The SSS theorem

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

ראינו שבמשולשים חופפים יש שישה שוויונות. אבל כדי להוכיח חפיפה לא צריך את כולם. המשפט הראשון אומר: מספיקות שלוש הצלעות — בלי אף זווית.

משפט חפיפה צ.צ.צ (צלע, צלע, צלע). שני משולשים השווים בהתאמה בשלוש צלעותיהם — חופפים.

למה שלוש צלעות מספיקות?

נסו לבנות משולש משלושה מקלות באורכים קבועים, למשל 5, 6 ו-7 ס״מ. איך שלא תחברו אותם, יתקבל אותו משולש: אפשר לסובב אותו או להפוך אותו, אבל אי אפשר לשנות אף זווית שלו. אומרים שהמשולש קשיח.

עם ארבעה מקלות זה לא עובד: ריבוע אפשר «למעוך» למעוין — אותן צלעות, זוויות אחרות. לכן בגשרים, במגדלי חשמל ובמנופים רואים כל כך הרבה משולשים.

ABCDEFGH
ריבוע ומעוין: אותן ארבע צלעות, צורות שונות. ארבעה מקלות אפשר «למעוך». שלושה — אי אפשר.

בצ.צ.צ, כמה זוויות צריך לדעת?

Show the answer and the solution

אף אחת. שלוש צלעות מספיקות לבדן — הזוויות כבר נקבעות מהן.

איך כותבים הוכחה בצ.צ.צ

הוכחת חפיפה נכתבת בטבלה של טענה ונימוק. בצ.צ.צ צריך שלוש שורות של צלעות, כל אחת עם הנימוק שלה, ושורה רביעית של המסקנה.

ABCD
בדלתון ABCDABCD: AB=ADAB = AD ו-CB=CDCB = CD. האלכסון ACAC משותף לשני המשולשים.

דוגמה: בדלתון ABCDABCD נתון AB=ADAB = AD ו-CB=CDCB = CD. הוכיחו ש-△ABC≅△ADC\triangle ABC \cong \triangle ADC.

AB=ADAB = AD

CB=CDCB = CD

△ABC≅△ADC\triangle ABC \cong \triangle ADC

נתון — צלע

נתון — צלע

AC=ACAC = AC

צלע משותפת — צלע

צ.צ.צ

שימו לב לסדר האותיות במסקנה: BB עומד מול DD, כי AB=ADAB = AD ו-CB=CDCB = CD. הקודקודים AA ו-CC משותפים, ולכן הם עומדים מול עצמם.

הצלע המשותפת. כששני משולשים חולקים צלע, היא שווה לעצמה. לעתים קרובות זו בדיוק הצלע השלישית שחסרה — ובלי השורה הזאת ההוכחה לא שלמה.

ומה מקבלים מהחפיפה?

אחרי שהוכחנו חפיפה, מותר להסיק כל שוויון בין איברים מתאימים — גם זוויות שלא הופיעו בנתונים בכלל. הנימוק הוא «זוויות מתאימות במשולשים חופפים שוות» (או «צלעות מתאימות», כשמסיקים שוויון של צלעות).

בדלתון שלמעלה: מהחפיפה △ABC≅△ADC\triangle ABC \cong \triangle ADC נובע ∠B=∠D\angle B = \angle D, וגם ∠BAC=∠DAC\angle BAC = \angle DAC — כלומר ACAC חוצה את הזווית AA. זה לא היה כתוב בנתונים!

למשולש אחד צלעות של 4, 5 ו-6 ס״מ, ולמשולש שני צלעות של 6, 4 ו-5 ס״מ. האם הם חופפים?

Show the answer and the solution

כן. אלה אותם שלושה אורכים, רק ברשימה בסדר אחר. בכתיבת החפיפה צריך להתאים: הצלע של 4 מול הצלע של 4, וכך הלאה.

Exercises

Exercise 1

בשני משולשים סומנו: שלוש הצלעות של האחד שוות לשלוש הצלעות של השני. לפי איזה משפט הם חופפים?

  1. צ.ז.צ
  2. ז.צ.ז
  3. אי אפשר לדעת
  4. צ.צ.צ
Show the answer and the solution

Answer: D צ.צ.צ

Worked solution:

3  =  33 \;=\; 3

שלוש צלעות מול שלוש צלעות — בלי אף זווית

שלוש צלעות קובעות משולש אחד ויחיד — זהו בדיוק משפט צ.צ.צ.

Check the answer on elev

Exercise 2

ABCEFD
הסימנים מראים אילו צלעות שוות.

לפי הסימנים בשרטוט, האם המשולשים חופפים? אם כן — לפי איזה משפט?

  1. לא, חסרה זווית
  2. כן, לפי צ.ז.צ
  3. כן, לפי ז.צ.ז
  4. כן, לפי צ.צ.צ
Show the answer and the solution

Answer: D כן, לפי צ.צ.צ

Worked solution:

AB=EF BC=FD CA=DE\begin{aligned}AB &= EF \\ \ BC &= FD \\ \ CA &= DE\end{aligned}

שלוש צלעות שוות בהתאמה

מסומנים שלושה זוגות של צלעות שוות, ואף זווית. שלוש צלעות מספיקות: צ.צ.צ.

Check the answer on elev

Exercise 3

למשולש אחד צלעות של 3, 4 ו-6 ס״מ, ולמשולש שני צלעות של 4, 6 ו-3 ס״מ. מה נכון?

  1. הם חופפים רק אם שניהם ישרי זווית
  2. אי אפשר לדעת בלי הזוויות
  3. הם לא חופפים, כי הצלעות רשומות בסדר אחר
  4. הם חופפים לפי צ.צ.צ
Show the answer and the solution

Answer: D הם חופפים לפי צ.צ.צ

Worked solution:

{3, 4, 6}={4, 6, 3}\{3,\ 4,\ 6\} = \{4,\ 6,\ 3\}

אותם שלושה אורכים

צ.צ.צ\text{צ.צ.צ}

אותם שלושה אורכים בדיוק — 3, 4 ו-6. הסדר ברשימה לא משנה; הוא משנה רק את סדר האותיות בכתיבה.

Check the answer on elev

Exercise 4

למשולש אחד צלעות של 3, 4 ו-6 ס״מ, ולמשולש שני צלעות של 3, 4 ו-5 ס״מ. מה נכון?

  1. הם חופפים לפי צ.ז.צ
  2. הם חופפים לפי צ.צ.צ
  3. הם לא חופפים
  4. הם חופפים, כי שתי צלעות שוות
Show the answer and the solution

Answer: C הם לא חופפים

Worked solution:

6≠56 \neq 5

הצלע השלישית שונה

שתי צלעות שוות, אבל השלישית שונה (6 מול 5). צ.צ.צ דורש שלוש צלעות שוות. ואם הצלע השלישית שונה — המשולשים בוודאות אינם חופפים.

Check the answer on elev

Exercise 5

ב-△ABC\triangle ABC: AB=5AB = 5, BC=8BC = 8, CA=6CA = 6. ב-△PQR\triangle PQR: PQ=6PQ = 6, QR=5QR = 5, RP=8RP = 8. איזו כתיבה נכונה?

  1. △ABC≅△RQP\triangle ABC \cong \triangle RQP
  2. △ABC≅△QRP\triangle ABC \cong \triangle QRP
  3. △ABC≅△PQR\triangle ABC \cong \triangle PQR
  4. △ABC≅△QPR\triangle ABC \cong \triangle QPR
Show the answer and the solution

Answer: B △ABC≅△QRP\triangle ABC \cong \triangle QRP

Worked solution:

A↔QA \leftrightarrow Q

בין 5 ל-6

B↔RB \leftrightarrow R

בין 5 ל-8

C↔PC \leftrightarrow P

בין 8 ל-6

מזהים כל קודקוד לפי שתי הצלעות שיוצאות ממנו. AA נמצא בין הצלעות 5 ו-6, וגם QQ (בין QR=5QR = 5 ל-PQ=6PQ = 6).

Check the answer on elev

Exercise 6

אם בשני משולשים שתי צלעות שוות בהתאמה, המשולשים חופפים.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

AB=DE AC=DF\begin{aligned}AB &= DE \\ \ AC &= DF\end{aligned}

שתי צלעות בלבד

∠A  ?\angle A \;?

הזווית ביניהן חופשית — והצלע השלישית איתה

שתי צלעות לבד לא נועלות את המשולש: אפשר לפתוח את הזווית שביניהן יותר או פחות, ולקבל צלע שלישית אחרת.

Check the answer on elev

Exercise 7

ABCD
האלכסון ACAC מחלק את המקבילית לשני משולשים.

נתונה מקבילית ABCDABCD והאלכסון ACAC. הוכיחו: △ABC≅△CDA\triangle ABC \cong \triangle CDA.

  • ABCDABCD מקבילית
  • ACAC אלכסון

△ABC≅△CDA\triangle ABC \cong \triangle CDA

Show the answer and the solution
  1. AB=CDAB = CD — הצלעות הנגדיות במקבילית שוות
  2. BC=DABC = DA — הצלעות הנגדיות במקבילית שוות
  3. AC=CAAC = CA — צלע משותפת לשני המשולשים
  4. △ABC≅△CDA\triangle ABC \cong \triangle CDA — משפט חפיפה צ.צ.צ
Check the answer on elev

Exercise 8

ABCD
האלכסון BDBD מחלק את המרובע לשני משולשים.

במרובע ABCDABCD נתון AB=CDAB = CD ו-AD=CBAD = CB. הקטע BDBD הוא אלכסון. הוכיחו: ∠A=∠C\angle A = \angle C.

  • AB=CDAB = CD
  • AD=CBAD = CB

∠A=∠C\angle A = \angle C

Show the answer and the solution
  1. AB=CDAB = CD — נתון
  2. AD=CBAD = CB — נתון
  3. BD=DBBD = DB — צלע משותפת
  4. △ABD≅△CDB\triangle ABD \cong \triangle CDB — משפט חפיפה צ.צ.צ
  5. ∠A=∠C\angle A = \angle C — זוויות מתאימות במשולשים חופפים שוות

Worked solution:

AB=CD AD=CB BD=DB\begin{aligned}AB &= CD \\ \ AD &= CB \\ \ BD &= DB\end{aligned}

שלוש צלעות

△ABD≅△CDB\triangle ABD \cong \triangle CDB

צ.צ.צ

∠A=∠C\angle A = \angle C

זוויות מתאימות

הזוויות ∠A\angle A ו-∠C\angle C אינן בנתונים. מגיעים אליהן דרך חפיפה: שני משולשים שכל אחד מהם מכיל אחת מהן.

Check the answer on elev

Exercise 9

ABCD
ADAD מחבר את הקודקוד AA לאמצע הצלע BCBC.

במשולש ABCABC נתון AB=ACAB = AC. הנקודה DD היא אמצע הצלע BCBC. הוכיחו: ∠BAD=∠CAD\angle BAD = \angle CAD.

  • AB=ACAB = AC
  • DD אמצע BCBC

∠BAD=∠CAD\angle BAD = \angle CAD

Show the answer and the solution
  1. AB=ACAB = AC — נתון
  2. DD אמצע BCBC — נתון
  3. BD=CDBD = CD — אמצע קטע מחלק אותו לשני קטעים שווים
  4. AD=ADAD = AD — צלע משותפת
  5. △ABD≅△ACD\triangle ABD \cong \triangle ACD — משפט חפיפה צ.צ.צ
  6. ∠BAD=∠CAD\angle BAD = \angle CAD — זוויות מתאימות במשולשים חופפים שוות

Worked solution:

AB=AC BD=CD AD=AD\begin{aligned}AB &= AC \\ \ BD &= CD \\ \ AD &= AD\end{aligned}

שלוש צלעות

△ABD≅△ACD\triangle ABD \cong \triangle ACD

צ.צ.צ

∠BAD=∠CAD\angle BAD = \angle CAD

זוויות מתאימות

זו תוצאה חשובה: במשולש שווה שוקיים, הקטע מהקודקוד לאמצע הבסיס חוצה את זווית הראש. הזווית לא הייתה בנתונים — היא הגיעה מהחפיפה.

Check the answer on elev

Exercise 10

ABCDEF
הצלעות ACAC ו-DBDB אינן מסומנות — צריך להוכיח שהן שוות.

הנקודות AA, BB, CC, DD נמצאות על ישר אחד, בסדר הזה. נתון: AB=CDAB = CD, AE=DFAE = DF ו-CE=BFCE = BF. הוכיחו: △AEC≅△DFB\triangle AEC \cong \triangle DFB.

  • AB=CDAB = CD
  • AE=DFAE = DF
  • CE=BFCE = BF

△AEC≅△DFB\triangle AEC \cong \triangle DFB

Show the answer and the solution
  1. AB=CDAB = CD — נתון
  2. AC=DBAC = DB — הוספנו לשני קטעים שווים את אותו קטע
  3. AE=DFAE = DF — נתון
  4. CE=BFCE = BF — נתון
  5. △AEC≅△DFB\triangle AEC \cong \triangle DFB — משפט חפיפה צ.צ.צ

Worked solution:

AC=AB+BCAC = AB + BC
DB=DC+CBDB = DC + CB
AB=CD  ⇒  AC=DB\begin{aligned}AB &= CD \;\Rightarrow\; AC \\ &= DB\end{aligned}

הוספנו BCBC לשניהם

△AEC≅△DFB\triangle AEC \cong \triangle DFB

צ.צ.צ

הצלע השלישית לא נתונה ישירות. מקבלים אותה בחיבור: לשני הקטעים השווים ABAB ו-CDCD מוסיפים את אותו קטע BCBC.

Check the answer on elev

Exercise 11

ABCD
∠ABC=110∘\angle ABC = 110^\circ.

במרובע ABCDABCD נתון AB=ADAB = AD ו-CB=CDCB = CD, ו-∠ABC=110∘\angle ABC = 110^\circ. מה גודל ∠ADC\angle ADC (במעלות)?

Show the answer and the solution

Answer: 110

Worked solution:

AB=AD CB=CD AC=AC\begin{aligned}AB &= AD \\ \ CB &= CD \\ \ AC &= AC\end{aligned}

צ.צ.צ

△ABC≅△ADC\triangle ABC \cong \triangle ADC
∠ADC=∠ABC=110∘\begin{aligned}\angle ADC &= \angle ABC \\ &= 110^\circ\end{aligned}

זוויות מתאימות

האלכסון ACAC יוצר שני משולשים חופפים לפי צ.צ.צ, ו-∠ADC\angle ADC מתאימה ל-∠ABC\angle ABC.

Check the answer on elev

Exercise 12

ב-△ABC\triangle ABC: AB=4AB = 4, BC=6BC = 6, CA=5CA = 5. ב-△PQR\triangle PQR: PQ=5PQ = 5, QR=4QR = 4, RP=6RP = 6. איזו זווית שווה ל-∠A\angle A?

  1. ∠Q\angle Q
  2. ∠R\angle R
  3. ∠P\angle P
  4. אף אחת מהן
Show the answer and the solution

Answer: A ∠Q\angle Q

Worked solution:

A: 4, 5Q: 4, 5A:\ 4 ,\ 5 \quad Q:\ 4 ,\ 5

אותן שתי צלעות

∠A=∠Q\angle A = \angle Q

זוויות מתאימות

הזווית AA נמצאת בין הצלעות 4 ו-5. גם ∠Q\angle Q נמצאת בין הצלעות 4 (QRQR) ו-5 (PQPQ).

Check the answer on elev

Exercise 13

ABCD
בדלתון ABCDABCD: AB=ADAB = AD ו-CB=CDCB = CD. האלכסון ACAC משותף לשני המשולשים.

בדלתון ABCDABCD נתון AB=ADAB = AD ו-CB=CDCB = CD (ראו את השרטוט). תלמיד כתב הוכחה. באיזו שורה הטעות?

AB=AD(נתון)AB = AD \quad (\text{נתון})
CB=CD(נתון)CB = CD \quad (\text{נתון})
AC=AC(צלע משותפת)AC = AC \quad (\text{צלע משותפת})
△ABC≅△ACD(צ.צ.צ)\triangle ABC \cong \triangle ACD \quad (\text{צ.צ.צ})
Show the answer and the solution

Answer: △ABC≅△ACD(צ.צ.צ)\triangle ABC \cong \triangle ACD \quad (\text{צ.צ.צ}) → △ABC≅△ADC\triangle ABC \cong \triangle ADC

Worked solution:

B↔DB \leftrightarrow D

כי AB=ADAB = AD

△ABC≅△ADC\triangle ABC \cong \triangle ADC

הכתיבה הנכונה

המשפט נכון, אבל סדר האותיות לא: BB מתאים ל-DD, כי AB=ADAB = AD. בכתיבה △ABC≅△ACD\triangle ABC \cong \triangle ACD האות BB עומדת מול CC — וזו טענה אחרת.

Check the answer on elev

Exercise 14

ABCDEF
מסומנות שתי צלעות שוות בכל משולש.

בשרטוט מסומנים AB=DEAB = DE ו-BC=EFBC = EF. איזה נתון נוסף יאפשר להוכיח חפיפה לפי צ.צ.צ?

  1. ∠B=∠E\angle B = \angle E
  2. AC=DFAC = DF
  3. ∠A=∠D\angle A = \angle D
  4. AB=EFAB = EF
Show the answer and the solution

Answer: B AC=DFAC = DF

Worked solution:

AB=DE BC=EF AC=DF\begin{aligned}AB &= DE \\ \ BC &= EF \\ \ AC &= DF\end{aligned}

שלוש צלעות

צ.צ.צ צריך את הצלע השלישית. גם ∠B=∠E\angle B = \angle E היה מספיק — אבל זו זווית, וזה כבר משפט אחר (צ.ז.צ).

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade