The theorem bank

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

ראינו שנימוק תקף הוא נתון, שורה קודמת או משפט שלמדנו. הרשימה כאן היא המשפטים האלה: מה שמותר לצטט בלי להוכיח.

המשפטים כתובים כאן במילים המדויקות שבהן הם מנוסחים. זו לא קפדנות מיותרת: הנימוק נבדק לפי מה שכתוב, ולכן כדאי להעתיק את הניסוח ולא לנסח מחדש.

הקלידו מילה שאתם רואים בשאלה — אלכסונים, מקביל, שווה שוקיים — והרשימה תצטמצם למשפטים שמדברים עליה.

מצאתם ברשימה משפט שמסתיים בדיוק בצ.ל. שלכם. מה בודקים לפני שכותבים אותו?

Show the answer and the solution

שכל מה שהמשפט דורש כבר כתוב בטבלה, מעליו: נתון, או שורה שכבר הוכחנו.

כמה משפטים מותר לצטט בשמם בלבד, בלי לנסח: משפט פיתגורס, משפט תאלס (וההפוך שלו, והמורחב), משפט חוצה הזווית, ארבעת משפטי החפיפה, משפטי הדמיון, וזווית בין משיק ומיתר.

כל שאר המשפטים: כותבים את הניסוח המדויק.

שתי מלכודות ברשימה עצמה.

חפיפה לפי צ.ז.ז.\text{חפיפה לפי צ.ז.ז.}
להראות שהזווית השלישית שווה, ואז ז.צ.ז.\text{להראות שהזווית השלישית שווה, ואז ז.צ.ז.}

אין משפט חפיפה צ.ז.ז. — זו הערה מפורשת ברשימה הרשמית. מי שמשתמש בו מאבד את כל הסעיף.

«לפי המשפט שלמדנו»\text{«לפי המשפט שלמדנו»}
הניסוח המדויק של המשפט\text{הניסוח המדויק של המשפט}

נימוק חייב לזהות איזה משפט. «כמו שלמדנו» אינו מזהה כלום.

משפט ומשפט הפוך

המשפט ההפוך מחליף בין התנאי למסקנה. «אם א, אז ב» הופך ל«אם ב, אז א».

מה ההבדל בין משפט למשפט הפוך?

Show the answer and the solution

המשפט: מ-א נובע ב. ההפוך: מ-ב נובע א — וצריך הוכחה נפרדת. יש משפטים שההפוך שלהם פשוט לא נכון.

Exercises

Exercise 1

אילו משפטים מותר לצטט בשמם בלבד, בלי לנסח אותם?

  1. פיתגורס, תאלס, חוצה הזווית, משפטי החפיפה והדמיון, וזווית בין משיק ומיתר
  2. אף משפט — תמיד צריך לנסח
  3. כל המשפטים
  4. רק משפט פיתגורס
Show the answer and the solution

Answer: A פיתגורס, תאלס, חוצה הזווית, משפטי החפיפה והדמיון, וזווית בין משיק ומיתר

Worked solution:

רשימה סגורה\text{רשימה סגורה}

כך נקבע ברשימה הרשמית

כל שאר המשפטים — יש לנסח במדויק, במילים שלהם.

Check the answer on elev

Exercise 2

האם קיים משפט חפיפה צ.ז.ז.?

  1. כן, הוא אחד מארבעת משפטי החפיפה
  2. כן, אבל רק במשולש ישר זווית
  3. לא
  4. כן, אבל רק בכיתה ט
Show the answer and the solution

Answer: C לא

Worked solution:

∠3=180°−∠1−∠2\angle_3 = 180° - \angle_1 - \angle_2

סכום הזוויות קובע את השלישית

⇒ז.צ.ז.\Rightarrow \text{ז.צ.ז.}

ואז החפיפה חוקית

זו הערה מפורשת ברשימה הרשמית, ולא דקדוק: צ.ז.ז. אינו משפט. צריך להראות שהזווית השלישית שווה ואז להשתמש בז.צ.ז.

Check the answer on elev

Exercise 3

ABCDPQEF
AB∥CDAB \parallel CD, והישר EFEF חותך את שניהם.

בהוכחה כתבתם «AB∥CDAB \parallel CD ולכן הזוויות שוות». מה חסר?

  1. לצייר את הישרים
  2. שום דבר, זה מספיק
  3. לציין את אורך הצלעות
  4. לציין איזה זוג
Show the answer and the solution

Answer: D לציין איזה זוג

Worked solution:

זוויות מתחלפות בין מקבילים שוות\text{זוויות מתחלפות בין מקבילים שוות}

הניסוח המלא

הנימוק חייב לזהות את המשפט המדויק — «הזוויות שוות» לבדו אינו משפט. מתאימות או מתחלפות

Check the answer on elev

Exercise 4

משפט: «אם שווה צלעות אז שווה זוויות». מהו ההפוך?

  1. אותו משפט
  2. אם שווה זוויות אז שווה צלעות
  3. אין הפוך
  4. אם לא שווה צלעות אז לא שווה זוויות
Show the answer and the solution

Answer: B אם שווה זוויות אז שווה צלעות

Worked solution:

⇐\Leftarrow

מחליפים כיוון

ההפוך מחליף בין התנאי למסקנה: «אם שווה זוויות, אז שווה צלעות». כאן הוא גם נכון, אבל זה משפט נפרד.

Check the answer on elev

Exercise 5

משפט נכון שההפוך שלו שגוי — יש כזה?

  1. כן
  2. רק באלגברה
  3. רק בגאומטריה
  4. לא, הפוך תמיד נכון
Show the answer and the solution

Answer: A כן

Worked solution:

ריבוע⇒מלבן\text{ריבוע} \Rightarrow \text{מלבן}

המשפט נכון

מלבן⇏ריבוע\text{מלבן} \nRightarrow \text{ריבוע}

ההפוך לא נכון: מלבן של 2 על 5 אינו ריבוע

כן. «אם ריבוע, אז מלבן» נכון. «אם מלבן, אז ריבוע» לא נכון.

Check the answer on elev

Exercise 6

ABC
זוויות הבסיס ∠B\angle B ו-∠C\angle C שוות.

זוויות בסיס שוות במשולש. איזה משפט מהבנק מסיק שהוא שווה שוקיים?

  1. סכום זוויות
  2. משפט פיתגורס
  3. המשפט ההפוך לזוויות הבסיס
  4. צ.ז.צ
Show the answer and the solution

Answer: C המשפט ההפוך לזוויות הבסיס

Worked solution:

∠=∠⇒צלעות=\angle = \angle \Rightarrow \text{צלעות} =

מהזוויות אל הצלעות

זהו המשפט ההפוך: לא «שווה שוקיים ⟵ זוויות שוות», אלא הכיוון השני. שני משפטים נפרדים.

Check the answer on elev

Exercise 7

למה חשוב לדעת אם משתמשים במשפט או בהפוך שלו?

  1. ההפוך חזק יותר
  2. זה לא חשוב
  3. כי הם דורשים נתונים שונים
  4. המשפט ארוך יותר
Show the answer and the solution

Answer: C כי הם דורשים נתונים שונים

Worked solution:

⇒≠⇐\Rightarrow \ne \Leftarrow

שני כיוונים, שני משפטים

המשפט מתחיל מצלעות, ההפוך מזוויות — לבחור נכון לפי מה שיש ביד.

Check the answer on elev

Exercise 8

«תיכון חוצה את הצלע» — משפט או הגדרה?

  1. משפט
  2. השערה
  3. נתון
  4. הגדרה
Show the answer and the solution

Answer: D הגדרה

Worked solution:

הגדרת תיכון\text{הגדרת תיכון}

פירוש המילה

זו המשמעות של המילה — לא תוצאה שהוכחה.

Check the answer on elev

Exercise 9

ABCD
AB=ACAB = AC, ו-ADAD חוצה את זווית הראש.

במשולש שווה שוקיים חוצה זווית הראש — מה הוא עוד?

  1. קטע אמצעים
  2. תיכון וגובה לבסיס
  3. אלכסון
  4. רק חוצה
Show the answer and the solution

Answer: B תיכון וגובה לבסיס

Worked solution:

התלכדות\text{התלכדות}

חוצה זווית הראש הוא גם תיכון וגם גובה

במשולש שווה שוקיים חוצה זווית הראש הוא גם תיכון וגם גובה — שלושה תפקידים בקטע אחד. רק שם זה קורה.

Check the answer on elev

Exercise 10

איזה משפט נותן שוויון צלעות בלי חפיפה?

  1. פיתגורס
  2. ז.צ.ז
  3. מול זוויות שוות צלעות שוות
  4. צ.צ.צ
Show the answer and the solution

Answer: C מול זוויות שוות צלעות שוות

Worked solution:

∠⇒צלע\angle \Rightarrow \text{צלע}

במשולש אחד

במשולש אחד: מול זוויות שוות יש צלעות שוות. אין צורך בשני משולשים ובחפיפה.

Check the answer on elev

Exercise 11

ABCDE
שני קטעים נמתחים מקצות הבסיס אל הנקודות DD ו-EE.

במשולש ABCABC נתון AB=ACAB = AC. הנקודה DD על ABAB והנקודה EE על ACAC, כך ש-AD=AEAD = AE. הוכיחו: BE=CDBE = CD.

  • AB=ACAB = AC
  • AD=AEAD = AE

BE=CDBE = CD

Show the answer and the solution
  1. AB=ACAB = AC — נתון
  2. AD=AEAD = AE — נתון
  3. ∠A=∠A\angle A = \angle A — זווית משותפת לשני המשולשים
  4. △ABE≅△ACD\triangle ABE \cong \triangle ACD — משפט חפיפה צ.ז.צ
  5. BE=CDBE = CD — צלעות מתאימות במשולשים חופפים (צל״ח)
Check the answer on elev

Exercise 12

מיינו: הגדרה או משפט?

  • הגדרה
  • משפט
  • גובה מאונך לצלע שמולו
  • זוויות הבסיס במשולש שווה שוקיים שוות
  • זוויות קודקודיות שוות
  • חוצה זווית מחלק אותה לשתי זוויות שוות
  • סכום הזוויות במשולש הוא 180°
  • תיכון חוצה את הצלע שמולו
Show the answer and the solution

Answer: תיכון חוצה את הצלע שמולו — הגדרה · גובה מאונך לצלע שמולו — הגדרה · חוצה זווית מחלק אותה לשתי זוויות שוות — הגדרה · זוויות קודקודיות שוות — משפט · סכום הזוויות במשולש הוא 180° — משפט · זוויות הבסיס במשולש שווה שוקיים שוות — משפט

Worked solution:

הגדרה=פירוש המילה\text{הגדרה} = \text{פירוש המילה}

משפט = תוצאה שהוכחה

הגדרה אומרת מה המילה מתארת. משפט הוא תוצאה שמישהו הוכיח, ומאז מותר לצטט אותה.

Check the answer on elev

Exercise 13

אם משפט נכון, גם המשפט ההפוך לו נכון תמיד.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

קודקודיות⇒שוות\text{קודקודיות} \Rightarrow \text{שוות}

המשפט נכון

שוות⇏קודקודיות\text{שוות} \nRightarrow \text{קודקודיות}

ההפוך לא נכון

זוויות הבסיס במשולש שווה שוקיים שוות, ואינן קודקודיות. דוגמה נגדית אחת מספיקה.

Check the answer on elev

Exercise 14

התאימו לכל משפט את המשפט ההפוך לו.

  • אם במשולש שתי צלעות שוות, אז הזוויות שמולן שוות
  • אם שני ישרים מקבילים, אז הזוויות המתחלפות ביניהם שוות
  • אם מרובע הוא מקבילית, אז האלכסונים שלו חוצים זה את זה
  • אם במשולש שתי זוויות שוות, אז הצלעות שמולן שוות
  • אם האלכסונים של מרובע חוצים זה את זה, אז הוא מקבילית
  • אם זוויות מתחלפות בין שני ישרים שוות, אז הישרים מקבילים
Show the answer and the solution

Answer: אם במשולש שתי צלעות שוות, אז הזוויות שמולן שוות — אם במשולש שתי זוויות שוות, אז הצלעות שמולן שוות · אם שני ישרים מקבילים, אז הזוויות המתחלפות ביניהם שוות — אם זוויות מתחלפות בין שני ישרים שוות, אז הישרים מקבילים · אם מרובע הוא מקבילית, אז האלכסונים שלו חוצים זה את זה — אם האלכסונים של מרובע חוצים זה את זה, אז הוא מקבילית

Worked solution:

א⇒ב\text{א} \Rightarrow \text{ב}

המשפט

ב⇒א\text{ב} \Rightarrow \text{א}

ההפוך

בכל זוג, מה שהיה «אז» עובר ל«אם». שלושת ההפוכים כאן נכונים, וכל אחד הוא משפט נפרד.

Check the answer on elev

Exercise 15

במשפט החפיפה צ.צ.ז, הזווית השווה נמצאת מול הצלע הגדולה מבין שתי הצלעות.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

צ.צ.ז\text{צ.צ.ז}

זווית מול הצלע הגדולה

נכון. כשהזווית מול הצלע הקטנה, ייתכנו שני משולשים שונים, ואין חפיפה.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade