Practice: congruent triangles

Answer: B צ.צ.צ

Worked solution:

שלושה זוגות של צלעות, אף זווית: צ.צ.צ.

Answer: D צ.ז.צ

Worked solution:

הצלעות המסומנות הן $BC$ ו-$CA$, והן נפגשות ב-$C$. הזווית המסומנת היא $\angle C$ — כלואה ביניהן.

Answer: D ז.צ.ז

Worked solution:

הזוויות המסומנות הן $\angle B$ ו-$\angle C$, והצלע המסומנת היא $BC$ — בדיוק ביניהן.

Answer: A אין מספיק נתונים לחפיפה

Worked solution:

הצלעות המסומנות הן $AB$ ו-$BC$, והן נפגשות ב-$B$. הזווית המסומנת היא $\angle C$ — לא כלואה, ולכן אין צ.ז.צ. והיא מול $AB = 5$, הצלע הקטנה מבין השתיים, ולכן גם צ.צ.ז אינו חל: ייתכנו שני משולשים שונים.

Answer: B אין מספיק נתונים לחפיפה

Worked solution:

שלוש זוויות שוות ואף צלע: הצורה זהה, אבל הגודל לא נקבע.

Answer: E ז.צ.ז

Worked solution:

הצלע המסומנת $BC$ אינה בין $\angle A$ ל-$\angle B$. אבל שתי זוויות שוות גוררות שגם $\angle C = \angle F$ — ועכשיו $BC$ בין $\angle B$ ל-$\angle C$. לכן ז.צ.ז.

Answer: E צ.צ.צ

Worked solution:

מסומנים שני זוגות של צלעות, והזוג השלישי מגיע מהשרטוט: $AC$ היא צלע משותפת. שלוש צלעות — צ.צ.צ.

Answer: B צ.ז.צ

Worked solution:

שני זוגות של צלעות מסומנים, והזווית מגיעה מהשרטוט: $\angle AOB = \angle COD$ קודקודיות. היא כלואה בין הצלעות המסומנות — צ.ז.צ.

Answer: E ז.צ.ז

Worked solution:

צלע אחת מסומנת. שתי הזוויות מגיעות מהשרטוט: $\angle BAO = \angle CDO$ מתחלפות, ו-$\angle AOB = \angle DOC$ קודקודיות. הצלע $AO$ נמצאת ביניהן — ז.צ.ז.

Answer: B אין מספיק נתונים לחפיפה

Worked solution:

רק שני זוגות של צלעות, בלי זווית ובלי צלע שלישית. אפשר לפתוח את הזווית ב-$A$ יותר או פחות — ולקבל משולשים שונים.

Answer: C צ.צ.ז

Worked solution:

הזווית המסומנת, $\angle A$, אינה כלואה בין $AB$ ל-$BC$ — אבל היא מול $BC = 7$, הצלע הגדולה מבין השתיים. זה משפט חפיפה צ.צ.ז.

Answer: A $\triangle ABC \cong \triangle TRS$

Worked solution:

לפי הקשתות: קשת אחת ב-$A$ וב-$T$, שתיים ב-$B$ וב-$R$, שלוש ב-$C$ וב-$S$.

Answer: C $\triangle BCA \cong \triangle LMN$

Worked solution:

שימו לב: השם הראשון מתחיל ב-$B$. מוצאים את בן־הזוג של $B$ (בין קו אחד לשני קווים) — זה $L$. אחר כך של $C$ — $M$, ושל $A$ — $N$.

Answer: B $NP = ST$

Worked solution:

$NP$ מחברת את הקודקוד השני לשלישי, וכך גם $ST$.

Answer: 9

Worked solution:

לפי המיקום: $F \leftrightarrow A$ ו-$E \leftrightarrow B$. לכן $EF$ מתאימה ל-$BA$.

Answer: C $\triangle CAB \cong \triangle ZXY$

Worked solution:

בכתיבה $\triangle CAB \cong \triangle ZXY$ עדיין $C \leftrightarrow Z$, $A \leftrightarrow X$, $B \leftrightarrow Y$ — אותה התאמה.

Answer: B $\triangle ADC$

Worked solution:

$A$ מול $A$ ו-$C$ מול $C$ — הם משותפים. ו-$B$ מול $D$, כי $AB = AD$.

Answer: True

Worked solution:

זו בדיוק המשמעות של «כלואה». זווית אחרת אינה מספיקה.

Answer: False

Worked solution:

יתר אחד וזווית ישרה אינם מספיקים: משולש עם ניצבים 3 ו-4 ומשולש עם ניצבים $\sqrt{12.5}$ ו-$\sqrt{12.5}$ — לשניהם יתר 5, והם שונים.

Answer: True

Worked solution:

שלוש הצלעות שוות — כולן 4 ס״מ. זה צ.צ.צ.

Answer: True

Worked solution:

כל צלע של $ABC$ שווה לצלע המתאימה ב-$DEF$, וזו שווה לצלע המתאימה ב-$KLM$. כך גם הזוויות.

Answer: False

Worked solution:

רק אם הזווית כלואה בין שתי הצלעות (צ.ז.צ), או אם היא מול הצלע הגדולה מביניהן (צ.צ.ז). כשהיא מול הצלע הקטנה, ייתכנו שני משולשים שונים.

Answer: True

Worked solution:

הזווית הישרה נמצאת בדיוק בין שני הניצבים — היא כלואה. זה צ.ז.צ.

Answer: 64

Worked solution:

מהחפיפה $\triangle ABC \cong \triangle ADC$ (צ.צ.צ): $\angle DAC = \angle BAC$. הזווית $BAD$ היא הסכום של שתיהן.

Answer: 12

Worked solution:

$\triangle AOB \cong \triangle COD$ לפי צ.ז.צ, ולכן ההיקפים שווים.

Answer: 25

Worked solution:

$\triangle ABD \cong \triangle ACD$ לפי צ.צ.צ, ולכן $AD$ חוצה את $\angle BAC$.

Answer: 18

Worked solution:

$\triangle PMA \cong \triangle PMB$ לפי צ.ז.צ, ולכן $PB = PA$.

Answer: 22

Worked solution:

האלכסון $AC$ יוצר $\triangle ABC \cong \triangle CDA$ לפי ז.צ.ז (שני זוגות של זוויות מתחלפות). לכן $CD = AB$ ו-$DA = BC$.

Answer: 140

Worked solution:

$\triangle ABC \cong \triangle ADC$ לפי צ.ז.צ ($AC$ משותפת). לכן $\angle ACD = \angle ACB$.

Answer: 25

Worked solution:

$\triangle DAE \cong \triangle ABF$ לפי צ.ז.צ. ההתאמה: $D \leftrightarrow A$, $A \leftrightarrow B$, $E \leftrightarrow F$ — ולכן $\angle ADE$ מתאימה ל-$\angle BAF$.

Answer: 62

Worked solution:

$\triangle ABD \cong \triangle ACD$ לפי ז.צ.ז, ולכן $\angle C$ מתאימה ל-$\angle B$.

Answer: 18

Worked solution:

קודם $DB = DC + CB = 7$, ואז פשוט מחברים. (המשולשים $AEC$ ו-$DFB$ חופפים לפי צ.צ.צ — ולכן גם $AC = 7$.)

Answer: 60

Worked solution:

הזווית $CAD$ מורכבת משתי הזוויות שב-$A$, משני צדי $AB$.

1. $PA = PB$ — נתון
2. $QA = QB$ — נתון
3. $PQ = PQ$ — צלע משותפת
4. $\triangle PAQ \cong \triangle PBQ$ — משפט חפיפה צ.צ.צ
5. $\angle APQ = \angle BPQ$ — זוויות מתאימות במשולשים חופפים שוות

Worked solution:

הזוויות אינן בנתונים — מגיעים אליהן דרך חפיפה עם הצלע המשותפת $PQ$.

1. $AB = AD$ — נתון
2. $CB = CD$ — נתון
3. $AC = AC$ — צלע משותפת
4. $\triangle ABC \cong \triangle ADC$ — משפט חפיפה צ.צ.צ
5. $\angle BAC = \angle DAC$ — זוויות מתאימות במשולשים חופפים שוות

Worked solution:

המסקנה: במעוין, האלכסון חוצה את הזוויות שבקצותיו.

1. $BE = CF$ — נתון
2. $BC = EF$ — הוספנו לשני קטעים שווים את אותו קטע
3. $AB = DE$ — נתון
4. $AC = DF$ — נתון
5. $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ — משפט חפיפה צ.צ.צ
6. $\angle A = \angle D$ — זוויות מתאימות במשולשים חופפים שוות

Worked solution:

הצלע השלישית מתקבלת בחיבור: לקטעים השווים $BE$ ו-$CF$ מוסיפים את $EC$.

1. $AB = AC$ — נתון
2. $AD$ חוצה את $\angle BAC$ — נתון
3. $\angle BAD = \angle CAD$ — חוצה זווית מחלק אותה לשתי זוויות שוות
4. $AD = AD$ — צלע משותפת
5. $\triangle ABD \cong \triangle ACD$ — משפט חפיפה צ.ז.צ
6. $BD = CD$ — צלעות מתאימות במשולשים חופפים שוות

Worked solution:

המסקנה: במשולש שווה שוקיים, חוצה זווית הראש הוא גם תיכון — הוא מגיע לאמצע הבסיס.

1. $AM = BM$ — נתון
2. $\angle AMC = \angle BMD$ — זוויות קודקודיות שוות
3. $CM = DM$ — נתון
4. $\triangle AMC \cong \triangle BMD$ — משפט חפיפה צ.ז.צ
5. $\angle CAM = \angle DBM$ — זוויות מתאימות במשולשים חופפים שוות

Worked solution:

הזווית ב-$M$ מגיעה מהחיתוך: זוויות קודקודיות. היא כלואה בין $AM$ ל-$CM$, ובין $BM$ ל-$DM$.

1. $\angle BAD = \angle CAE$ — נתון
2. $\angle BAC = \angle DAE$ — הוספנו לשתי זוויות שוות את אותה זווית
3. $AB = AD$ — נתון
4. $AC = AE$ — נתון
5. $\triangle BAC \cong \triangle DAE$ — משפט חפיפה צ.ז.צ
6. $BC = DE$ — צלעות מתאימות במשולשים חופפים שוות

Worked solution:

הזווית הכלואה אינה נתונה. מקבלים אותה בחיבור: לזוויות השוות $\angle BAD$ ו-$\angle CAE$ מוסיפים את $\angle DAC$.

1. $M$ אמצע $AB$ — נתון
2. $AM = BM$ — אמצע קטע מחלק אותו לשני קטעים שווים
3. $\angle A = \angle B = 90^\circ$ — במלבן כל הזוויות ישרות
4. $AD = BC$ — במלבן הצלעות הנגדיות שוות
5. $\triangle AMD \cong \triangle BMC$ — משפט חפיפה צ.ז.צ
6. $MD = MC$ — צלעות מתאימות במשולשים חופפים שוות

Worked solution: