The ASA theorem

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

המשפט השלישי הופך את התפקידים: שתי זוויות וצלע אחת. וגם כאן המיקום קובע: הצלע היא זו שבין שתי הזוויות.

משפט חפיפה ז.צ.ז (זווית, צלע, זווית). שני משולשים השווים בהתאמה בשתי זוויות ובצלע שביניהן — חופפים.

למה זה עובד?

קחו קטע ABAB, ובכל אחד מקצותיו «נעלו» זווית. מכל קצה יוצאת קרן — ושתי הקרניים נפגשות בנקודה אחת בלבד. הנקודה הזאת היא הקודקוד השלישי, ולכן כל המשולש נקבע.

ABC
הצלע ABAB והזוויות בשני קצותיה קבועות. שתי הקרניים נפגשות בנקודה אחת בלבד — CC.

בז.צ.ז — איפה צריכה להיות הצלע?

Show the answer and the solution

בין שתי הזוויות הנתונות: זו הצלע שמחברת את שני הקודקודים שלהן. זוויות ב-AA וב-BB דורשות את הצלע ABAB.

ומה אם הצלע אינה בין הזוויות?

כאן יש קיצור דרך. סכום הזוויות במשולש הוא תמיד 180∘180^\circ, ולכן אם שתי זוויות שוות — גם השלישית שווה. אז קודם מחשבים את הזווית השלישית, ועכשיו הצלע כבר כן נמצאת בין שתי זוויות ידועות.

∠A=∠D ∠B=∠E BC=EF\begin{aligned}\angle A &= \angle D \\ \ \angle B &= \angle E \\ \ BC &= EF\end{aligned}

נתון: הצלע BCBC אינה בין AA ל-BB

∠C=180∘−∠A−∠B=∠F\begin{aligned}\angle C &= 180^\circ - \angle A - \angle B \\ &= \angle F\end{aligned}

הזווית השלישית שווה גם היא

∠B, BC, ∠C\angle B ,\ BC ,\ \angle C

עכשיו BCBC בין שתי זוויות — ז.צ.ז

שלוש זוויות, בלי אף צלע, אינן מספיקות.

∠A=∠D ∠B=∠E ∠C=∠F  ⇒  חופפים\begin{aligned}\angle A &= \angle D \\ \ \angle B &= \angle E \\ \ \angle C &= \angle F \;\Rightarrow\; \text{חופפים}\end{aligned}
∠A=∠D AB=DE ∠B=∠E  ⇒  חופפים\begin{aligned}\angle A &= \angle D \\ \ AB &= DE \\ \ \angle B &= \angle E \;\Rightarrow\; \text{חופפים}\end{aligned}

זוויות קובעות רק את הצורה. בלי אף צלע, משולש יכול להיות קטן או גדול. צריך לפחות צלע אחת — במקום הנכון.

דוגמה מלאה

ABODC
AB∥CDAB \parallel CD, והנקודה OO היא אמצע ADAD.

דוגמה: AB∥CDAB \parallel CD, והקטעים ADAD ו-BCBC נחתכים ב-OO. נתון ש-OO אמצע ADAD. הוכיחו ש-△ABO≅△DCO\triangle ABO \cong \triangle DCO.

AB∥CDAB \parallel CD

OO אמצע ADAD

△ABO≅△DCO\triangle ABO \cong \triangle DCO

∠BAO=∠CDO\angle BAO = \angle CDO

זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים — זווית

AO=DOAO = DO

OO אמצע ADAD — צלע

∠AOB=∠DOC\angle AOB = \angle DOC

זוויות קודקודיות — זווית

ז.צ.ז

שתי הזוויות לא נתונות — אחת מגיעה מהמקבילים והשנייה מהחיתוך. והצלע AOAO נמצאת בדיוק ביניהן: היא מחברת את AA ל-OO.

נתונים ∠A\angle A, ∠B\angle B והצלע BCBC. האם אפשר להשתמש בז.צ.ז?

Show the answer and the solution

כן, בצעד אחד נוסף: מחשבים ∠C=180∘−∠A−∠B\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B. עכשיו BCBC נמצאת בין ∠B\angle B ל-∠C\angle C.

Exercises

Exercise 1

ABCDEF
שתי זוויות וצלע מסומנות בכל משולש.

לפי הסימנים בשרטוט, האם המשולשים חופפים? אם כן — לפי איזה משפט?

  1. כן, לפי ז.צ.ז
  2. כן, לפי צ.צ.צ
  3. כן, לפי צ.ז.צ
  4. לא, צריך עוד צלע
Show the answer and the solution

Answer: A כן, לפי ז.צ.ז

Worked solution:

∠A=∠D AB=DE ∠B=∠E\begin{aligned}\angle A &= \angle D \\ \ AB &= DE \\ \ \angle B &= \angle E\end{aligned}

זווית, צלע, זווית

מסומנות הזוויות AA ו-BB, והצלע ABAB שמחברת ביניהן.

Check the answer on elev

Exercise 2

ABCDEF
מסומנות שתי זוויות שוות בכל משולש.

בשרטוט מסומנים ∠A=∠D\angle A = \angle D ו-∠B=∠E\angle B = \angle E. איזה נתון נוסף יאפשר להוכיח חפיפה לפי ז.צ.ז?

  1. BC=EFBC = EF
  2. ∠C=∠F\angle C = \angle F
  3. AC=DFAC = DF
  4. AB=DEAB = DE
Show the answer and the solution

Answer: D AB=DEAB = DE

Worked solution:

∠A, AB, ∠B\angle A ,\ AB ,\ \angle B

הצלע שבין שתי הזוויות

הצלע שבין הזוויות AA ו-BB היא ABAB. (∠C=∠F\angle C = \angle F לא יעזור: היא נובעת ממילא מסכום הזוויות, ושלוש זוויות אינן מספיקות.)

Check the answer on elev

Exercise 3

אם שלוש הזוויות של משולש אחד שוות לשלוש הזוויות של משולש שני, המשולשים חופפים.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

∠A=∠D ∠B=∠E ∠C=∠F\begin{aligned}\angle A &= \angle D \\ \ \angle B &= \angle E \\ \ \angle C &= \angle F\end{aligned}

רק צורה

AB≠DEAB \neq DE

הגודל יכול להיות שונה

זוויות קובעות רק את הצורה. משולש שווה צלעות קטן ומשולש שווה צלעות גדול — אותן זוויות, ואינם חופפים.

Check the answer on elev

Exercise 4

ב-△ABC\triangle ABC: ∠A=50∘\angle A = 50^\circ, ∠B=60∘\angle B = 60^\circ. ב-△DEF\triangle DEF: ∠D=50∘\angle D = 50^\circ, ∠F=70∘\angle F = 70^\circ. מה גודל ∠E\angle E (במעלות)?

Show the answer and the solution

Answer: 60

Worked solution:

∠E=180∘−50∘−70∘=60∘\begin{aligned}\angle E &= 180^\circ - 50^\circ - 70^\circ \\ &= 60^\circ\end{aligned}

סכום הזוויות במשולש

מחשבים לפי סכום הזוויות במשולש DEFDEF. (יוצא שגם ∠E=∠B\angle E = \angle B — שלוש הזוויות שוות. אבל בלי צלע, זו עדיין לא חפיפה.)

Check the answer on elev

Exercise 5

בשני משולשים נתון: ∠A=∠D\angle A = \angle D, ∠B=∠E\angle B = \angle E ו-BC=EFBC = EF. מה נכון?

  1. הם לא חופפים, כי הצלע אינה בין הזוויות
  2. הם חופפים לפי צ.ז.צ
  3. הם חופפים: קודם ∠C=∠F\angle C = \angle F, ואז ז.צ.ז
  4. אי אפשר לדעת
Show the answer and the solution

Answer: C הם חופפים: קודם ∠C=∠F\angle C = \angle F, ואז ז.צ.ז

Worked solution:

∠C=180∘−∠A−∠B=∠F\begin{aligned}\angle C &= 180^\circ - \angle A - \angle B \\ &= \angle F\end{aligned}

הזווית השלישית

∠B, BC, ∠C\angle B ,\ BC ,\ \angle C

ז.צ.ז

שתי זוויות שוות גוררות שהשלישית שווה. עכשיו BCBC נמצאת בין ∠B\angle B ל-∠C\angle C, ו-EFEF בין ∠E\angle E ל-∠F\angle F.

Check the answer on elev

Exercise 6

ABCD
ADAD חוצה זווית וגם מאונך ל-BCBC.

במשולש ABCABC, הקטע ADAD חוצה את הזווית AA, ו-AD⊥BCAD \perp BC (הנקודה DD על BCBC). הוכיחו: AB=ACAB = AC.

  • ADAD חוצה את ∠BAC\angle BAC
  • AD⊥BCAD \perp BC

AB=ACAB = AC

Show the answer and the solution
  1. ADAD חוצה את ∠BAC\angle BAC — נתון
  2. ∠BAD=∠CAD\angle BAD = \angle CAD — חוצה זווית מחלק אותה לשתי זוויות שוות
  3. AD=ADAD = AD — צלע משותפת
  4. AD⊥BCAD \perp BC — נתון
  5. ∠ADB=∠ADC=90∘\angle ADB = \angle ADC = 90^\circ — ישרים מאונכים יוצרים זוויות ישרות
  6. △ABD≅△ACD\triangle ABD \cong \triangle ACD — משפט חפיפה ז.צ.ז
  7. AB=ACAB = AC — צלעות מתאימות במשולשים חופפים שוות

Worked solution:

∠BAD=∠CAD AD=AD ∠ADB=∠ADC\begin{aligned}\angle BAD &= \angle CAD \\ \ AD &= AD \\ \ \angle ADB &= \angle ADC\end{aligned}

זווית, צלע, זווית

△ABD≅△ACD\triangle ABD \cong \triangle ACD

ז.צ.ז

AB=ACAB = AC

צלעות מתאימות

הצלע ADAD נמצאת בין הזווית שב-AA לזווית הישרה שב-DD — בדיוק ז.צ.ז. המסקנה: משולש שבו חוצה הזווית הוא גם גובה — הוא שווה שוקיים.

Check the answer on elev

Exercise 7

ABCD
שני זוגות של צלעות מקבילות. החצים מראים מי מקביל למי.

במרובע ABCDABCD נתון AB∥DCAB \parallel DC ו-AD∥BCAD \parallel BC. הקטע ACAC הוא אלכסון. הוכיחו: AB=CDAB = CD.

  • AB∥DCAB \parallel DC
  • AD∥BCAD \parallel BC

AB=CDAB = CD

Show the answer and the solution
  1. AB∥DCAB \parallel DC — נתון
  2. ∠BAC=∠DCA\angle BAC = \angle DCA — זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים שוות
  3. AC=CAAC = CA — צלע משותפת
  4. AD∥BCAD \parallel BC — נתון
  5. ∠BCA=∠DAC\angle BCA = \angle DAC — זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים שוות
  6. △ABC≅△CDA\triangle ABC \cong \triangle CDA — משפט חפיפה ז.צ.ז
  7. AB=CDAB = CD — צלעות מתאימות במשולשים חופפים שוות

Worked solution:

∠BAC=∠DCA AC=CA ∠BCA=∠DAC\begin{aligned}\angle BAC &= \angle DCA \\ \ AC &= CA \\ \ \angle BCA &= \angle DAC\end{aligned}

זווית, צלע, זווית

△ABC≅△CDA\triangle ABC \cong \triangle CDA

ז.צ.ז

AB=CDAB = CD

צלעות מתאימות

האלכסון חותך שני זוגות של מקבילים, ולכן נותן שני זוגות של זוויות מתחלפות. הצלע ACAC נמצאת ביניהן. כך מוכיחים שבמקבילית הצלעות הנגדיות שוות.

Check the answer on elev

Exercise 8

ABCD
הקשתות מראות את הזוויות השוות.

הנקודות CC ו-DD נמצאות משני צדי הקטע ABAB. נתון: ∠CAB=∠DAB\angle CAB = \angle DAB ו-∠CBA=∠DBA\angle CBA = \angle DBA. הוכיחו: AC=ADAC = AD.

  • ∠CAB=∠DAB\angle CAB = \angle DAB
  • ∠CBA=∠DBA\angle CBA = \angle DBA

AC=ADAC = AD

Show the answer and the solution
  1. ∠CAB=∠DAB\angle CAB = \angle DAB — נתון
  2. AB=ABAB = AB — צלע משותפת
  3. ∠CBA=∠DBA\angle CBA = \angle DBA — נתון
  4. △ABC≅△ABD\triangle ABC \cong \triangle ABD — משפט חפיפה ז.צ.ז
  5. AC=ADAC = AD — צלעות מתאימות במשולשים חופפים שוות

Worked solution:

∠A, AB, ∠B\angle A ,\ AB ,\ \angle B

זווית, צלע משותפת, זווית

△ABC≅△ABD\triangle ABC \cong \triangle ABD

ז.צ.ז

AC=ADAC = AD

צלעות מתאימות

הצלע המשותפת ABAB נמצאת בדיוק בין שתי הזוויות הנתונות — ב-AA וב-BB.

Check the answer on elev

Exercise 9

ABCD
∠CAB=∠DAB=35∘\angle CAB = \angle DAB = 35^\circ, ∠CBA=∠DBA=50∘\angle CBA = \angle DBA = 50^\circ.

באותו שרטוט כמו בתרגיל הקודם: ∠CAB=∠DAB=35∘\angle CAB = \angle DAB = 35^\circ ו-∠CBA=∠DBA=50∘\angle CBA = \angle DBA = 50^\circ. מה גודל ∠ADB\angle ADB (במעלות)?

Show the answer and the solution

Answer: 95

Worked solution:

∠ADB=180∘−35∘−50∘=95∘\begin{aligned}\angle ADB &= 180^\circ - 35^\circ - 50^\circ \\ &= 95^\circ\end{aligned}

סכום הזוויות במשולש

מהחפיפה △ABC≅△ABD\triangle ABC \cong \triangle ABD: הזווית ב-DD מתאימה לזווית ב-CC. ואפשר גם ישירות — מסכום הזוויות במשולש ABDABD.

Check the answer on elev

Exercise 10

בשני משולשים נתון ∠A=∠D\angle A = \angle D, ∠B=∠E\angle B = \angle E ו-AC=DFAC = DF. תלמיד כתב הוכחה. באיזו שורה הטעות?

∠A=∠D(נתון)\angle A = \angle D \quad (\text{נתון})
∠B=∠E(נתון)\angle B = \angle E \quad (\text{נתון})
AC=DF(נתון)AC = DF \quad (\text{נתון})
△ABC≅△DEF(ז.צ.ז)\triangle ABC \cong \triangle DEF \quad (\text{ז.צ.ז})
Show the answer and the solution

Answer: △ABC≅△DEF(ז.צ.ז)\triangle ABC \cong \triangle DEF \quad (\text{ז.צ.ז}) → ∠C=∠F (סכום הזוויות), ואז ז.צ.ז\angle C = \angle F \ (\text{סכום הזוויות}) ,\ \text{ואז ז.צ.ז}

Worked solution:

∠C=180∘−∠A−∠B=∠F\begin{aligned}\angle C &= 180^\circ - \angle A - \angle B \\ &= \angle F\end{aligned}

השורה החסרה

∠A, AC, ∠C\angle A ,\ AC ,\ \angle C

ז.צ.ז

המסקנה נכונה, אבל הנימוק חסר: ACAC אינה בין ∠A\angle A ל-∠B\angle B. צריך שורה נוספת — ∠C=∠F\angle C = \angle F מסכום הזוויות — ורק אז ACAC נמצאת בין ∠A\angle A ל-∠C\angle C.

Check the answer on elev

Exercise 11

ABCDEF
∠A=∠D=40∘\angle A = \angle D = 40^\circ, ∠B=∠E=80∘\angle B = \angle E = 80^\circ, AB=DE=5AB = DE = 5 ס״מ.

ב-△ABC\triangle ABC וב-△DEF\triangle DEF: ∠A=∠D=40∘\angle A = \angle D = 40^\circ, ∠B=∠E=80∘\angle B = \angle E = 80^\circ, AB=DE=5AB = DE = 5 ס״מ. איזו כתיבה נכונה?

  1. המשולשים אינם חופפים
  2. △ABC≅△EDF\triangle ABC \cong \triangle EDF לפי ז.צ.ז
  3. △ABC≅△DEF\triangle ABC \cong \triangle DEF לפי ז.צ.ז
  4. △ABC≅△DEF\triangle ABC \cong \triangle DEF לפי צ.ז.צ
Show the answer and the solution

Answer: C △ABC≅△DEF\triangle ABC \cong \triangle DEF לפי ז.צ.ז

Worked solution:

∠A, AB, ∠B\angle A ,\ AB ,\ \angle B

זווית, צלע, זווית

הצלע ABAB בין ∠A\angle A ל-∠B\angle B, ו-DEDE בין ∠D\angle D ל-∠E\angle E. ההתאמה: A↔DA \leftrightarrow D, B↔EB \leftrightarrow E.

Check the answer on elev

Exercise 12

ב-△ABC\triangle ABC: ∠A=45∘\angle A = 45^\circ, ∠C=75∘\angle C = 75^\circ. נתון △ABC≅△KLM\triangle ABC \cong \triangle KLM. מה גודל ∠L\angle L (במעלות)?

Show the answer and the solution

Answer: 60

Worked solution:

∠B=180∘−45∘−75∘=60∘\begin{aligned}\angle B &= 180^\circ - 45^\circ - 75^\circ \\ &= 60^\circ\end{aligned}

סכום הזוויות

∠L=∠B=60∘\begin{aligned}\angle L &= \angle B \\ &= 60^\circ\end{aligned}

השנייה מול השנייה

שני צעדים: ∠B\angle B מסכום הזוויות, ואחר כך ההתאמה — LL היא האות השנייה, כמו BB.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade