Where the 30-60-90 comes from

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

משולש הזהב אינו צורה מיוחדת שמישהו המציא. הוא בדיוק חצי משולש שווה צלעות — וברגע שרואים את זה, גם הזוויות וגם יחס הצלעות מובנים מאליהם.

מאיפה הזוויות

במשולש שווה צלעות כל הזוויות הן 60 מעלות. כשמורידים גובה:

90°90°

הגובה מאונך לבסיס — וזו הזווית הישרה.

60°60°

זווית הבסיס נשארת כמו שהייתה. הגובה לא נגע בה.

30°30°

וזווית הראש נחצית — כי במשולש שווה צלעות הגובה הוא גם חוצה זווית. חצי מ-60 הוא 30.

בדיקה: 90+60+30=18090 + 60 + 30 = 180. הזוויות מסתדרות, וזה לא במקרה — הן נובעות מהחיתוך.

ומאיפה יחס הצלעות

נסמן את צלע המשולש שווה הצלעות ב-2x. הגובה חוצה את הבסיס, ולכן חצי הבסיס הוא x.

2x2x

היתר — הוא צלע של המשולש המקורי, ולא השתנה.

xx

הצלע מול ה-30° — חצי הבסיס.

x3x\sqrt{3}

והגובה עצמו — יוצא מפיתגורס.

(2x)2−x2=4x2−x2=3x2=x3\begin{aligned}\sqrt{(2x)^2 - x^2} &= \sqrt{4x^2 - x^2} \\ &= \sqrt{3x^2} \\ &= x\sqrt{3}\end{aligned}

ומכאן היחס שכדאי לזכור בעל פה: 1 : √3 : 2 — מול ה-30, מול ה-60, ומול ה-90.

הסדר לא שרירותי: הצלע הגדולה יושבת מול הזווית הגדולה. 30 מקבל את 1, 60 מקבל את √3 (בערך 1.73), ו-90 מקבל את 2.

במשולש זהב, הצלע מול ה-30° היא 5. מה אורך היתר?

Show the answer and the solution

10. היתר הוא תמיד פי 2 מהצלע שמול ה-30 — כי הוא היה צלע של שווה הצלעות, וזו הייתה חציה.

ובאותו משולש — מה אורך הצלע מול ה-60°?

Show the answer and the solution

535\sqrt{3}, בערך 8.66. זה הגובה של המשולש שווה הצלעות המקורי.

מדוע הצלע מול ה-30 היא בדיוק מחצית היתר?

Show the answer and the solution

כי היא חצי הבסיס של שווה הצלעות, והיתר הוא צלע שלמה — ובשווה צלעות הבסיס והצלע שווים. חצי מול שלם.

שתי הטעויות של משולש הזהב.

הצלע מול 60°=2x\text{הצלע מול } 60° = 2x
=x3= x\sqrt{3}

פי 2 שייך ליתר, מול הזווית הישרה. מול ה-60 יושב שורש 3.

כל משולש ישר זווית הוא משולש זהב\text{כל משולש ישר זווית הוא משולש זהב}
רק אם יש בו זווית של 30°\text{רק אם יש בו זווית של 30°}

בלי זווית של 30 (או 60) היחסים האלה אינם תקפים כלל.

Exercises

Exercise 1

במשולש זהב, הצלע מול ה-30° היא 5. מה אורך היתר?

Show the answer and the solution

Answer: 10

Worked solution:

5×2=105 \times 2 = 10

היתר פי 2

כי היא חצי הבסיס והיתר צלע שלמה.

Check the answer on elev

Exercise 2

ובאותו משולש — מה אורך הצלע מול ה-60°? (עגלו לשתי ספרות)

Show the answer and the solution

Answer: 8.66

Worked solution:

53≈8.665\sqrt{3} \approx 8.66

זה הגובה של שווה הצלעות המקורי.

Check the answer on elev

Exercise 3

היתר במשולש זהב הוא 14. מה אורך הצלע מול ה-30°?

Show the answer and the solution

Answer: 7

Worked solution:

14:2=714 : 2 = 7

מחצית היתר

הכיוון ההפוך — חילוק.

Check the answer on elev

Exercise 4

צלע משולש שווה צלעות היא 12. מה אורך הגובה שלו? (עגלו לשתי ספרות)

Show the answer and the solution

Answer: 10.39

Worked solution:

12:2=612 : 2 = 6

חצי הבסיס

63≈10.396\sqrt{3} \approx 10.39

הגובה הוא הצלע מול ה-60 בחצי המשולש.

Check the answer on elev

Exercise 5

כמה זוויות של 60° יש במשולש שווה צלעות?

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

180:3=60180 : 3 = 60

וכשחוצים אותו, אחת מהן נחצית ל-30.

Check the answer on elev

Exercise 6

מדוע הגובה במשולש שווה צלעות הוא גם חוצה זווית?

  1. הוא לא — זו טעות
  2. זו הגדרה
  3. כי הוא שווה שוקיים מכל קודקוד
  4. רק במקרה
Show the answer and the solution

Answer: C כי הוא שווה שוקיים מכל קודקוד

Worked solution:

שווה שוקיים⇒גובה=חוצה=תיכון\begin{aligned}\text{שווה שוקיים} \Rightarrow \text{גובה} &= \text{חוצה} \\ &= \text{תיכון}\end{aligned}

ומכאן שזווית הראש נחצית ל-30.

Check the answer on elev

Exercise 7

מהו יחס הצלעות במשולש זהב, לפי סדר הזוויות 30, 60, 90?

  1. 1:2:31 : 2 : \sqrt{3}
  2. 1:3:21 : \sqrt{3} : 2
  3. 1:2:31 : 2 : 3
  4. 2:3:12 : \sqrt{3} : 1
Show the answer and the solution

Answer: B 1:3:21 : \sqrt{3} : 2

Worked solution:

1:3:21 : \sqrt{3} : 2

הצלע הגדולה מול הזווית הגדולה — תמיד.

Check the answer on elev

Exercise 8

במשולש 30-60-90 היתר 14. הניצב מול 30?

Show the answer and the solution

Answer: 7

Worked solution:

14:2=714 : 2 = 7

חצי היתר

Check the answer on elev

Exercise 9

הניצב מול 30 הוא 4.5 — מהו היתר?

Show the answer and the solution

Answer: 9

Worked solution:

4.5×2=94.5 \times 2 = 9

הניצב שמול 30° שווה למחצית היתר — משפט שחוסך את כל החישוב.

Check the answer on elev

Exercise 10

חצי משולש שווה צלעות שצלעו 12: מהו הניצב הקצר?

Show the answer and the solution

Answer: 6

Worked solution:

12:2=612 : 2 = 6

הגובה חוצה את הבסיס

משולש הזהב הוא חצי שווה-צלעות — משם כל תכונותיו.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade