Pythagoras in space

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

עד עכשיו כל המשולשים שכבו על הדף. אבל בתיבה (קופסה, חדר, ארון) יש זוויות ישרות בכל פינה.

ולכן גם בתוך תיבה מסתתרים משולשים ישרי זווית, ופיתגורס עובד גם במרחב.

שני סוגי אלכסונים

אלכסון פאה מחבר שני קודקודים של אותה פאה. הוא שוכב על הקיר, על הרצפה או על התקרה.

אלכסון התיבה מחבר שני קודקודים שאינם על אותה פאה. הוא עובר דרך פנים התיבה, מפינה לפינה הנגדית.

כמה אלכסוני תיבה יש בתיבה אחת?

Show the answer and the solution

4. מכל אחד מ-8 הקודקודים יוצא אלכסון אחד, וכל אלכסון נספר פעמיים: 8:2=48 : 2 = 4.

אלכסון התיבה בשני משולשים

אין משולש אחד שמכיל את אלכסון התיבה ושתי צלעות ידועות. לכן עוברים דרך משולש עזר על הרצפה.

תיבה: אורך 4 ס״מ, רוחב 3 ס״מ, גובה 12 ס״מ. מה אורך אלכסון התיבה?

שני משולשים, זה אחר זה.

d12=42+32=25→d1=5\begin{aligned}d_1^2 &= 4^2 + 3^2 \\ &= 25 \rightarrow d_1 \\ &= 5\end{aligned}

על הרצפה: אלכסון הרצפה

d2=d12+122=25+144=169\begin{aligned}d^2 &= d_1^2 + 12^2 \\ &= 25 + 144 \\ &= 169\end{aligned}

במשולש העומד: אלכסון הרצפה והגובה הם הניצבים

d=169=13 ס״מ\begin{aligned}d &= \sqrt{169} \\ &= 13 \text{ ס״מ}\end{aligned}

ושורש

d2=a2+b2+c2d^2 = a^2 + b^2 + c^2

שלוש המידות, כל אחת בריבוע, ביחד

לא חייבים להוציא שורש באמצע: d12=25d_1^2 = 25 נכנס ישר לחישוב השני.

שתי הטעויות של התיבה.

d2=a2+b2d^2 = a^2 + b^2
d2=a2+b2+c2d^2 = a^2 + b^2 + c^2

עצרו באמצע: זה רק אלכסון הרצפה, התחנה הראשונה.

d=a+b+cd = a + b + c
d=a2+b2+c2d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}

כמו במישור: מחברים ריבועים, ובסוף שורש.

קובייה שצלעה 1 ס״מ. מה אורך אלכסון הקובייה?

Show the answer and the solution

d2=1+1+1=3d^2 = 1 + 1 + 1 = 3, ולכן d=3≈1.73d = \sqrt{3} \approx 1.73 ס״מ.

בעיות מהחיים: קופסאות וחדרים

מקל בקופסה, חוט בחדר: הקטע הארוך ביותר בתיבה הוא תמיד אלכסון התיבה, מפינה לפינה הנגדית.

חרוט ופירמידה: הגובה הנסתר

בחרוט ישר, הגובה יורד מהקודקוד אל מרכז הבסיס, מאונך לבסיס.

חרוט: רדיוס הבסיס 6 ס״מ, הגובה 8 ס״מ. מה המרחק מהקודקוד אל שפת הבסיס?

הגובה והרדיוס הם הניצבים.

s2=82+62=64+36=100\begin{aligned}s^2 &= 8^2 + 6^2 \\ &= 64 + 36 \\ &= 100\end{aligned}

מחברים

s=10 ס״מs = 10 \text{ ס״מ}

ושורש

פירמידה שבסיסה ריבוע של 10 ס״מ, וגובהה 12 ס״מ. מה הגובה של פאה צדדית (מהקודקוד אל אמצע צלע הבסיס)?

Show the answer and the solution

13 ס״מ: הניצבים הם הגובה, 12, וחצי צלע הבסיס, 5. 144+25=169144 + 25 = 169.

Exercises

Exercise 1

רצפה של חדר היא מלבן של 4 מטר על 3 מטר. מה אורך האלכסון של הרצפה, במטרים?

Show the answer and the solution

Answer: 5

Worked solution:

AC2=42+32=25\begin{aligned}AC^2 &= 4^2 + 3^2 \\ &= 25\end{aligned}

הרצפה היא מלבן: אורך ורוחב הם הניצבים

AC=5 מטרAC = 5 \text{ מטר}

שורש

אלכסון הרצפה הוא אלכסון פאה: הוא לא צריך את הגובה בכלל.

Check the answer on elev

Exercise 2

תיבה: אורך 6 ס״מ, רוחב 8 ס״מ, גובה 24 ס״מ. מה אורך אלכסון התיבה, בס״מ?

Show the answer and the solution

Answer: 26

Worked solution:

d12=62+82=100→d1=10\begin{aligned}d_1^2 &= 6^2 + 8^2 \\ &= 100 \rightarrow d_1 \\ &= 10\end{aligned}

קודם אלכסון הרצפה

d2=102+242=676\begin{aligned}d^2 &= 10^2 + 24^2 \\ &= 676\end{aligned}

ואז המשולש העומד

d=26 ס״מd = 26 \text{ ס״מ}

שורש

שתי שלשות ברצף: 6,8,106, 8, 10 ואז 10,24,2610, 24, 26.

Check the answer on elev

Exercise 3

קובייה שצלעה 2 ס״מ. מה אורך אלכסון הקובייה, בס״מ? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה)

Show the answer and the solution

Answer: 3.46

Worked solution:

d2=22+22+22=12\begin{aligned}d^2 &= 2^2 + 2^2 + 2^2 \\ &= 12\end{aligned}

שלוש המידות שוות

d=12≈3.46 ס״מd = \sqrt{12} \approx 3.46 \text{ ס״מ}

שורש

אלכסון הקובייה ארוך מהצלע, אבל קצר משלוש צלעות יחד (6 ס״מ).

Check the answer on elev

Exercise 4

תיבה: אורך 5 ס״מ, רוחב 3 ס״מ, גובה 12 ס״מ. מה אורך האלכסון של הפאה הקדמית (אורך וגובה), בס״מ?

Show the answer and the solution

Answer: 13

Worked solution:

AB′2=52+122=169\begin{aligned}AB'^2 &= 5^2 + 12^2 \\ &= 169\end{aligned}

הפאה הקדמית היא מלבן של 5 על 12

AB′=13 ס״מAB' = 13 \text{ ס״מ}

שורש

הרוחב, 3 ס״מ, לא משתתף: האלכסון שוכב כולו על הפאה הקדמית.

Check the answer on elev

Exercise 5

בתיבה שבשרטוט, איזה קטע הוא אלכסון התיבה?

  1. A′C′A'C'
  2. AC′AC'
  3. ACAC
  4. AB′AB'
Show the answer and the solution

Answer: B AC′AC'

Worked solution:

A למטה מקדימה,C′ למעלה מאחורA \text{ למטה מקדימה}, \quad C' \text{ למעלה מאחור}

אין פאה שמכילה את שניהם

ACAC ו-A′C′A'C' הם אלכסוני הרצפה והתקרה, AB′AB' אלכסון של הפאה הקדמית. רק AC′AC' עובר דרך פנים התיבה.

Check the answer on elev

Exercise 6

מיינו את הקטעים של התיבה שבשרטוט

  • אלכסון פאה
  • אלכסון התיבה
  • A′C′A'C'
  • AB′AB'
  • AC′AC'
  • ACAC
  • BD′BD'
  • DB′DB'
Show the answer and the solution

Answer: ACAC — אלכסון פאה · AC′AC' — אלכסון התיבה · BD′BD' — אלכסון התיבה · A′C′A'C' — אלכסון פאה · AB′AB' — אלכסון פאה · DB′DB' — אלכסון התיבה

Worked solution:

AC′,  BD′,  DB′AC',\; BD',\; DB'

מחברים קודקודים שאין להם פאה משותפת

בדיקה מהירה: אלכסון התיבה משנה גם צד, גם עומק וגם גובה. אלכסון פאה משנה רק שניים מהם.

Check the answer on elev

Exercise 7

נפח של תיבה הוא 576 סמ״ק. האורך 6 ס״מ והרוחב 8 ס״מ. מה הגובה, בס״מ?

Show the answer and the solution

Answer: 12

Worked solution:

V=6×8×c=48c\begin{aligned}V &= 6 \times 8 \times c \\ &= 48c\end{aligned}

נפח: אורך כפול רוחב כפול גובה

c=576:48=12 ס״מ\begin{aligned}c &= 576 : 48 \\ &= 12 \text{ ס״מ}\end{aligned}

מחלקים

שלב ראשון של שאלה ארוכה: בלי הגובה אי אפשר להגיע לאלכסון התיבה.

Check the answer on elev

Exercise 8

באותה תיבה (6 ס״מ, 8 ס״מ, 12 ס״מ): מה אורך אלכסון הרצפה, בס״מ?

Show the answer and the solution

Answer: 10

Worked solution:

AC2=62+82=100\begin{aligned}AC^2 &= 6^2 + 8^2 \\ &= 100\end{aligned}

הרצפה: 6 על 8

AC=10 ס״מAC = 10 \text{ ס״מ}

שורש

שוב השלשה 6,8,106, 8, 10.

Check the answer on elev

Exercise 9

ובאותה תיבה (6 ס״מ, 8 ס״מ, 12 ס״מ): מה אורך אלכסון התיבה, בס״מ? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה)

Show the answer and the solution

Answer: 15.62

Worked solution:

d2=102+122=100+144=244\begin{aligned}d^2 &= 10^2 + 12^2 \\ &= 100 + 144 \\ &= 244\end{aligned}

אלכסון הרצפה והגובה הם הניצבים

d=244≈15.62 ס״מd = \sqrt{244} \approx 15.62 \text{ ס״מ}

שורש

בדיקת היגיון: אלכסון התיבה ארוך מכל מידה ומאלכסון הרצפה, וקצר מ-6+8+126 + 8 + 12.

Check the answer on elev

Exercise 10

קופסה באורך 120 ס״מ, ברוחב 30 ס״מ ובגובה 40 ס״מ. מה אורך המקל הארוך ביותר שנכנס לקופסה, בס״מ?

Show the answer and the solution

Answer: 130

Worked solution:

d12=1202+302=14400+900=15300\begin{aligned}d_1^2 &= 120^2 + 30^2 \\ &= 14400 + 900 \\ &= 15300\end{aligned}

אלכסון הרצפה

d2=15300+402=16900\begin{aligned}d^2 &= 15300 + 40^2 \\ &= 16900\end{aligned}

ועוד הגובה בריבוע

d=16900=130 ס״מ\begin{aligned}d &= \sqrt{16900} \\ &= 130 \text{ ס״מ}\end{aligned}

שורש

המקל הארוך ביותר שוכב לאורך אלכסון התיבה, מפינה לפינה הנגדית.

Check the answer on elev

Exercise 11

מקל באורך 125 ס״מ אי אפשר להכניס לקופסה של 120 ס״מ על 30 ס״מ על 40 ס״מ, כי הוא ארוך מהקופסה.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

125<130125 < 130

אלכסון התיבה ארוך מהמקל

לא נכון: לאורך הקופסה המקל לא נכנס, אבל באלכסון התיבה יש 130 ס״מ, והוא נכנס.

Check the answer on elev

Exercise 12

חדר באורך 4 מטר, ברוחב 3 מטר ובגובה 2.4 מטר. עכביש הולך בקו ישר (באוויר, על חוט) מפינה ברצפה אל הפינה הנגדית בתקרה. כמה מטרים הוא עובר? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה)

Show the answer and the solution

Answer: 5.55

Worked solution:

d12=42+32=25\begin{aligned}d_1^2 &= 4^2 + 3^2 \\ &= 25\end{aligned}

אלכסון הרצפה: 5 מטר

d2=25+2.42=25+5.76=30.76\begin{aligned}d^2 &= 25 + 2.4^2 \\ &= 25 + 5.76 \\ &= 30.76\end{aligned}

ועוד הגובה בריבוע

d=30.76≈5.55 מטרd = \sqrt{30.76} \approx 5.55 \text{ מטר}

שורש

גם עם מספרים עשרוניים: מרבעים, מחברים, ובסוף שורש.

Check the answer on elev

Exercise 13

סדרו את השלבים לחישוב אלכסון התיבה

  • מזהים את המשולש ישר הזווית שעל הרצפה
  • מזהים משולש שני: אלכסון הרצפה והגובה
  • מחברים את הגובה בריבוע ומוציאים שורש
  • מחשבים את ריבוע אלכסון הרצפה
Show the answer and the solution

Answer: מזהים את המשולש ישר הזווית שעל הרצפה · מחשבים את ריבוע אלכסון הרצפה · מזהים משולש שני: אלכסון הרצפה והגובה · מחברים את הגובה בריבוע ומוציאים שורש

Worked solution:

d12=a2+b2d_1^2 = a^2 + b^2

משולש ראשון

d2=d12+c2d^2 = d_1^2 + c^2

משולש שני

תמיד שני משולשים, זה אחר זה. אלכסון הרצפה הוא הגשר ביניהם.

Check the answer on elev

Exercise 14

השלימו

תיבה של 2 ס״מ, 3 ס״מ ו-6 ס״מ: d12=4+9=d_1^2 = 4 + 9 = ____, אחר כך d2=13+36=d^2 = 13 + 36 = ____, ולכן אלכסון התיבה הוא ____ ס״מ.

Show the answer and the solution

Answer: תיבה של 2 ס״מ, 3 ס״מ ו-6 ס״מ: d12=4+9=d_1^2 = 4 + 9 = 13, אחר כך d2=13+36=d^2 = 13 + 36 = 49, ולכן אלכסון התיבה הוא 7 ס״מ.

Worked solution:

d12=13d_1^2 = 13

לא מוציאים שורש באמצע

d2=13+36=49→d=7\begin{aligned}d^2 &= 13 + 36 \\ &= 49 \rightarrow d \\ &= 7\end{aligned}

רק בסוף

d1=13d_1 = \sqrt{13} אינו שלם, אבל לא צריך אותו: ממשיכים עם d12=13d_1^2 = 13.

Check the answer on elev

Exercise 15

חרוט: רדיוס הבסיס 5 ס״מ והגובה 12 ס״מ. מה המרחק מהקודקוד אל שפת הבסיס (הקו היוצר), בס״מ?

Show the answer and the solution

Answer: 13

Worked solution:

s2=122+52=169\begin{aligned}s^2 &= 12^2 + 5^2 \\ &= 169\end{aligned}

הגובה מאונך לבסיס

s=13 ס״מs = 13 \text{ ס״מ}

שורש

בחתך של החרוט מסתתר משולש ישר זווית: גובה, רדיוס, וקו יוצר.

Check the answer on elev

Exercise 16

חרוט: הקו היוצר 10 ס״מ ורדיוס הבסיס 6 ס״מ. מה גובה החרוט, בס״מ?

Show the answer and the solution

Answer: 8

Worked solution:

h2=102−62=64\begin{aligned}h^2 &= 10^2 - 6^2 \\ &= 64\end{aligned}

הקו היוצר הוא היתר: מחסרים

h=8 ס״מh = 8 \text{ ס״מ}

שורש

גם במרחב: מחפשים ניצב, מחסרים.

Check the answer on elev

Exercise 17

ABCDSOM
AB=10AB = 10 ס״מ, SO=12SO = 12 ס״מ, SM=?SM = ?

פירמידה שבסיסה ריבוע ABCDABCD שצלעו 10 ס״מ, וגובהה SO=12SO = 12 ס״מ. MM אמצע הצלע ABAB. מה אורך SMSM, גובה הפאה, בס״מ?

Show the answer and the solution

Answer: 13

Worked solution:

OM=10:2=5\begin{aligned}OM &= 10 : 2 \\ &= 5\end{aligned}

מהמרכז אל אמצע הצלע: חצי צלע

SM2=122+52=169\begin{aligned}SM^2 &= 12^2 + 5^2 \\ &= 169\end{aligned}

במשולש SOMSOM, הזווית ב-OO ישרה

SM=13 ס״מSM = 13 \text{ ס״מ}

שורש

המשולש SOMSOM עומד בתוך הפירמידה. כמו בגובה של משולש שווה שוקיים: חצי צלע.

Check the answer on elev

Exercise 18

התאימו כל מושג להסבר שלו

  • אלכסון פאה
  • אלכסון התיבה
  • משולש העזר
  • המשולש העומד
  • אלכסון הרצפה והגובה הם ניצבים
  • מחבר שני קודקודים של אותה פאה
  • עובר דרך פנים התיבה, לפינה הנגדית
  • שוכב על הרצפה: האורך והרוחב הם ניצבים
Show the answer and the solution

Answer: אלכסון פאה — מחבר שני קודקודים של אותה פאה · אלכסון התיבה — עובר דרך פנים התיבה, לפינה הנגדית · משולש העזר — שוכב על הרצפה: האורך והרוחב הם ניצבים · המשולש העומד — אלכסון הרצפה והגובה הם ניצבים

Worked solution:

d2=a2+b2+c2d^2 = a^2 + b^2 + c^2

שני המשולשים יחד

שני משולשים ישרי זווית, ואלכסון הרצפה הוא הצלע המשותפת שלהם.

Check the answer on elev

Exercise 19

קובייה שצלעה 5 ס״מ. מה אורך אלכסון הקובייה?

  1. 50≈7.07\sqrt{50} \approx 7.07 ס״מ
  2. 75 ס״מ
  3. 15 ס״מ
  4. 75≈8.66\sqrt{75} \approx 8.66 ס״מ
Show the answer and the solution

Answer: D 75≈8.66\sqrt{75} \approx 8.66 ס״מ

Worked solution:

d2=25+25+25=75\begin{aligned}d^2 &= 25 + 25 + 25 \\ &= 75\end{aligned}

שלוש המידות

d=75≈8.66 ס״מd = \sqrt{75} \approx 8.66 \text{ ס״מ}

שורש

50\sqrt{50} הוא אלכסון של פאה, התחנה הראשונה. 15 הוא סכום הצלעות, ו-75 שכח את השורש.

Check the answer on elev

Exercise 20

בכל תיבה, אלכסון התיבה ארוך מהאלכסון של כל אחת מהפאות שלה.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

d2=d12+c2>d12d^2 = d_1^2 + c^2 > d_1^2

אלכסון התיבה הוא יתר

נכון: אלכסון הפאה הוא ניצב במשולש העומד, ואלכסון התיבה הוא היתר שלו.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade