Practice · Formal proof writing · Kita ח

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

עשרה תרגילים על כל הפרק: מבנה ההוכחה (נתון, צ.ל., טענה ונימוק), הנימוקים המותרים, תכנון מהסוף, ומשפט מול המשפט ההפוך לו. מתחילים בקל ומסיימים באתגר.

Exercises

סדרה א — קל

Exercise 1

במשולש

KLM

KL = KM

בשאלה כתוב: «במשולש $KLM$ , $KL = KM$ . הוכיחו ש- $\angle L = \angle M$ ». איפה רושמים את $KL = KM$ לפני הטבלה?

בשורה האחרונה של הטבלה
לא רושמים — זה רואים בציור
בצ.ל.
בנתון

Show the answer and the solution

Answer: D בנתון

Worked solution:

\text{נתון: } KL = KM

מה שהשאלה מסרה

\text{צ.ל.: } \angle L = \angle M

מה שמבקשים להוכיח

$KL = KM$ ניתן בשאלה, ולכן הוא בנתון. $\angle L = \angle M$ הוא הצ.ל.

Check the answer on elev

Exercise 2

בהוכחה מותר לרשום בטור הנימוק: «מדדתי במד-זווית ושתי הזוויות יצאו $40°$ ».

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

\text{נתון} \ ,\ \text{משפט או הגדרה} \ ,\ \text{שורה קודמת}

שלושת המקורות היחידים של נימוק

מדידה אינה הוכחה: השרטוט אינו מדויק, ולפעמים הוא מסולף בכוונה.

Check the answer on elev

Exercise 3

הישרים

PQ

ו-

RS

נחתכים ב-

T

הישרים $PQ$ ו- $RS$ נחתכים בנקודה $T$ . בהוכחה רשמנו את הטענה $\angle PTR = \angle QTS$ . מה הנימוק?

זוויות קודקודיות שוות
סכום זוויות צמודות הוא 180°
זוויות מתחלפות בין מקבילים שוות
נתון

Show the answer and the solution

Answer: A זוויות קודקודיות שוות

Worked solution:

\angle PTR = \angle QTS

שתי הזוויות זו מול זו בנקודת החיתוך

הנימוק: «זוויות קודקודיות שוות». אין כאן מקבילים, והשוויון לא ניתן בשאלה.

Check the answer on elev

סדרה ב — בינוני

Exercise 4

AE

חוצה את הזווית

\angle BAC

נתון: $AE$ חוצה את הזווית $\angle BAC$ . בהוכחה רשמנו את הטענה $\angle BAE = \angle CAE$ . מה הנימוק?

זוויות בסיס במשולש שווה שוקיים שוות
הגדרת חוצה זווית
זוויות קודקודיות שוות
משפט חפיפה צ.ז.צ

Show the answer and the solution

Answer: B הגדרת חוצה זווית

Worked solution:

\text{חוצה זווית} \Rightarrow \text{שתי זוויות שוות}

זה פירוש המילה עצמה

הנימוק הוא ההגדרה: חוצה זווית מחלק את הזווית לשתי זוויות שוות.

Check the answer on elev

Exercise 5

צ.ל.:

AD \parallel BC

. האלכסון

AC

חותך את שניהם.

הצ.ל. הוא $AD \parallel BC$ . מתכננים מהסוף: איזו שורה כדאי להגיע אליה ממש לפני הסוף?

$AD = BC$
סכום הזוויות במשולש הוא 180°
זוג זוויות מתחלפות שוות בין $AD$ ל- $BC$
$AD$ ו- $BC$ נראים מקבילים בציור

Show the answer and the solution

Answer: C זוג זוויות מתחלפות שוות בין $AD$ ל- $BC$

Worked solution:

\text{מתחלפות שוות} \Rightarrow \parallel

המשפט שמסתיים במסקנה «הישרים מקבילים»

שואלים איזה משפט מסיים במקבילות: אם זוויות מתחלפות (או מתאימות) שוות, הישרים מקבילים. שוויון אורכים לא נותן מקבילות.

Check the answer on elev

Exercise 6

מותר לנמק חפיפה של שני משולשים כך: «שתי צלעות שוות, וזווית שמול אחת מהן שווה — ולכן המשולשים חופפים».

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

\text{צ.צ.צ} \ ,\ \text{צ.ז.צ} \ ,\ \text{ז.צ.ז}

משפטי החפיפה שלמדנו

\text{צ.צ.ז} \ \text{— לא תמיד מספיק}

הזווית חייבת להיות כלואה בין שתי הצלעות, או להיות מול הגדולה מבין השתיים (המשפט הרביעי). «זווית שמול אחת מהן» בלבד אינה מספיקה.

Check the answer on elev

Exercise 7

AB = CB

ו-

AD = CD

. הקטע

BD

שייך לשני המשולשים.

נתון: $AB = CB$ ו- $AD = CD$ . צ.ל.: $\triangle ABD \cong \triangle CBD$ . אחרי שתי שורות הנתונים חסרה שורה אחת. מה רושמים בה?

$BD \perp AC$ — נתון
$\angle A = \angle C$ — רואים בציור, ואז צ.ז.צ
לא חסר כלום — שני זוגות מספיקים
$BD = DB$ — צלע משותפת, ואז צ.צ.צ

Show the answer and the solution

Answer: D $BD = DB$ — צלע משותפת, ואז צ.צ.צ

Worked solution:

\begin{aligned}AB &= CB \ \\ \ AD &= CD\end{aligned}

נתון — שני זוגות

BD = DB

צלע משותפת — הזוג השלישי

\triangle ABD \cong \triangle CBD

צ.צ.צ

לחפיפה צריך שלושה זוגות. הצלע $BD$ נמצאת בשני המשולשים, והיא משלימה את צ.צ.צ.

Check the answer on elev

סדרה ג — מאתגר

Exercise 8

המשפט: «במקבילית, האלכסונים חוצים זה את זה». מהו המשפט ההפוך לו?

מרובע שבו האלכסונים חוצים זה את זה הוא מקבילית
במרובע שאינו מקבילית, האלכסונים אינם חוצים זה את זה
במקבילית, האלכסונים שווים זה לזה
במקבילית, האלכסונים מאונכים זה לזה

Show the answer and the solution

Answer: A מרובע שבו האלכסונים חוצים זה את זה הוא מקבילית

Worked solution:

\text{א} \Rightarrow \text{ב}

המשפט: מקבילית ⇐ אלכסונים חוצים

\text{ב} \Rightarrow \text{א}

ההפוך: אלכסונים חוצים ⇐ מקבילית

ההפוך מחליף בין הנתון למסקנה. הוא נכון כאן, אבל צריך הוכחה נפרדת.

Check the answer on elev

Exercise 9

AB = AC

, ו-

BD = CE

על הבסיס.

נתון: $AB = AC$ , והנקודות $D$ ו- $E$ על $BC$ כך ש- $BD = CE$ . צ.ל.: $AD = AE$ . תלמיד כתב את השורות: $AB = AC$ (נתון); $\angle B = \angle C$ (זוויות בסיס במשולש שווה שוקיים שוות); $BD = CE$ (נתון); $\triangle ABD \cong \triangle ACE$ (צ.ז.צ); $AD = AE$ (רואים בציור). איזו שורה פסולה?

השורה $\angle B = \angle C$ — זה לא ניתן בשאלה
השורה $AD = AE$ — הנימוק צריך להיות «צלעות מתאימות במשולשים חופפים»
השורה $BD = CE$ — צריך להוכיח אותה
השורה של החפיפה — צריך צ.צ.צ

Show the answer and the solution

Answer: B השורה $AD = AE$ — הנימוק צריך להיות «צלעות מתאימות במשולשים חופפים»

Worked solution:

\angle B = \angle C

משפט — מותר, גם בלי שהשוויון נתון

\triangle ABD \cong \triangle ACE

צ.ז.צ — הזווית $\angle B$ כלואה בין $AB$ ל- $BD$

AD = AE

צלעות מתאימות במשולשים חופפים שוות

רק הנימוק האחרון פסול: «רואים בציור» אינו נימוק. הטענה עצמה נכונה, והיא נובעת מהחפיפה.

Check the answer on elev

Exercise 10

המשפט «שני משולשים חופפים שווים בשטחם» נכון. גם המשפט ההפוך לו נכון: «שני משולשים שווים בשטחם חופפים».

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

\frac{6 \cdot 4}{2} = 12

משולש ישר זווית שניצביו 6 ו-4

\frac{8 \cdot 3}{2} = 12

משולש ישר זווית אחר, שניצביו 8 ו-3

לשני המשולשים אותו שטח, אבל צלעותיהם שונות — 6 ו-4 מול 8 ו-3 — ולכן הם אינם חופפים. דוגמה נגדית אחת מספיקה: ההפוך של משפט נכון אינו בהכרח נכון.

Check the answer on elev

Exercise 11

זוג צלעות נגדיות מקביל ושווה. האלכסון

AC

מחלק את המרובע לשני משולשים.

במרובע $ABCD$ נתון $AB \parallel CD$ ו- $AB = CD$ . הוכיחו: $BC = DA$ .

$AB \parallel CD$
$AB = CD$

$BC = DA$

Show the answer and the solution

$AB = CD$ — נתון
$AB \parallel CD$ — נתון
$\angle BAC = \angle DCA$ — זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים
$AC = CA$ — צלע משותפת
$\triangle ABC \cong \triangle CDA$ — משפט חפיפה צ.ז.צ
$BC = DA$ — צלעות מתאימות במשולשים חופפים (צל״ח)

Worked solution:

\angle BAC = \angle DCA

מתחלפות, כי $AB \parallel CD$

\triangle ABC \cong \triangle CDA

צ.ז.צ

BC = DA

צלעות מתאימות

המקבילות לא נותנת שוויון בעצמה: היא נותנת זוג זוויות מתחלפות, והוא הזווית שבין $AB$ ל- $AC$ .

Check the answer on elev

Exercise 12

AB = AC

, ו-

AD

חוצה את

\angle A

נתון $AB = AC$ , ו- $AD$ חוצה את $\angle A$ ( $D$ על $BC$ ). צ.ל.: $BD = DC$ . שורה אחת פסולה: מצאו אותה.

{AB = AC} \;|\; \text{נתון}

{\angle BAD = \angle CAD} \;|\; \text{חוצה זווית}

{AD = AD} \;|\; \text{צלע משותפת}

{\triangle ABD \cong \triangle ACD} \;|\; \text{צ.צ.צ}

{BD = DC} \;|\; \text{צלעות מתאימות}

Show the answer and the solution

Answer: ${\triangle ABD \cong \triangle ACD} \;|\; \text{צ.צ.צ}$ → ${\triangle ABD \cong \triangle ACD} \;|\; \text{צ.ז.צ}$

Worked solution:

\begin{aligned}AB &= AC \\ \ \angle BAD &= \angle CAD \\ \ AD &= AD\end{aligned}

שתי צלעות והזווית שביניהן

אין כאן שלוש צלעות: $BD = DC$ הוא מה שצריך להוכיח. יש שתי צלעות וזווית כלואה, ולכן צ.ז.צ.

Check the answer on elev

Exercise 13

התאימו לכל צ.ל. את הכלי שכדאי לנסות קודם.

$AB = CD$ : שתי צלעות שוות
$AB \parallel CD$ : שני ישרים מקבילים
המשולש $ABC$ שווה שוקיים
$\angle 1 = \angle 2$ , בשני ישרים נחתכים

זוויות מתחלפות שוות
זוויות קודקודיות שוות
חפיפת משולשים, ואז צלעות מתאימות
שתי זוויות שוות במשולש

Show the answer and the solution

Answer: $AB = CD$ : שתי צלעות שוות — חפיפת משולשים, ואז צלעות מתאימות · $AB \parallel CD$ : שני ישרים מקבילים — זוויות מתחלפות שוות · המשולש $ABC$ שווה שוקיים — שתי זוויות שוות במשולש · $\angle 1 = \angle 2$ , בשני ישרים נחתכים — זוויות קודקודיות שוות

Worked solution:

\text{צ.ל.} \rightarrow \text{משפט שמסתיים בו}

מתכננים מהסוף

לכל צ.ל. שואלים: איזה משפט מסתיים בטענה כזאת? זה הכלי הראשון לנסות.

Check the answer on elev

Exercises

סדרה א — קל

סדרה ב — בינוני

סדרה ג — מאתגר

Keep practising on elev