Distance, diagonal, height, triples

On elev, this lesson comes with a video, exercises checked instantly and progress tracking.

Practise on elev
Watch the lesson video

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

פיתגורס מסתתר בכל מקום שיש בו זווית ישרה: בדף משבצות, באלכסון של מלבן, בגובה של משולש.

בכל בעיה עושים אותו דבר: מוצאים את המשולש ישר הזווית, ורק אז מחשבים.

המרחק בין שתי נקודות

על דף משבצות, הדרך הקצרה בין שתי נקודות היא קו ישר. סופרים משבצות לרוחב ולגובה: אלה הניצבים.

נקודה אחת זזה 6 משבצות לרוחב ו-8 משבצות לגובה מהנקודה השנייה. מה המרחק ביניהן?

Show the answer and the solution

10 משבצות: 62+82=36+64=1006^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100, ושורש. זו השלשה 3,4,53, 4, 5 כפול 2.

אלכסון של מלבן

אלכסון חוצה את המלבן לשני משולשים ישרי זווית. האורך והרוחב הם הניצבים, והאלכסון הוא היתר.

גודל של מסך נמדד תמיד באלכסון. מסך של 50 אינץ׳ הוא רק 40 אינץ׳ לרוחב.

הגובה במשולש שווה שוקיים

במשולש שווה שוקיים, הגובה לבסיס חוצה את הבסיס. נוצרים שני משולשים ישרי זווית.

ABCH
בכל חצי: השוק היא היתר, חצי הבסיס והגובה הם הניצבים.

השוקיים הן 13 ס״מ, והבסיס 10 ס״מ. מהו הגובה לבסיס?

קודם חוצים את הבסיס, ואז מחסרים.

BH=10:2=5\begin{aligned}BH &= 10 : 2 \\ &= 5\end{aligned}

הגובה חוצה את הבסיס

h2=132−52=169−25=144\begin{aligned}h^2 &= 13^2 - 5^2 \\ &= 169 - 25 \\ &= 144\end{aligned}

במשולש AHCAHC: השוק היא היתר

h=144=12 ס״מ\begin{aligned}h &= \sqrt{144} \\ &= 12 \text{ ס״מ}\end{aligned}

ושורש

הטעות של חצי הבסיס.

h2=132−102h^2 = 13^2 - 10^2
h2=132−52h^2 = 13^2 - 5^2

במשולש ישר הזווית יושב רק חצי מהבסיס. הבסיס כולו לא נוגע בזווית הישרה.

גם במעוין יש ארבעה משולשים ישרי זווית: האלכסונים מאונכים, וחוצים זה את זה.

ABCDO
האלכסונים 16 ס״מ ו-12 ס״מ. במשולש BOCBOC: ניצבים 8 ו-6, ולכן הצלע 10 ס״מ.

אלכסוני מעוין הם 10 ס״מ ו-24 ס״מ. מה אורך הצלע?

Show the answer and the solution

13 ס״מ: חצאי האלכסונים הם 5 ו-12, ו-25+144=16925 + 144 = 169. בלי לחצות, יוצא שגוי.

שלשות פיתגוריות

שלשה פיתגורית היא שלושה מספרים שלמים שמקיימים a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2.

3, 4, 53,\ 4,\ 5

הכי מוכרת

5, 12, 135,\ 12,\ 13
8, 15, 178,\ 15,\ 17
7, 24, 257,\ 24,\ 25

כל כפולה של שלשה היא שלשה: 30,40,5030, 40, 50 היא 3,4,53, 4, 5 כפול 10. מי שמזהה, חוסך את החישוב.

שורש שאינו שלם: בין אילו מספרים?

40\sqrt{40} אינו מספר שלם. אבל 36<40<4936 < 40 < 49, ולכן 6<40<76 < \sqrt{40} < 7.

75\sqrt{75} נמצא בין שני מספרים שלמים עוקבים. מה הם?

Show the answer and the solution

בין 8 ל-9: 64<75<8164 < 75 < 81. וקרוב יותר ל-9, כי 75 קרוב יותר ל-81.

Exercises

Exercise 1

בשרטוט שתי נקודות על דף משבצות. כל משבצת היא 1 ס״מ. כמה סנטימטרים יש בין AA ל-BB בקו ישר?

Show the answer and the solution

Answer: 5

Worked solution:

רוחב=3גובה=4\begin{aligned}\text{רוחב} &= 3 \\ \quad \text{גובה} &= 4\end{aligned}

סופרים משבצות לאורך הניצבים

AB=32+42=25=5 ס״מ\begin{aligned}AB &= \sqrt{3^2 + 4^2} \\ &= \sqrt{25} \\ &= 5 \text{ ס״מ}\end{aligned}

ושורש

לא סופרים משבצות לאורך הקו הנטוי: הוא חוצה אותן באלכסון. סופרים רק לרוחב ולגובה.

Check the answer on elev

Exercise 2

כל משבצת בשרטוט היא 1 ס״מ. כמה סנטימטרים יש בין AA ל-BB בקו ישר?

Show the answer and the solution

Answer: 13

Worked solution:

רוחב=12גובה=5\begin{aligned}\text{רוחב} &= 12 \\ \quad \text{גובה} &= 5\end{aligned}

סופרים

AB=144+25=169=13 ס״מ\begin{aligned}AB &= \sqrt{144 + 25} \\ &= \sqrt{169} \\ &= 13 \text{ ס״מ}\end{aligned}

השלשה 5,12,135, 12, 13

מציירים בראש את שני הניצבים, גם כשהשרטוט לא מראה אותם.

Check the answer on elev

Exercise 3

כל משבצת בשרטוט היא 1 ס״מ. מה המרחק בין AA ל-BB בקו ישר?

  1. 5≈2.24\sqrt{5} \approx 2.24 ס״מ
  2. 5 ס״מ
  3. 13≈3.61\sqrt{13} \approx 3.61 ס״מ
  4. 13 ס״מ
Show the answer and the solution

Answer: C 13≈3.61\sqrt{13} \approx 3.61 ס״מ

Worked solution:

רוחב=2גובה=3\begin{aligned}\text{רוחב} &= 2 \\ \quad \text{גובה} &= 3\end{aligned}

סופרים

AB=4+9=13≈3.61\begin{aligned}AB &= \sqrt{4 + 9} \\ &= \sqrt{13} \approx 3.61\end{aligned}

שורש

5 ס״מ הוא הדרך לאורך הקווים (2+32 + 3), לא הקו הישר. 13 הוא AB2AB^2 בלי שורש.

Check the answer on elev

Exercise 4

חצר מלבנית שאורכה 21 מטר ורוחבה 20 מטר. מה אורך האלכסון של החצר, במטרים?

Show the answer and the solution

Answer: 29

Worked solution:

d2=212+202=441+400=841\begin{aligned}d^2 &= 21^2 + 20^2 \\ &= 441 + 400 \\ &= 841\end{aligned}

האורך והרוחב הם הניצבים

d=841=29 מטר\begin{aligned}d &= \sqrt{841} \\ &= 29 \text{ מטר}\end{aligned}

האלכסון הוא היתר

כל מלבן מסתיר שני משולשים ישרי זווית. האלכסון ארוך מכל צלע, וקצר מסכום שתיהן.

Check the answer on elev

Exercise 5

רוחב של מסך הוא 48 אינץ׳ וגובהו 36 אינץ׳. באיזה «גודל» מוכרים אותו, כלומר מה אורך האלכסון, באינצ׳ים?

Show the answer and the solution

Answer: 60

Worked solution:

d2=482+362=2304+1296=3600\begin{aligned}d^2 &= 48^2 + 36^2 \\ &= 2304 + 1296 \\ &= 3600\end{aligned}

רוחב וגובה הם הניצבים

d=3600=60 אינץ׳\begin{aligned}d &= \sqrt{3600} \\ &= 60 \text{ אינץ׳}\end{aligned}

זה «הגודל» של המסך

36,48,6036, 48, 60 היא 3,4,53, 4, 5 כפול 12.

Check the answer on elev

Exercise 6

ABCH
AB=AC=10AB = AC = 10 ס״מ, BC=12BC = 12 ס״מ, AHAH הגובה

משולש שווה שוקיים: השוקיים 10 ס״מ והבסיס 12 ס״מ. מה אורך הגובה לבסיס, בס״מ?

Show the answer and the solution

Answer: 8

Worked solution:

HC=12:2=6\begin{aligned}HC &= 12 : 2 \\ &= 6\end{aligned}

הגובה חוצה את הבסיס

h2=102−62=64\begin{aligned}h^2 &= 10^2 - 6^2 \\ &= 64\end{aligned}

השוק היא היתר

h=8 ס״מh = 8 \text{ ס״מ}

שורש

מי שחיסר 102−12210^2 - 12^2 קיבל מספר שלילי: הבסיס כולו לא נמצא במשולש ישר הזווית.

Check the answer on elev

Exercise 7

ABCH
AB=AC=17AB = AC = 17 ס״מ, AH=15AH = 15 ס״מ, BC=?BC = ?

משולש שווה שוקיים: השוקיים 17 ס״מ והגובה לבסיס 15 ס״מ. מה אורך הבסיס כולו, בס״מ?

Show the answer and the solution

Answer: 16

Worked solution:

HC2=172−152=289−225=64\begin{aligned}HC^2 &= 17^2 - 15^2 \\ &= 289 - 225 \\ &= 64\end{aligned}

מחסרים

HC=8HC = 8

זה רק חצי הבסיס

BC=2×8=16 ס״מ\begin{aligned}BC &= 2 \times 8 \\ &= 16 \text{ ס״מ}\end{aligned}

כופלים ב-2

הטעות הנפוצה: לעצור ב-8. פיתגורס נותן את חצי הבסיס.

Check the answer on elev

Exercise 8

ABCDO
אלכסונים: AC=24AC = 24 ס״מ, BD=18BD = 18 ס״מ

אלכסוני מעוין הם 18 ס״מ ו-24 ס״מ. מה אורך צלע המעוין, בס״מ?

Show the answer and the solution

Answer: 15

Worked solution:

OB=9OC=12\begin{aligned}OB &= 9 \\ \quad OC &= 12\end{aligned}

האלכסונים חוצים זה את זה

BC2=92+122=225\begin{aligned}BC^2 &= 9^2 + 12^2 \\ &= 225\end{aligned}

זווית ישרה ב-OO

BC=15 ס״מBC = 15 \text{ ס״מ}

שורש

בלי לחצות את האלכסונים יוצא 182+242=30\sqrt{18^2 + 24^2} = 30: כפול מהתשובה.

Check the answer on elev

Exercise 9

ABCDO
צלע 1313 ס״מ, BD=10BD = 10 ס״מ, AC=?AC = ?

צלע מעוין היא 13 ס״מ, ואחד האלכסונים הוא 10 ס״מ. מה אורך האלכסון השני, בס״מ?

Show the answer and the solution

Answer: 24

Worked solution:

OB=5OB = 5

חצי האלכסון הידוע

OC2=132−52=144→OC=12\begin{aligned}OC^2 &= 13^2 - 5^2 \\ &= 144 \rightarrow OC \\ &= 12\end{aligned}

הצלע היא היתר

AC=2×12=24 ס״מ\begin{aligned}AC &= 2 \times 12 \\ &= 24 \text{ ס״מ}\end{aligned}

ומכפילים

חוצים בהתחלה, ומכפילים בסוף. שתי הפעולות שוכחים בקלות.

Check the answer on elev

Exercise 10

סולם באורך 13 מטר נשען על קיר, וראשו נוגע בקיר בגובה 12 מטר. כמה מטרים רגל הסולם רחוקה מהקיר?

Show the answer and the solution

Answer: 5

Worked solution:

d2=132−122=169−144=25\begin{aligned}d^2 &= 13^2 - 12^2 \\ &= 169 - 144 \\ &= 25\end{aligned}

הסולם הוא היתר: מחסרים

d=5 מטרd = 5 \text{ מטר}

שורש

הפעם הניצב החסר הוא על הרצפה, לא על הקיר. החישוב זהה.

Check the answer on elev

Exercise 11

פארק מלבני, 80 מטר על 60 מטר. נועה הולכת מפינה לפינה הנגדית: פעם לאורך שתי הצלעות, ופעם בשביל באלכסון. בכמה מטרים השביל באלכסון קצר יותר?

Show the answer and the solution

Answer: 40

Worked solution:

80+60=14080 + 60 = 140

לאורך הצלעות

802+602=10000=100\begin{aligned}\sqrt{80^2 + 60^2} &= \sqrt{10000} \\ &= 100\end{aligned}

באלכסון

140−100=40 מטר140 - 100 = 40 \text{ מטר}

ההפרש

שאלה בשני שלבים: פיתגורס נותן את האלכסון, ורק אחר כך משווים לדרך הארוכה.

Check the answer on elev

Exercise 12

מיינו: אילו שלשות הן שלשות פיתגוריות?

  • שלשה פיתגורית
  • לא שלשה
  • 10,24,2610, 24, 26
  • 12,16,2012, 16, 20
  • 20,21,2920, 21, 29
  • 4,6,84, 6, 8
  • 5,10,155, 10, 15
  • 7,8,97, 8, 9
  • 9,12,159, 12, 15
Show the answer and the solution

Answer: 9,12,159, 12, 15 — שלשה פיתגורית · 12,16,2012, 16, 20 — שלשה פיתגורית · 10,24,2610, 24, 26 — שלשה פיתגורית · 4,6,84, 6, 8 — לא שלשה · 5,10,155, 10, 15 — לא שלשה · 20,21,2920, 21, 29 — שלשה פיתגורית · 7,8,97, 8, 9 — לא שלשה

Worked solution:

92+122=225=152\begin{aligned}9^2 + 12^2 &= 225 \\ &= 15^2\end{aligned}

3,4,53,4,5 כפול 3

42+62=52≠644^2 + 6^2 = 52 \ne 64

2,3,42,3,4 כפול 2: לא שלשה

202+212=841=292\begin{aligned}20^2 + 21^2 &= 841 \\ &= 29^2\end{aligned}

שלשה בפני עצמה

כפולה של שלשה היא שלשה. אבל כפולה של שלושה מספרים שאינם שלשה (2,3,42, 3, 4) לא הופכת לשלשה.

Check the answer on elev

Exercise 13

התאימו כל שלשה לשלשה הבסיסית שהיא כפולה שלה

  • 15,20,2515, 20, 25
  • 10,24,2610, 24, 26
  • 16,30,3416, 30, 34
  • 14,48,5014, 48, 50
  • כפולה של 3,4,53, 4, 5
  • כפולה של 5,12,135, 12, 13
  • כפולה של 7,24,257, 24, 25
  • כפולה של 8,15,178, 15, 17
Show the answer and the solution

Answer: 15,20,2515, 20, 25 — כפולה של 3,4,53, 4, 5 · 10,24,2610, 24, 26 — כפולה של 5,12,135, 12, 13 · 16,30,3416, 30, 34 — כפולה של 8,15,178, 15, 17 · 14,48,5014, 48, 50 — כפולה של 7,24,257, 24, 25

Worked solution:

152025=5×(3,4,5)\begin{aligned}15 \\ 20 \\ 25 &= 5 \times (3, 4, 5)\end{aligned}

מחלקים במחלק המשותף

163034=2×(8,15,17)\begin{aligned}16 \\ 30 \\ 34 &= 2 \times (8, 15, 17)\end{aligned}

מחלקים את שלושת המספרים באותו מספר, עד שמזהים שלשה מוכרת.

Check the answer on elev

Exercise 14

השלימו בכל שורה את שני המספרים השלמים העוקבים

____ <7<< \sqrt{7} < ____, וגם ____ <38<< \sqrt{38} < ____, וגם ____ <11<< \sqrt{11} < ____

Show the answer and the solution

Answer: 2 <7<< \sqrt{7} < 3, וגם 6 <38<< \sqrt{38} < 7, וגם 3 <11<< \sqrt{11} < 4

Worked solution:

4<7<94 < 7 < 9

ולכן 2<7<32 < \sqrt{7} < 3

36<38<4936 < 38 < 49

ולכן 6<38<76 < \sqrt{38} < 7

9<11<169 < 11 < 16

ולכן 3<11<43 < \sqrt{11} < 4

מחפשים את שני הריבועים השלמים שסביב המספר שתחת השורש.

Check the answer on elev

Exercise 15

סדרו מהקטן לגדול

  • 196\sqrt{196}
  • 400\sqrt{400}
  • 1515
  • 1717
  • 1919
  • 88
Show the answer and the solution

Answer: 88 · 196\sqrt{196} · 1515 · 1717 · 1919 · 400\sqrt{400}

Worked solution:

196=14400=20\begin{aligned}\sqrt{196} &= 14 \\ \quad \sqrt{400} &= 20\end{aligned}

קודם מוציאים את השורשים

שורש של ריבוע שלם הוא מספר שלם רגיל: 196=14\sqrt{196} = 14, ולכן הוא בין 8 ל-15.

Check the answer on elev

Exercise 16

ABCD
ריבוע ששטחו 144 סמ״ר; האלכסון AC=?AC = ?

שטח של ריבוע הוא 144 סמ״ר. מה אורך האלכסון שלו, בס״מ? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה)

Show the answer and the solution

Answer: 16.97

Worked solution:

a=144=12 ס״מ\begin{aligned}a &= \sqrt{144} \\ &= 12 \text{ ס״מ}\end{aligned}

קודם הצלע, מתוך השטח

AC2=122+122=288\begin{aligned}AC^2 &= 12^2 + 12^2 \\ &= 288\end{aligned}

האלכסון הוא היתר

AC=288≈16.97 ס״מAC = \sqrt{288} \approx 16.97 \text{ ס״מ}

שורש

שני שורשים שונים בשאלה אחת: הראשון נותן את הצלע מהשטח, השני את האלכסון.

Check the answer on elev

Exercise 17

ABCDE
AB=9AB = 9 ס״מ, DC=14DC = 14 ס״מ, AD=12AD = 12 ס״מ, AB∥DCAB \parallel DC

טרפז ישר זווית ABCDABCD: AB=9AB = 9 ס״מ, DC=14DC = 14 ס״מ, והגובה AD=12AD = 12 ס״מ. מורידים גובה BEBE. מה אורך השוק BCBC, בס״מ?

Show the answer and the solution

Answer: 13

Worked solution:

BE=AD=12\begin{aligned}BE &= AD \\ &= 12\end{aligned}

הגובה BEBE שווה ל-ADAD

EC=14−9=5\begin{aligned}EC &= 14 - 9 \\ &= 5\end{aligned}

מה שנשאר מהבסיס הארוך

BC2=122+52=169→BC=13 ס״מ\begin{aligned}BC^2 &= 12^2 + 5^2 \\ &= 169 \rightarrow BC \\ &= 13 \text{ ס״מ}\end{aligned}

במשולש BECBEC

הגובה BEBE חותך מהטרפז משולש ישר זווית. בלעדיו אין משולש לעבוד בו.

Check the answer on elev

Exercise 18

ABCDE
AB=9AB = 9 ס״מ, DC=14DC = 14 ס״מ, AD=12AD = 12 ס״מ, AB∥DCAB \parallel DC

באותו טרפז (AB=9AB = 9, DC=14DC = 14, AD=12AD = 12, BC=13BC = 13, הכול בס״מ): מה ההיקף של הטרפז, בס״מ?

Show the answer and the solution

Answer: 48

Worked solution:

P=9+13+14+12=48 ס״מ\begin{aligned}P &= 9 + 13 + 14 + 12 \\ &= 48 \text{ ס״מ}\end{aligned}

מחברים את ארבע הצלעות

פיתגורס השלים את הצלע החסרה. ההיקף עצמו מחבר צלעות, לא ריבועים.

Check the answer on elev

Exercise 19

בכל מלבן, האלכסון ארוך מהצלע הארוכה של המלבן.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

d2=a2+b2>b2d^2 = a^2 + b^2 > b^2

האלכסון הוא היתר

נכון: האלכסון הוא היתר של משולש ישר זווית, ויתר ארוך מכל ניצב.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade