Finding the path

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

המבנה כבר ידוע. השאלה האמיתית: מה לרשום בשורות? רוב התלמידים מתחילים מהנתונים, ומקווים להגיע.

הכיוון היעיל הוא ההפוך: מתחילים מהצ.ל.

ארבעה צעדים

11

מסמנים על הציור כל נתון: צלעות שוות בקו, זוויות שוות בקשת, זווית ישרה בריבוע קטן.

22

קוראים את הצ.ל. ושואלים: איזה משפט מסיים במסקנה כזאת?

33

בודקים מה חסר למשפט הזה. אלה בדיוק השורות שצריך להוכיח קודם.

44

רושמים מלמעלה למטה — הנתונים ראשונים, המסקנה אחרונה.

הצ.ל. הוא «AD=AEAD = AE». איזה כלי מסיים כמעט תמיד בשוויון של שתי צלעות?

Show the answer and the solution

חפיפת משולשים. מוכיחים ששני משולשים חופפים, ואז הצלעות שוות כי הן מתאימות במשולשים חופפים.

אם הצ.ל. הוא «שתי צלעות שוות» או «שתי זוויות שוות» — כמעט תמיד הדרך עוברת דרך חפיפת משולשים. מוכיחים חפיפה, ואז הצלעות או הזוויות שוות «כי הן מתאימות במשולשים חופפים».

מתכננים מהסוף

מאיפה מתחילים לתכנן הוכחה?

Show the answer and the solution

מהסוף. מה רוצים להוכיח? איזה משפט נותן בדיוק את זה? ואז — אילו תנאים חסרים לו, וצועדים אחורה עד הנתונים.

במשולש שווה שוקיים ABCABC (AB=ACAB = AC), ADAD הוא תיכון לבסיס. הוכיחו ש-∠B=∠C\angle B = \angle C.

AB=ACAB = AC

ADAD תיכון לבסיס BCBC

∠B=∠C\angle B = \angle C

נתון

BD=DCBD = DC

תיכון חוצה את הצלע שמולו

AD=DAAD = DA

צלע משותפת

△ABD≅△ACD\triangle ABD \cong \triangle ACD

צ.צ.צ

זוויות מתאימות במשולשים חופפים

קראו את הטבלה מלמטה למעלה, וראו איך היא נבנתה: רצינו זוויות שוות ← לכן חיפשנו חפיפה ← לכן אספנו שלוש צלעות. שלוש השורות הראשונות אינן «התחלה» — הן מה שהמשפט בשורה הרביעית דרש.

שימו לב שהשורה האחרונה זהה בדיוק לצ.ל.. זו הבדיקה הפשוטה ביותר שההוכחה הושלמה: אם השורה האחרונה אינה הצ.ל., עוד לא סיימנו.

כותבים מלמעלה למטה

בכתיבה, כל שורה נשענת רק על מה שמעליה. שורה שצריכה שורה אחרת באה אחריה.

לפני שכותבים את השורה הראשונה של הוכחה — מה שואלים?

Show the answer and the solution

שלוש שאלות, אחורה: מה צריך להוכיח? איזה משפט מסיים בדיוק בטענה כזאת? ומה המשפט הזה דורש? מתכננים מהסוף להתחלה — וכותבים מההתחלה לסוף.

Exercises

Exercise 1

הצ.ל. הוא «AB=ACAB = AC». באיזו דרך כדאי לפתוח?

  1. להניח ש-AB=ACAB = AC ולבדוק אם מתקבלת סתירה
  2. להוכיח חפיפת משולשים שבהם הצלעות האלה מתאימות
  3. לחשב את שטח המשולש
  4. למדוד את שתי הצלעות
Show the answer and the solution

Answer: B להוכיח חפיפת משולשים שבהם הצלעות האלה מתאימות

Worked solution:

△1≅△2⇒צלעות מתאימות שוות\triangle_1 \cong \triangle_2 \Rightarrow \text{צלעות מתאימות שוות}

הדרך הסטנדרטית

כמעט כל צ.ל. מהצורה «שתי צלעות שוות» או «שתי זוויות שוות» עובר דרך חפיפה.

Check the answer on elev

Exercise 2

מה תמיד צריכה להיות השורה האחרונה בטבלה?

  1. הציור
  2. שם המשפט שהשתמשנו בו
  3. בדיוק מה שרשום בצ.ל.
  4. הנתון האחרון
Show the answer and the solution

Answer: C בדיוק מה שרשום בצ.ל.

Worked solution:

שורה אחרונה=צ.ל.\text{שורה אחרונה} = \text{צ.ל.}

שם ההוכחה נסגרת

אם השורה האחרונה אינה הצ.ל., ההוכחה לא הסתיימה — גם אם כל השורות נכונות.

Check the answer on elev

Exercise 3

מאיפה מומלץ להתחיל את התכנון של ההוכחה?

  1. מהציור בלבד
  2. מהשורה האמצעית
  3. מהנתון הראשון, ולהמשיך לפי הסדר
  4. מהצ.ל., ולשאול איזה משפט מסתיים במסקנה כזו
Show the answer and the solution

Answer: D מהצ.ל., ולשאול איזה משפט מסתיים במסקנה כזו

Worked solution:

צ.ל.→משפט→מה חסר\text{צ.ל.} \rightarrow \text{משפט} \rightarrow \text{מה חסר}

עובדים אחורה

הנתונים נכתבים ראשונים בטבלה — אבל נבחרים אחרונים בחשיבה.

Check the answer on elev

Exercise 4

ABCD
AB=ACAB = AC, ו-ADAD תיכון לבסיס.

בהוכחה של משולש שווה שוקיים עם תיכון לבסיס, איזה משפט חפיפה מסיים את ההוכחה?

  1. ז.ז
  2. צ.צ.צ
  3. משפט פיתגורס
  4. רק סכום הזוויות במשולש
Show the answer and the solution

Answer: B צ.צ.צ

Worked solution:

AB=ACBD=DCAD=DA\begin{aligned}AB &= AC \\ \quad BD &= DC \\ \quad AD &= DA\end{aligned}

שלוש צלעות שוות בהתאמה

שתי הצלעות מהנתון ומהתיכון, והשלישית היא הצלע המשותפת — לכן צ.צ.צ.

Check the answer on elev

Exercise 5

סימון הנתונים על הציור לפני שמתחילים לכתוב:

  1. אסור במבחן
  2. מספיק כדי לקבל את מלוא הנקודות
  3. עוזר למצוא את הדרך, אבל אינו מחליף נימוק
  4. מיותר לגמרי
Show the answer and the solution

Answer: C עוזר למצוא את הדרך, אבל אינו מחליף נימוק

Worked solution:

ציור→כיוון,לא ראיה\text{ציור} \rightarrow \text{כיוון} ,\quad \text{לא ראיה}

כלי עבודה, לא הצדקה

לסמן — כן, בהחלט. להסתמך על מה שנראה בציור ולא נתון — לא.

Check the answer on elev

Exercise 6

המטרה: להוכיח שוויון זוויות. איזה כלי ראשון שוקלים?

  1. חפיפת משולשים (ואז זמ״ח)
  2. אין כלי
  3. פיתגורס
  4. שטחים
Show the answer and the solution

Answer: A חפיפת משולשים (ואז זמ״ח)

Worked solution:

≅→זמ״ח\cong \rightarrow \text{זמ״ח}

חפיפה, ואז זוויות מתאימות

כדי להוכיח שוויון זוויות, הכלי הראשון הוא חפיפה: מוכיחים שני משולשים חופפים, ומסיקים «זוויות מתאימות במשולשים חופפים».

Check the answer on elev

Exercise 7

לחפיפה חסר זוג שלישי. מה הצעד?

  1. למדוד בסרגל
  2. לחפש צלע משותפת או זוויות קודקודיות
  3. לוותר
  4. להניח שחופפים
Show the answer and the solution

Answer: B לחפש צלע משותפת או זוויות קודקודיות

Worked solution:

צלע משותפת , זוויות קודקודיות\text{צלע משותפת} \ ,\ \text{זוויות קודקודיות}

זוגות שהציור נותן

הצלע המשותפת והזוויות הקודקודיות הן זוגות שהציור נותן בחינם, בלי שום נתון.

Check the answer on elev

Exercise 8

מה כותבים בסוף הוכחה?

  1. סוף
  2. מש״ל
  3. תודה
  4. בערך
Show the answer and the solution

Answer: B מש״ל

Worked solution:

מה שצריך להוכיח\text{מה שצריך להוכיח}

ראשי התיבות של מש״ל

מש״ל — «מה שצריך היה להוכיח». זה מה שסוגר את ההוכחה ומראה שהגענו בדיוק ליעד.

Check the answer on elev

Exercise 9

הוכחה «עובדת» רק במקרה של הציור — טובה?

  1. תלוי במורה
  2. כן
  3. לא
  4. אם הציור מדויק
Show the answer and the solution

Answer: C לא

Worked solution:

לכל ציור\text{לכל ציור}

לא רק לציור שבדף

לא. הוכחה חייבת לעבוד לכל ציור שמקיים את הנתונים, לא רק לזה שבדף.

Check the answer on elev

Exercise 10

שתי דרכי הוכחה שונות לאותה טענה — מצב תקין?

  1. רק אם קצרות
  2. אסור
  3. כן, לגמרי
  4. לא, יש דרך אחת
Show the answer and the solution

Answer: C כן, לגמרי

Worked solution:

✓\checkmark

כל דרך נכונה מתקבלת

כן. לאותה טענה יש לפעמים כמה דרכים, וכל הוכחה נכונה מתקבלת.

Check the answer on elev

Exercise 11

ABCDE
DD ו-EE יושבות על הבסיס, במרחקים שווים מהקצוות.

במשולש ABCABC נתון AB=ACAB = AC. הנקודות DD ו-EE על הבסיס BCBC כך ש-BD=ECBD = EC. הוכיחו: AD=AEAD = AE.

  • AB=ACAB = AC
  • BD=ECBD = EC

AD=AEAD = AE

Show the answer and the solution
  1. AB=ACAB = AC — נתון
  2. ∠B=∠C\angle B = \angle C — זוויות הבסיס במשולש שווה שוקיים שוות
  3. BD=ECBD = EC — נתון
  4. △ABD≅△ACE\triangle ABD \cong \triangle ACE — משפט חפיפה צ.ז.צ
  5. AD=AEAD = AE — צלעות מתאימות במשולשים חופפים (צל״ח)
Check the answer on elev

Exercise 12

התאימו כל מקרה למה שהוא אומר

  • 22
  • 33
  • 44
  • בודקים מה חסר למשפט הזה. אלה בדיוק השורות שצריך להוכיח קודם.
  • קוראים את הצ.ל. ושואלים: איזה משפט מסיים במסקנה כזאת?
  • רושמים מלמעלה למטה — הנתונים ראשונים, המסקנה אחרונה.
Show the answer and the solution

Answer: 22 — קוראים את הצ.ל. ושואלים: איזה משפט מסיים במסקנה כזאת? · 33 — בודקים מה חסר למשפט הזה. אלה בדיוק השורות שצריך להוכיח קודם. · 44 — רושמים מלמעלה למטה — הנתונים ראשונים, המסקנה אחרונה.

Worked solution:

צ.ל.→משפט→מה חסר→כתיבה\text{צ.ל.} \rightarrow \text{משפט} \rightarrow \text{מה חסר} \rightarrow \text{כתיבה}

מתכננים מהסוף, כותבים מההתחלה

קוראים את הצ.ל., מחפשים משפט שמסתיים בו, בודקים מה הוא דורש, ורק אז כותבים מלמעלה למטה.

Check the answer on elev

Exercise 13

סדרו את שלבי התכנון של הוכחה, מהראשון לאחרון.

  • בודקים מה המשפט דורש
  • כותבים את הטבלה מלמעלה למטה
  • מוצאים את מה שהוא דורש בנתונים ובציור
  • מחפשים משפט שמסתיים בצ.ל.
  • קוראים את הצ.ל.
Show the answer and the solution

Answer: קוראים את הצ.ל. · מחפשים משפט שמסתיים בצ.ל. · בודקים מה המשפט דורש · מוצאים את מה שהוא דורש בנתונים ובציור · כותבים את הטבלה מלמעלה למטה

Worked solution:

צ.ל.→משפט→מה חסר\text{צ.ל.} \rightarrow \text{משפט} \rightarrow \text{מה חסר}

מתכננים מהסוף

נתון→⋯→צ.ל.\text{נתון} \rightarrow \dots \rightarrow \text{צ.ל.}

כותבים מההתחלה

החשיבה הולכת מהסוף להתחלה. רק הכתיבה, בצעד האחרון, הולכת מההתחלה לסוף.

Check the answer on elev

Exercise 14

ABCDE
DD ו-EE אמצעי השוקיים.

במשולש ABCABC נתון AB=ACAB = AC. הנקודה DD אמצע ABAB, והנקודה EE אמצע ACAC. הוכיחו: BE=CDBE = CD.

  • AB=ACAB = AC
  • DD אמצע ABAB ו-EE אמצע ACAC

BE=CDBE = CD

Show the answer and the solution
  1. AB=ACAB = AC — נתון
  2. BD=CEBD = CE — חצאים של צלעות שוות (DD ו-EE אמצעים)
  3. ∠DBC=∠ECB\angle DBC = \angle ECB — זוויות הבסיס במשולש שווה שוקיים שוות
  4. BC=CBBC = CB — צלע משותפת
  5. △DBC≅△ECB\triangle DBC \cong \triangle ECB — משפט חפיפה צ.ז.צ
  6. BE=CDBE = CD — צלעות מתאימות במשולשים חופפים (צל״ח)

Worked solution:

BE=CDBE = CD

מהסוף: צלעות מתאימות

△DBC≅△ECB\triangle DBC \cong \triangle ECB

באילו משולשים? אלה שמכילים את BEBE ואת CDCD

BD=CE ∠DBC=∠ECB BC=CB\begin{aligned}BD &= CE \\ \ \angle DBC &= \angle ECB \\ \ BC &= CB\end{aligned}

מה צ.ז.צ דורש

התכנון הלך מהסוף: BEBE ו-CDCD צלעות במשולשים ECBECB ו-DBCDBC, ואת שלושת הזוגות מצאנו בנתונים ובציור.

Check the answer on elev

Exercise 15

בתכנון מהסוף, מותר להשתמש בצ.ל. עצמו כדי למצוא את הזוג השלישי לחפיפה.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

צ.ל.≠נימוק\text{צ.ל.} \neq \text{נימוק}

אותו עוד לא הוכחנו

הצ.ל. הוא היעד, לא כלי בדרך. הזוג השלישי בא מנתון, ממשפט, או מהציור: צלע משותפת, זוויות קודקודיות.

Check the answer on elev

Exercise 16

ABCDE
DD ו-EE על הבסיס, BD=ECBD = EC.

נתון AB=ACAB = AC, ו-BD=ECBD = EC על הבסיס. מתכננים להוכיח AD=AEAD = AE דרך △ABD≅△ACE\triangle ABD \cong \triangle ACE (צ.ז.צ). מה כבר נתון, ומה צריך להסיק קודם?

  • כבר נתון
  • צריך להסיק קודם
  • ∠B=∠C\angle B = \angle C
  • △ABD≅△ACE\triangle ABD \cong \triangle ACE
  • AB=ACAB = AC
  • BD=ECBD = EC
Show the answer and the solution

Answer: AB=ACAB = AC — כבר נתון · BD=ECBD = EC — כבר נתון · ∠B=∠C\angle B = \angle C — צריך להסיק קודם · △ABD≅△ACE\triangle ABD \cong \triangle ACE — צריך להסיק קודם

Worked solution:

∠B=∠C\angle B = \angle C

זוויות הבסיס במשולש שווה שוקיים

△ABD≅△ACE\triangle ABD \cong \triangle ACE

צ.ז.צ

צ.ז.צ דורש זווית בין שתי הצלעות. היא לא נתונה: מסיקים אותה ממשפט זוויות הבסיס, ורק אז את החפיפה.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade