Properties of the isosceles triangle

On elev, this lesson comes with a video, exercises checked instantly and progress tracking.

Practise on elev
Watch the lesson video

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

משולש שווה שוקיים הוא משולש שבו שתי צלעות שוות. שתי הצלעות השוות נקראות שוקיים, והשלישית — בסיס. הקדקוד שביניהן נקרא קדקוד הראש.

מקפלים לאורך הציר

שתי השוקיים שוות. לכן אפשר לקפל את המשולש לאורך הקו שיורד מקדקוד הראש — והקדקוד CC נוחת בדיוק על BB.

AB=ACAB = AC

שתי השוקיים שוות — זו ההגדרה עצמה.

∠B=∠C\angle B = \angle C

זוויות הבסיס שוות. זו התכונה שמשתמשים בה הכי הרבה בהוכחות.

AD⊥BCAD \perp BC

הגובה לבסיס יוצא מקדקוד הראש ומאונך לבסיס.

BD=DCBD = DC

ואותו קטע גם חוצה את הבסיס — הוא גם תיכון.

התכונה הגדולה של המשולש הזה: הגובה, התיכון וחוצה זווית הראש הם אותו קטע אחד בדיוק. בכל משולש אחר אלה שלושה קווים שונים. זה מה שהופך אותו לכל כך נוח בהוכחות — קטע אחד נותן שלושה נתונים.

מה עושה התיכון לבסיס במשולש שווה שוקיים?

Show the answer and the solution

הוא גם גובה וגם חוצה זווית — שלושת הקטעים מתלכדים. רק בשווה שוקיים, ורק אל הבסיס.

למה זוויות הבסיס שוות

הקיפול מראה שזוויות הבסיס שוות. ההוכחה מסבירה למה זה נכון בכל משולש שווה שוקיים, בלי לקפל.

במשולש שווה שוקיים, זוויות הבסיס שוות זו לזו.

נעביר את חוצה זווית הראש ADAD

Show the answer and the solution

בנייה — מותר להעביר קטע בכל שלב

AB=ACAB = AC

Show the answer and the solution

נתון — המשולש שווה שוקיים

∠BAD=∠CAD\angle BAD = \angle CAD

Show the answer and the solution

ADAD הוא חוצה זווית, לפי הבנייה

AD=ADAD = AD

Show the answer and the solution

צלע משותפת לשני המשולשים

△ABD≅△ACD\triangle ABD \cong \triangle ACD

Show the answer and the solution

לפי משפט חפיפה צ.ז.צ

∠B=∠C\angle B = \angle C

Show the answer and the solution

צלעות וזוויות מתאימות במשולשים חופפים שוות

שימו לב מה קרה כאן: הוספנו קטע שלא היה בציור, ובזכותו נוצרו שני משולשים חופפים. זו התבנית החוזרת של כל ההוכחות בפרק הזה.

באיזה משפט חפיפה השתמשנו בהוכחה, ולמה דווקא בו?

Show the answer and the solution

צ.ז.צ: AB=ACAB = AC, הזווית שביניהן נחצתה לשני חצאים שווים, ו-ADAD צלע משותפת. שתי צלעות והזווית שביניהן.

סכום הזוויות — כלי עבודה

בכל משולש סכום הזוויות הוא 180°180°. במשולש שווה שוקיים זה נעשה שימושי במיוחד, כי שתיים מהזוויות שוות — ולכן די בזווית אחת כדי לדעת את כולן.

הטעות שחוזרת בכל תרגיל.

זווית הבסיס=40אז זווית הראש=40\begin{aligned}\text{זווית הבסיס} &= 40 \quad \text{אז זווית הראש} \\ &= 40\end{aligned}
שתי זוויות הבסיס שוות, לא הראש\text{שתי זוויות הבסיס שוות, לא הראש}

הזוויות השוות הן שתי זוויות הבסיס. זווית הראש היא זו שיוצאת דופן.

(180−70):2(180 - 70) : 2
180−70−70180 - 70 - 70

כשנתונה זווית בסיס ולא הראש — מחסרים אותה פעמיים, בלי לחלק.

במשולש שווה שוקיים זווית בסיס אחת 50°. מהי זווית הראש?

Show the answer and the solution

180−50−50=80°180 - 50 - 50 = 80°. זוויות הבסיס שוות — נתון אחד פותח את הכול.

האם במשולש שווה שוקיים זווית בסיס יכולה להיות 90°90°?

Show the answer and the solution

לא. שתי זוויות בסיס של 90°90° כבר נותנות 180°180°, ולזווית הראש לא נשאר כלום. זוויות הבסיס תמיד חדות.

Exercises

Exercise 1

במשולש שווה שוקיים זווית הראש היא 50°50°. מהי כל אחת מזוויות הבסיס (במעלות)?

Show the answer and the solution

Answer: 65

Worked solution:

180−50=130180 - 50 = 130

מה שנשאר לשתי זוויות הבסיס

130:2=65130 : 2 = 65

והן שוות

זווית הראש היא היוצאת דופן — שתי זוויות הבסיס הן השוות.

Check the answer on elev

Exercise 2

במשולש שווה שוקיים זווית בסיס היא 70°70°. מהי זווית הראש (במעלות)?

Show the answer and the solution

Answer: 40

Worked solution:

70+70=14070 + 70 = 140

שתי זוויות הבסיס שוות

180−140=40180 - 140 = 40

ומה שנשאר הוא זווית הראש

כאן לא מחלקים ב-2 — הנתון כבר הוא אחת מהשוות.

Check the answer on elev

Exercise 3

במשולש שווה שוקיים, מה נכון לגבי הגובה מקדקוד הראש?

  1. הוא גם תיכון וגם חוצה זווית
  2. הוא תיכון אך לא חוצה זווית
  3. הוא רק גובה
  4. הוא חוצה זווית אך לא תיכון
Show the answer and the solution

Answer: A הוא גם תיכון וגם חוצה זווית

Worked solution:

AD⊥BCAD \perp BC

גובה

BD=DCBD = DC

וגם תיכון

∠BAD=∠CAD\angle BAD = \angle CAD

וגם חוצה זווית

קטע אחד עם שלושה תפקידים — זו התכונה שהופכת את המשולש הזה לנוח בהוכחות.

Check the answer on elev

Exercise 4

במשולש שווה שוקיים זווית הראש היא 90°90°. מהי כל זווית בסיס (במעלות)?

Show the answer and the solution

Answer: 45

Worked solution:

180−90=90180 - 90 = 90

לשתי זוויות הבסיס

90:2=4590 : 2 = 45

והן שוות

זה משולש שהוא גם שווה שוקיים וגם ישר זווית — שני שמות לאותו משולש.

Check the answer on elev

Exercise 5

במשולש שווה שוקיים, איזה זוג צלעות שווה?

  1. כל שלוש הצלעות
  2. אין צלעות שוות
  3. שתי השוקיים
  4. שוק ובסיס
Show the answer and the solution

Answer: C שתי השוקיים

Worked solution:

AB=ACAB = AC

השוקיים

אם גם הבסיס היה שווה להן, המשולש היה שווה צלעות — מקרה פרטי נוסף.

Check the answer on elev

Exercise 6

במשולש שווה שוקיים זווית הראש 36°. מהי זווית בסיס?

Show the answer and the solution

Answer: 72

Worked solution:

180−36=144180 - 36 = 144

מה שנשאר לשתי זוויות הבסיס יחד

144:2=72144 : 2 = 72

הן שוות — מחלקים בשתיים

במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות. מורידים את זווית הראש מ-180° ומחלקים את השארית לשתיים.

Check the answer on elev

Exercise 7

זווית בסיס 65° — מהי זווית הראש?

Show the answer and the solution

Answer: 50

Worked solution:

180−65−65=50180 - 65 - 65 = 50

שתי זוויות הבסיס שוות — מחסרים את 65 פעמיים

שתי זוויות הבסיס שוות, ולכן מורידים אותה פעמיים מ-180°.

Check the answer on elev

Exercise 8

במשולש שווה שוקיים התיכון לבסיס הוא בהכרח גם…

  1. אלכסון
  2. גובה וחוצה זווית הראש
  3. רק תיכון
  4. חוצה זווית בסיס
Show the answer and the solution

Answer: B גובה וחוצה זווית הראש

Worked solution:

BD=DC⇒AD⊥BC ∠BAD=∠CAD\begin{aligned}BD &= DC \Rightarrow AD \perp BC \\ \ \angle BAD &= \angle CAD\end{aligned}

התיכון לבסיס הוא גם גובה וגם חוצה זווית הראש

זו התכונה שההוכחות אוהבות: קטע אחד, שלושה תפקידים.

Check the answer on elev

Exercise 9

היקף משולש שווה שוקיים 32, והבסיס 12. מהי השוק?

Show the answer and the solution

Answer: 10

Worked solution:

32−12=2032 - 12 = 20

מה שנשאר לשתי השוקיים יחד

20:2=1020 : 2 = 10

השוקיים שוות — מחלקים בשתיים

שתי השוקיים שוות: מורידים את הבסיס מההיקף וחוצים.

Check the answer on elev

Exercise 10

במשולש שווה צלעות — כמה מעלות כל זווית?

  1. תלוי בצלע
  2. 90
  3. 45
  4. 60
Show the answer and the solution

Answer: D 60

Worked solution:

180:3=60180 : 3 = 60

שלוש הזוויות שוות, וסכומן 180°

משולש שווה צלעות הוא שווה שוקיים מכל כיוון: כל זוג זוויות הוא זוג זוויות בסיס. לכן שלושתן שוות, וכל אחת 60°60°.

Check the answer on elev

Exercise 11

ABCD
חוצה הזווית מ-AA פוגש את הבסיס ב-DD.

במשולש שווה-שוקיים ABCABC נתון AB=ACAB = AC. מעבירים את חוצה הזווית ADAD מהקדקוד AA אל הבסיס. הוכיחו: ∠B=∠C\angle B = \angle C — זוויות הבסיס שוות.

  • AB=ACAB = AC
  • ADAD חוצה את ∠A\angle A, כלומר ∠BAD=∠CAD\angle BAD = \angle CAD

∠B=∠C\angle B = \angle C

Show the answer and the solution
  1. AB=ACAB = AC — נתון
  2. ∠BAD=∠CAD\angle BAD = \angle CAD — נתון — ADAD חוצה זווית
  3. AD=ADAD = AD — צלע משותפת לשני המשולשים
  4. △ABD≅△ACD\triangle ABD \cong \triangle ACD — צ.ז.צ — שתי צלעות והזווית שביניהן
  5. ∠B=∠C\angle B = \angle C — זוויות מתאימות במשולשים חופפים
Check the answer on elev

Exercise 12

התאימו כל מקרה למה שהוא אומר

  • AB=ACAB = AC
  • ∠B=∠C\angle B = \angle C
  • AD⊥BCAD \perp BC
  • BD=DCBD = DC
  • הגובה לבסיס יוצא מקדקוד הראש ומאונך לבסיס.
  • ואותו קטע גם חוצה את הבסיס — הוא גם תיכון.
  • זוויות הבסיס שוות. זו התכונה שמשתמשים בה הכי הרבה בהוכחות.
  • שתי השוקיים שוות — זו ההגדרה עצמה.
Show the answer and the solution

Answer: AB=ACAB = AC — שתי השוקיים שוות — זו ההגדרה עצמה. · ∠B=∠C\angle B = \angle C — זוויות הבסיס שוות. זו התכונה שמשתמשים בה הכי הרבה בהוכחות. · AD⊥BCAD \perp BC — הגובה לבסיס יוצא מקדקוד הראש ומאונך לבסיס. · BD=DCBD = DC — ואותו קטע גם חוצה את הבסיס — הוא גם תיכון.

Worked solution:

AB=AC⇒∠B=∠C\begin{aligned}AB &= AC \Rightarrow \angle B \\ &= \angle C\end{aligned}

מההגדרה נובעות כל השאר

ההגדרה היא השוויון של השוקיים. שלוש התכונות האחרות נובעות ממנה — ושתיים מהן הן תפקידים של אותו קטע ADAD.

Check the answer on elev

Exercise 13

במשולש שווה שוקיים אחת מזוויות הבסיס יכולה להיות 95°95°.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

95+95=190>18095 + 95 = 190 > 180

שתי זוויות הבסיס שוות, וכבר יחד עוברות את 180°

הטענה שגויה. זוויות הבסיס תמיד חדות — גם כשזווית הראש קהה.

Check the answer on elev

Exercise 14

במשולש ABCABC נתון AB=ACAB = AC, וזווית בסיס היא 70°70°. דנה חישבה את זווית הראש. שורה אחת שגויה — מצאו אותה.

∠B=70∘\angle B = 70^\circ
∠C=∠B=70∘\begin{aligned}\angle C &= \angle B \\ &= 70^\circ\end{aligned}
∠A=180−70=110∘\begin{aligned}\angle A &= 180 - 70 \\ &= 110^\circ\end{aligned}
Show the answer and the solution

Answer: ∠A=180−70=110∘\angle A = 180 - 70 = 110^\circ → ∠A=180−70−70=40∘\angle A = 180 - 70 - 70 = 40^\circ

Worked solution:

∠B=∠C=70∘\begin{aligned}\angle B &= \angle C \\ &= 70^\circ\end{aligned}

שתי זוויות הבסיס שוות

∠A=180−70−70=40∘\begin{aligned}\angle A &= 180 - 70 - 70 \\ &= 40^\circ\end{aligned}

מחסרים את שתיהן

דנה חיסרה את זווית הבסיס פעם אחת. יש שתי זוויות בסיס, ולכן מחסרים אותה פעמיים.

Check the answer on elev

Exercise 15

מיינו: מה נכון בכל משולש שווה שוקיים, ומה רק לפעמים?

  • נכון תמיד
  • רק לפעמים
  • הבסיס קצר מהשוק
  • התיכון לבסיס מאונך לבסיס
  • התיכון לשוק מאונך לשוק
  • זוויות הבסיס חדות
  • זוויות הבסיס שוות
  • זווית הראש חדה
  • חוצה זווית הראש חוצה את הבסיס
Show the answer and the solution

Answer: זוויות הבסיס שוות — נכון תמיד · התיכון לבסיס מאונך לבסיס — נכון תמיד · חוצה זווית הראש חוצה את הבסיס — נכון תמיד · זוויות הבסיס חדות — נכון תמיד · זווית הראש חדה — רק לפעמים · הבסיס קצר מהשוק — רק לפעמים · התיכון לשוק מאונך לשוק — רק לפעמים

Worked solution:

∠B=∠C<90∘\angle B = \angle C < 90^\circ

זוויות הבסיס שוות, ותמיד חדות

AD⊥BC BD=DC\begin{aligned}AD \perp BC \\ \ BD &= DC\end{aligned}

הקטע לבסיס — גובה, תיכון וחוצה זווית

זווית הראש יכולה להיות קהה, למשל 120°120°, והבסיס יכול להיות ארוך מהשוק. והתכונות של הקטע מדברות על הקטע לבסיס בלבד — לא על התיכון לשוק.

Check the answer on elev

Exercise 16

במשולש שווה שוקיים זווית הראש גדולה ב-30°30° מכל זווית בסיס. מהי זווית הראש, במעלות?

Show the answer and the solution

Answer: 80

Worked solution:

x+x+(x+30)=180x + x + (x + 30) = 180

שתי זוויות בסיס xx, וזווית הראש x+30x + 30

3x=150⇒x=50\begin{aligned}3x &= 150 \Rightarrow x \\ &= 50\end{aligned}

זווית בסיס

50+30=8050 + 30 = 80

זווית הראש

זווית הראש 80°80°. מי שעוצר ב-x=50x = 50 מצא את זווית הבסיס, לא את מה שנשאל.

Check the answer on elev

Exercise 17

במשולש ABCABC נתון AB=ACAB = AC, ו-ADAD הוא הגובה לבסיס BCBC. נתון ∠BAD=25°\angle BAD = 25°. מהי ∠B\angle B, במעלות?

Show the answer and the solution

Answer: 65

Worked solution:

∠ADB=90∘\angle ADB = 90^\circ

ADAD גובה

∠B=180−90−25=65∘\begin{aligned}\angle B &= 180 - 90 - 25 \\ &= 65^\circ\end{aligned}

סכום הזוויות במשולש ABDABD

דרך אחרת: הגובה הוא גם חוצה זווית, ולכן ∠A=50°\angle A = 50° ו-∠B=180−502=65°\angle B = \frac{180 - 50}{2} = 65°.

Check the answer on elev

Exercise 18

במשולש ABCABC נתון AB=ACAB = AC. מקפלים אותו לאורך הגובה ADAD. על איזו נקודה נוחת הקדקוד CC?

  1. על AA
  2. על DD
  3. על אמצע ABAB
  4. על BB
Show the answer and the solution

Answer: D על BB

Worked solution:

DC=DBDC = DB

הגובה הוא גם תיכון

∠ADC=∠ADB=90∘\begin{aligned}\angle ADC &= \angle ADB \\ &= 90^\circ\end{aligned}

הקטע DCDC נח על DBDB

הקטע DCDC נח על DBDB ושווה לו באורכו, ולכן CC נוחת בדיוק על BB.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade