer on elev

Exercise 18

נתון △ABC≅△KLM\triangle ABC \cong \triangle KLM, ו-∠A=40∘\angle A = 40^\circ, ∠B=75∘\angle B = 75^\circ. מה גודל ∠M\angle M (במעלות)?

Show the answer and the solution

Answer: 65

Worked solution:

∠C=180∘−40∘−75∘=65∘\begin{aligned}\angle C &= 180^\circ - 40^\circ - 75^\circ \\ &= 65^\circ\end{aligned}

סכום הזוויות במשולש

∠M=∠C=65∘\begin{aligned}\angle M &= \angle C \\ &= 65^\circ\end{aligned}

השלישית מול השלישית

MM היא האות השלישית, ולכן ∠M\angle M מתאימה ל-∠C\angle C — שאותה מחשבים מסכום הזוויות.

Check the answer on elev

Exercise 19

נתון △DEF≅△RST\triangle DEF \cong \triangle RST, ו-DE=8DE = 8, EF=5EF = 5, DF=10DF = 10 ס״מ. מה אורך STST (בס״מ)?

Show the answer and the solution

Answer: 5

Worked solution:

S↔E, T↔FS \leftrightarrow E ,\ T \leftrightarrow F

השני והשלישי

ST=EF=5\begin{aligned}ST &= EF \\ &= 5\end{aligned}

STST מחברת את הקודקוד השני לשלישי, ולכן היא מתאימה ל-EFEF.

Check the answer on elev

Exercise 20

ABCMKL
הקווים מראים אילו צלעות מתאימות. המשולש השני הפוך.

המשולשים בשרטוט חופפים. איזו כתיבה נכונה?

  1. △ABC≅△MLK\triangle ABC \cong \triangle MLK
  2. △ABC≅△LKM\triangle ABC \cong \triangle LKM
  3. △ABC≅△KLM\triangle ABC \cong \triangle KLM
  4. △ABC≅△MKL\triangle ABC \cong \triangle MKL
Show the answer and the solution

Answer: D △ABC≅△MKL\triangle ABC \cong \triangle MKL

Worked solution:

A↔MA \leftrightarrow M

בין קו אחד לשלושה קווים

B↔KB \leftrightarrow K

בין קו אחד לשני קווים

C↔LC \leftrightarrow L

בין שני קווים לשלושה

כל קודקוד מזוהה לפי שתי הצלעות שיוצאות ממנו. AA נמצא בין הצלע עם קו אחד לצלע עם שלושה קווים — וכך גם MM.

Check the answer on elev

Exercise 21

אם △ABC≅△DEF\triangle ABC \cong \triangle DEF, אז גם △ACB≅△DFE\triangle ACB \cong \triangle DFE.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

△ACB≅△DFE\triangle ACB \cong \triangle DFE

אותו שינוי בשני הצדדים

A↔D, C↔F, B↔EA \leftrightarrow D ,\ C \leftrightarrow F ,\ B \leftrightarrow E

אותה התאמה

בשני הצדדים החליפו את האות השנייה עם השלישית — אותו שינוי. ההתאמה נשארת: A↔DA \leftrightarrow D, C↔FC \leftrightarrow F, B↔EB \leftrightarrow E.

Check the answer on elev

Exercise 22

אם △ABC≅△DEF\triangle ABC \cong \triangle DEF, אז בהכרח גם △ABC≅△DFE\triangle ABC \cong \triangle DFE.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

△ABC≅△DFE  ⇒  B↔F\triangle ABC \cong \triangle DFE \;\Rightarrow\; B \leftrightarrow F

השינוי רק בצד אחד

∠B=∠E≠∠F\angle B = \angle E \neq \angle F

בדרך כלל

כאן שינו את הסדר רק בצד אחד. השורה החדשה אומרת B↔FB \leftrightarrow F — כלומר ∠B=∠F\angle B = \angle F, וזה לא נובע מהחפיפה הנתונה.

Check the answer on elev

Exercise 23

התאימו כל מקרה למה שהוא אומר

  • A↔DA \leftrightarrow D
  • B↔EB \leftrightarrow E
  • C↔FC \leftrightarrow F
  • הקודקוד הראשון
  • הקודקוד השלישי
  • הקודקוד השני
Show the answer and the solution

Answer: A↔DA \leftrightarrow D — הקודקוד הראשון · B↔EB \leftrightarrow E — הקודקוד השני · C↔FC \leftrightarrow F — הקודקוד השלישי

Worked solution:

כל זוג כאן הופיע בשיעור — ההתאמה היא בדיוק מה שהטבלה הראתה.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade