How to prove a triangle is isosceles

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

עד עכשיו ידענו שהמשולש שווה שוקיים והסקנו ממנו מסקנות. עכשיו הכיוון הפוך: יש לנו משולש, ואנחנו צריכים להוכיח שהוא שווה שוקיים.

המשפט ההפוך

הדרך השנייה היא המשפט ההפוך לתכונה שלמדנו. כאן קובעים את הזוויות — ובודקים מה קורה לצלעות.

AB=AC⇒∠B=∠C\begin{aligned}AB &= AC \Rightarrow \angle B \\ &= \angle C\end{aligned}

התכונה: מהצלעות השוות אל הזוויות.

∠B=∠C⇒AB=AC\begin{aligned}\angle B &= \angle C \Rightarrow AB \\ &= AC\end{aligned}

המשפט ההפוך: מהזוויות השוות אל הצלעות שמולן.

זה לא מובן מאליו! ברוב המשפטים בגאומטריה הכיוון ההפוך אינו נכון אוטומטית — צריך להוכיח אותו בנפרד. כאן שני הכיוונים אכן הוכחו, ולכן שניהם מותרים כנימוק.

במשולש ABCABC נתון ∠A=∠B\angle A = \angle B. אילו צלעות שוות?

Show the answer and the solution

הצלעות מול הזוויות השוות: BCBC מול ∠A\angle A, ו-ACAC מול ∠B\angle B. לכן BC=ACBC = AC, וקדקוד הראש הוא CC.

הוכחה לדוגמה

במשולש ABCABC נתון ש-∠B=∠C\angle B = \angle C. הוכיחו שהגובה מ-AA חוצה את BCBC.

∠B=∠C\angle B = \angle C

Show the answer and the solution

נתון

△ABC\triangle ABC שווה שוקיים, AB=ACAB = AC

Show the answer and the solution

משולש שבו שתי זוויות שוות הוא שווה שוקיים

נעביר גובה ADAD אל BCBC

Show the answer and the solution

בנייה

∠ADB=∠ADC=90°\angle ADB = \angle ADC = 90°

Show the answer and the solution

ADAD גובה, לפי הבנייה

AD=ADAD = AD

Show the answer and the solution

צלע משותפת

△ABD≅△ACD\triangle ABD \cong \triangle ACD

Show the answer and the solution

משפט חפיפה צ.צ.ז — הזווית הישרה מול הצלע הגדולה, ABAB

BD=DCBD = DC

Show the answer and the solution

צלעות מתאימות במשולשים חופפים שוות

שימו לב לשלב השני: משם והלאה מותר לנו להשתמש בכל התכונות של שווה שוקיים, כי כבר הוכחנו שהוא כזה. זה הרגע שבו ההוכחה נפתחת.

הטעות הלוגית של הפרק.

נראה שווה שוקיים בציור\text{נראה שווה שוקיים בציור}
נובע מנתון או ממשפט\text{נובע מנתון או ממשפט}

ציור אינו נימוק. שני קטעים שנראים שווים על הדף יכולים להיות שונים ב-2 מילימטרים — והוכחה חייבת להיות נכונה לכל ציור אפשרי.

במשולש שתי זוויות שוות. מה אפשר להסיק על הצלעות?

Show the answer and the solution

הצלעות שמול הזוויות השוות שוות — המשולש שווה שוקיים. זה המשפט ההפוך, וגם הוא כלי הוכחה.

שלושה קטעים, שלוש חפיפות

כמעט כל הוכחה בפרק מעבירה קטע אחד מ-AA אל הבסיס. איזה קטע — זה מה שקובע את משפט החפיפה.

מעבירים במשולש שווה שוקיים את התיכון לבסיס. לפי איזה משפט שני המשולשים חופפים?

Show the answer and the solution

צ.צ.צ: AB=ACAB = AC (נתון), BD=DCBD = DC (תיכון), ו-ADAD משותפת. מהחפיפה: התיכון הוא גם גובה וגם חוצה זווית.

Exercises

Exercise 1

במשולש הוכח ש-∠B=∠C\angle B = \angle C. מה אפשר להסיק?

  1. המשולש שווה צלעות
  2. המשולש ישר זווית
  3. אי אפשר להסיק דבר
  4. המשולש שווה שוקיים
Show the answer and the solution

Answer: D המשולש שווה שוקיים

Worked solution:

∠B=∠C⇒AB=AC\begin{aligned}\angle B &= \angle C \Rightarrow AB \\ &= AC\end{aligned}

משפט: שתי זוויות שוות — משולש שווה שוקיים

זה המשפט ההפוך, והוא נימוק חוקי בהוכחה.

Check the answer on elev

Exercise 2

איזה נימוק אינו מספיק כדי להוכיח שמשולש שווה שוקיים?

  1. שתי צלעות שוות
  2. חפיפה שמובילה לשוויון צלעות
  3. הצלעות נראות שוות בציור
  4. שתי זוויות שוות
Show the answer and the solution

Answer: C הצלעות נראות שוות בציור

Worked solution:

ציור אינו נימוק\text{ציור אינו נימוק}

מדידה אינה הוכחה

הוכחה חייבת להיות נכונה לכל ציור אפשרי, לא רק לזה שעל הדף.

Check the answer on elev

Exercise 3

במשולש שווה שוקיים העבירו את הגובה לבסיס. אילו שני משולשים נוצרו?

  1. משולש ומרובע
  2. שני משולשים שווי שוקיים
  3. שני משולשים דומים אך לא חופפים
  4. שני משולשים חופפים ישרי זווית
Show the answer and the solution

Answer: D שני משולשים חופפים ישרי זווית

Worked solution:

∠ADB=∠ADC=90∘\begin{aligned}\angle ADB &= \angle ADC \\ &= 90^\circ\end{aligned}

כי ADAD גובה

AB=AC AD=AD\begin{aligned}AB &= AC \\ \ AD &= AD\end{aligned}

נתון, וצלע משותפת

△ABD≅△ACD\triangle ABD \cong \triangle ACD

לפי צ.צ.ז — הזווית הישרה מול ABAB, הצלע הגדולה

זו התבנית של כמעט כל הוכחה בפרק: מעבירים את הגובה, ומקבלים חפיפה.

Check the answer on elev

Exercise 4

במשולש שווה שוקיים הבסיס אורכו 14, והגובה אליו חוצה אותו. מהו אורך כל חלק?

Show the answer and the solution

Answer: 7

Worked solution:

14:2=714 : 2 = 7

הגובה לבסיס הוא גם תיכון

רק במשולש שווה שוקיים הגובה חוצה את הבסיס. במשולש רגיל זה לא נכון.

Check the answer on elev

Exercise 5

במשולש נתון ששתי זוויות שוות. מה המשפט שמסיק שהוא שווה שוקיים?

  1. זוויות בסיס שוות
  2. מול זוויות שוות
  3. פיתגורס
  4. סכום זוויות 180
Show the answer and the solution

Answer: B מול זוויות שוות

Worked solution:

∠B=∠C⇒AB=AC\begin{aligned}\angle B &= \angle C \Rightarrow AB \\ &= AC\end{aligned}

המשפט ההפוך

שתי זוויות שוות — ולכן הצלעות שמולן שוות. זה המשפט ההפוך לתכונת זוויות הבסיס.

Check the answer on elev

Exercise 6

להוכחת חפיפה עם צלע משותפת — איזה נימוק כותבים עליה?

  1. «צלע משותפת»
  2. «הגדרת תיכון»
  3. «נתון»
  4. לא צריך נימוק
Show the answer and the solution

Answer: A «צלע משותפת»

Worked solution:

משותפת\text{משותפת}

שווה לעצמה

הקטע ADAD שייך לשני המשולשים, ולכן הוא שווה לעצמו. הנימוק הוא «צלע משותפת» — לא «נתון»: אף אחד לא נתן אותו.

Check the answer on elev

Exercise 7

במשולש שווה שוקיים חוצה זווית הראש חותך את הבסיס באורך 6 מכל צד. מהו הבסיס?

Show the answer and the solution

Answer: 12

Worked solution:

6+6=126 + 6 = 12

החוצה הוא גם תיכון

חוצה זווית הראש הוא גם תיכון, ולכן DD אמצע הבסיס.

Check the answer on elev

Exercise 8

מה מוכיחים כדי להראות ששני קטעים שווים?

  1. שהם מקבילים
  2. שהם נראים שווים
  3. שהם צלעות מתאימות במשולשים חופפים
  4. ששניהם אלכסונים
Show the answer and the solution

Answer: C שהם צלעות מתאימות במשולשים חופפים

Worked solution:

≅\cong

חפיפה — ואז צל״ח

צל״ח: צלעות מתאימות במשולשים חופפים — שוות. הכלי המרכזי של השנה.

Check the answer on elev

Exercise 9

ABCDE
המשולשים ABEABE ו-ACDACD חולקים את הזווית AA.

נתון AB = AC והזווית A משותפת לשני משולשים קטנים בתוך הגדול. איזה תנאי חפיפה מזמין?

  1. צ.צ.צ
  2. ז.צ.ז
  3. אין חפיפה
  4. צ.ז.צ
Show the answer and the solution

Answer: D צ.ז.צ

Worked solution:

צלע-זווית-צלע\text{צלע-זווית-צלע}

הזווית בין שתי הצלעות

AB=ACAB = AC, AE=ADAE = AD, והזווית AA ביניהן בשני המשולשים: צלע, זווית, צלע.

Check the answer on elev

Exercise 10

בהוכחה בת 5 שורות — כמה נימוקים צריך?

Show the answer and the solution

Answer: 5

Worked solution:

55

נימוק לכל שורה

שורה בלי נימוק — ניחוש, לא הוכחה.

Check the answer on elev

Exercise 11

ABCD
המשולש שווה שוקיים, ו-ADAD יורד מהקודקוד אל אמצע הבסיס.

במשולש ABCABC נתון AB=ACAB = AC, ו-ADAD הוא התיכון לבסיס BCBC. הוכיחו: AD⊥BCAD \perp BC.

  • AB=ACAB = AC
  • ADAD תיכון לבסיס BCBC

∠ADB=90∘\angle ADB = 90^\circ

Show the answer and the solution
  1. AB=ACAB = AC — נתון
  2. BD=DCBD = DC — ADAD תיכון — הגדרת תיכון
  3. AD=ADAD = AD — צלע משותפת לשני המשולשים
  4. △ABD≅△ACD\triangle ABD \cong \triangle ACD — משפט חפיפה צ.צ.צ
  5. ∠ADB=∠ADC\angle ADB = \angle ADC — זוויות מתאימות במשולשים חופפים (זמ״ח)
  6. ∠ADB+∠ADC=180∘\angle ADB + \angle ADC = 180^\circ — זוויות צמודות
  7. ∠ADB=90∘\angle ADB = 90^\circ — שתי זוויות שוות שסכומן 180
Check the answer on elev

Exercise 12

ABCD
ADAD מחלק את זווית הראש לשתי זוויות שוות.

במשולש ABCABC נתון AB=ACAB = AC, ו-ADAD חוצה את זווית AA. הוכיחו: BD=DCBD = DC.

  • AB=ACAB = AC
  • ADAD חוצה את ∠BAC\angle BAC

BD=DCBD = DC

Show the answer and the solution
  1. AB=ACAB = AC — נתון
  2. ∠BAD=∠CAD\angle BAD = \angle CAD — ADAD חוצה זווית — הגדרת חוצה זווית
  3. AD=ADAD = AD — צלע משותפת לשני המשולשים
  4. △ABD≅△ACD\triangle ABD \cong \triangle ACD — משפט חפיפה צ.ז.צ
  5. BD=DCBD = DC — צלעות מתאימות במשולשים חופפים (צל״ח)
Check the answer on elev

Exercise 13

ABCD
זוויות הבסיס שוות, ו-ADAD חוצה את זווית הראש.

במשולש ABCABC נתון ∠B=∠C\angle B = \angle C, ו-ADAD חוצה את הזווית AA. הוכיחו: BD=DCBD = DC.

  • ∠B=∠C\angle B = \angle C
  • ADAD חוצה את ∠BAC\angle BAC

BD=DCBD = DC

Show the answer and the solution
  1. ∠B=∠C\angle B = \angle C — נתון
  2. AB=ACAB = AC — מול זוויות שוות מונחות צלעות שוות
  3. ∠BAD=∠CAD\angle BAD = \angle CAD — נתון — ADAD חוצה זווית
  4. AD=ADAD = AD — צלע משותפת לשני המשולשים
  5. △ABD≅△ACD\triangle ABD \cong \triangle ACD — צ.ז.צ — שתי צלעות והזווית שביניהן
  6. BD=DCBD = DC — צלעות מתאימות במשולשים חופפים
Check the answer on elev

Exercise 14

ABCD
ADAD גם תיכון וגם גובה.

במשולש ABCABC הנקודה DD היא אמצע BCBC, ו-AD⊥BCAD \perp BC. הוכיחו: AB=ACAB = AC — המשולש שווה שוקיים.

  • DD אמצע BCBC
  • AD⊥BCAD \perp BC

AB=ACAB = AC

Show the answer and the solution
  1. BD=DCBD = DC — נתון — DD אמצע BCBC
  2. ∠ADB=∠ADC\angle ADB = \angle ADC — נתון — AD⊥BCAD \perp BC, ושתיהן 90°90°
  3. AD=ADAD = AD — צלע משותפת לשני המשולשים
  4. △ABD≅△ACD\triangle ABD \cong \triangle ACD — צ.ז.צ — שתי צלעות והזווית שביניהן
  5. AB=ACAB = AC — צלעות מתאימות במשולשים חופפים
Check the answer on elev

Exercise 15

ABCD

במשולש ABCABC התיכון ADAD לצלע BCBC מאונך לה. לכן AB=ACAB = AC.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

BD=DC ∠ADB=∠ADC AD=AD\begin{aligned}BD &= DC \\ \ \angle ADB &= \angle ADC \\ \ AD &= AD\end{aligned}

שני זוגות צלעות והזווית שביניהן

△ABD≅△ACD⇒AB=AC\triangle ABD \cong \triangle ACD \Rightarrow AB = AC

צ.ז.צ, ואז צלעות מתאימות

הטענה נכונה. תיכון שהוא גם גובה מוכיח שהמשולש שווה שוקיים — זו דרך שלישית להגיע לשוויון הצלעות.

Check the answer on elev

Exercise 16

ABCD

במשולש ABCABC נתון ∠B=∠C\angle B = \angle C, ו-ADAD תיכון לצלע BCBC. סדרו את שורות ההוכחה ש-AD⊥BCAD \perp BC.

  • ∠B=∠C\angle B = \angle C — נתון
  • AB=ACAB = AC — מול זוויות שוות מונחות צלעות שוות
  • AD⊥BCAD \perp BC — במשולש שווה שוקיים התיכון לבסיס הוא גם גובה
  • המשולש שווה שוקיים, ו-ADAD תיכון לבסיס
Show the answer and the solution

Answer: ∠B=∠C\angle B = \angle C — נתון · AB=ACAB = AC — מול זוויות שוות מונחות צלעות שוות · המשולש שווה שוקיים, ו-ADAD תיכון לבסיס · AD⊥BCAD \perp BC — במשולש שווה שוקיים התיכון לבסיס הוא גם גובה

Worked solution:

∠B=∠C⇒AB=AC\begin{aligned}\angle B &= \angle C \Rightarrow AB \\ &= AC\end{aligned}

קודם המשפט ההפוך

AB=AC⇒AD⊥BCAB = AC \Rightarrow AD \perp BC

ורק אחר כך תכונות שווה השוקיים

אי אפשר להשתמש בתכונות של שווה שוקיים לפני שהוכחנו שהמשולש כזה. לכן המשפט ההפוך בא ראשון.

Check the answer on elev

Exercise 17

במשולש ABCABC נתון AB=ACAB = AC, ו-ADAD חוצה את זווית הראש. יואב הוכיח ש-BD=DCBD = DC. שורה אחת שגויה — מצאו אותה.

AB=AC(נתון)AB = AC \quad (\text{נתון})
∠BAD=∠CAD(חוצה זווית)\angle BAD = \angle CAD \quad (\text{חוצה זווית})
AD=AD(צלע משותפת)AD = AD \quad (\text{צלע משותפת})
△ABD≅△ACD(צ.צ.צ)\triangle ABD \cong \triangle ACD \quad (\text{צ.צ.צ})
BD=DC(צלעות מתאימות)BD = DC \quad (\text{צלעות מתאימות})
Show the answer and the solution

Answer: △ABD≅△ACD(צ.צ.צ)\triangle ABD \cong \triangle ACD \quad (\text{צ.צ.צ}) → △ABD≅△ACD(צ.ז.צ)\triangle ABD \cong \triangle ACD \quad (\text{צ.ז.צ})

Worked solution:

AB=AC ∠BAD=∠CAD AD=AD\begin{aligned}AB &= AC \\ \ \angle BAD &= \angle CAD \\ \ AD &= AD\end{aligned}

שתי צלעות והזווית שביניהן

יואב ידע רק שתי צלעות שוות, ABAB ו-ADAD, וזווית אחת. צ.צ.צ דורש שלוש צלעות — וזה בדיוק מה שצריך להוכיח.

Check the answer on elev

Exercise 18

במשולש ABCABC נתון ∠B=∠C=65°\angle B = \angle C = 65°, ו-AB=9AB = 9 ס״מ. מהו אורך ACAC, בס״מ?

Show the answer and the solution

Answer: 9

Worked solution:

∠B=∠C⇒AB=AC\begin{aligned}\angle B &= \angle C \Rightarrow AB \\ &= AC\end{aligned}

מול זוויות שוות מונחות צלעות שוות

AC=9AC = 9

אין כאן מה לחשב: המשפט ההפוך נותן את השוויון ישירות.

Check the answer on elev

Exercise 19

במשולש ABCABC נתון ∠A=40°\angle A = 40° ו-∠B=70°\angle B = 70°. אילו צלעות שוות?

  1. AC=BCAC = BC
  2. AB=BCAB = BC
  3. אין צלעות שוות
  4. AB=ACAB = AC
Show the answer and the solution

Answer: D AB=ACAB = AC

Worked solution:

∠C=180−40−70=70∘\begin{aligned}\angle C &= 180 - 40 - 70 \\ &= 70^\circ\end{aligned}

סכום הזוויות במשולש

∠B=∠C⇒AC=AB\begin{aligned}\angle B &= \angle C \Rightarrow AC \\ &= AB\end{aligned}

ACAC מול ∠B\angle B, ו-ABAB מול ∠C\angle C

הצלעות השוות הן אלה שמול הזוויות השוות — לא אלה שיוצאות מהן.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade