The median to the hypotenuse

On elev, this lesson comes with a video, exercises checked instantly and progress tracking.

Practise on elev
Watch the lesson video

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

זהו אחד המשפטים הקצרים והשימושיים ביותר: במשולש ישר זווית, התיכון אל היתר שווה לחצי היתר.

CM=AB2CM = \frac{AB}{2}

למה זה נכון

ההסבר הוא המעגל: כל משולש ישר זווית «יושב» על מעגל שהיתר שלו הוא הקוטר. אמצע היתר הוא לכן מרכז המעגל, ושלושת הקודקודים נמצאים עליו — במרחק רדיוס אחד. התיכון הוא בדיוק הרדיוס הזה, כלומר חצי קוטר.

זה גם מסביר עובדה שנראית מוזרה: אמצע היתר נמצא במרחק שווה משלושת הקודקודים. שלוש נקודות על מעגל אחד — אותו רדיוס לכולן.

המשפט ההפוך

גם הכיוון ההפוך נכון, והוא דרך הוכחה מלאה: אם במשולש התיכון לצלע שווה למחצית אותה צלע — אז המשולש ישר זווית, והזווית הישרה נמצאת מול אותה צלע.

שימוש ישיר

במשולש ישר זווית היתר הוא 26. מהו התיכון אליו?

CM=262CM = \frac{26}{2}

לפי המשפט

CM=13CM = 13

וזהו — בלי פיתגורס ובלי אורכי הניצבים

התיכון הנכון.

כל תיכון=12הצלע שמולו\text{כל תיכון} = \tfrac{1}{2} \text{הצלע שמולו}
רק התיכון ליתר\text{רק התיכון ליתר}

המשפט מדבר אך ורק על התיכון אל היתר. שני התיכונים האחרים במשולש הזה אינם מקיימים אותו.

במשולש ישר זווית היתר 10. מה אורך התיכון ליתר?

Show the answer and the solution

5 — חצי היתר, תמיד. זו התכונה המיוחדת של התיכון ליתר במשולש ישר זווית.

ולמה זה נכון?

Show the answer and the solution

כי התיכון ליתר שווה למרחק מכל שלושת הקודקודים — הוא רדיוס המעגל החוסם, שמרכזו באמצע היתר.

Exercises

Exercise 1

במשולש ישר זווית היתר הוא 18. מהו התיכון אליו?

Show the answer and the solution

Answer: 9

Worked solution:

CM=182=9\begin{aligned}CM &= \frac{18}{2} \\ &= 9\end{aligned}

המשפט: התיכון ליתר שווה למחציתו

בלי פיתגורס ובלי אורכי הניצבים — המשפט מספיק לבדו.

Check the answer on elev

Exercise 2

התיכון ליתר במשולש ישר זווית הוא 7.5. מהו היתר?

Show the answer and the solution

Answer: 15

Worked solution:

7.5=AB27.5 = \frac{AB}{2}

מציבים במשפט

AB=15AB = 15

כופלים ב-2

הכיוון ההפוך — פשוט כפל.

Check the answer on elev

Exercise 3

במשולש התיכון לצלע שווה למחצית אותה צלע. מה אפשר להסיק?

  1. המשולש שווה צלעות
  2. המשולש ישר זווית, והזווית הישרה מול אותה צלע
  3. המשולש שווה שוקיים
  4. אי אפשר להסיק דבר
Show the answer and the solution

Answer: B המשולש ישר זווית, והזווית הישרה מול אותה צלע

Worked solution:

CM=12AB⇒∠C=90°\begin{aligned}CM &= \tfrac{1}{2}AB \Rightarrow \angle C \\ &= 90°\end{aligned}

המשפט ההפוך

זו דרך הוכחה מלאה — שימושית כשנתונה נקודת אמצע ואין אף זווית.

Check the answer on elev

Exercise 4

במשולש ישר זווית הניצבים 9 ו-12. מהו התיכון ליתר?

Show the answer and the solution

Answer: 7.5

Worked solution:

AB2=92+122=225\begin{aligned}AB^2 &= 9^2 + 12^2 \\ &= 225\end{aligned}

קודם פיתגורס למציאת היתר

AB=15AB = 15

מוציאים שורש

CM=152=7.5\begin{aligned}CM &= \frac{15}{2} \\ &= 7.5\end{aligned}

ואז המשפט

שני משפטים בשרשרת — פיתגורס ואז התיכון ליתר.

Check the answer on elev

Exercise 5

מדוע אמצע היתר נמצא במרחק שווה משלושת הקודקודים?

  1. זה לא נכון
  2. כי המשולש שווה שוקיים
  3. כי שלושתם על מעגל שהיתר הוא קוטרו
  4. כי הניצבים שווים
Show the answer and the solution

Answer: C כי שלושתם על מעגל שהיתר הוא קוטרו

Worked solution:

CM=AM=BM=r\begin{aligned}CM &= AM \\ &= BM \\ &= r\end{aligned}

שלושתם רדיוסים של אותו מעגל

אמצע היתר הוא מרכז המעגל, והתיכון הוא הרדיוס.

Check the answer on elev

Exercise 6

יתר 16 — מהו התיכון ליתר?

Show the answer and the solution

Answer: 8

Worked solution:

16:2=816 : 2 = 8

חצי היתר

Check the answer on elev

Exercise 7

התיכון ליתר 7.5 — מהו היתר?

Show the answer and the solution

Answer: 15

Worked solution:

7.5×2=157.5 \times 2 = 15

התיכון ליתר שווה למחצית היתר — לכן הכפלה בשתיים מחזירה את היתר.

Check the answer on elev

Exercise 8

התיכון ליתר יוצא מ…

  1. מחוץ למשולש
  2. זווית חדה
  3. קודקוד הזווית הישרה
  4. אמצע היתר
Show the answer and the solution

Answer: C קודקוד הזווית הישרה

Worked solution:

90°→אמצע היתר90° \rightarrow \text{אמצע היתר}

התיכון יוצא מקודקוד הזווית הישרה ומגיע לאמצע היתר. שם, ורק שם, הוא שווה למחצית היתר.

Check the answer on elev

Exercise 9

במשולש ישר זווית התיכון ליתר 6.5 וניצב אחד 5. מהו הניצב השני? (רמז: היתר קודם)

Show the answer and the solution

Answer: 12

Worked solution:

6.5×2=136.5 \times 2 = 13

היתר

132−52=14413^2 - 5^2 = 144
144=12\sqrt{144} = 12

התיכון פותח את הדלת — פיתגורס גומר את העבודה.

Check the answer on elev

Exercise 10

המרחק מאמצע היתר לשלושת הקודקודים…

  1. שווה רק לשניים
  2. אינסופי
  3. שווה לשלושתם
  4. שונה לכל אחד
Show the answer and the solution

Answer: C שווה לשלושתם

Worked solution:

RR

אמצע היתר — מרכז המעגל החוסם

זו הסיבה העמוקה שהתיכון ליתר הוא חצי היתר.

Check the answer on elev

Exercise 11

ABCMD
MM הוא אמצע שני האלכסונים ACAC ו-BDBD.

במשולש ABCABC הזווית ∠B=90∘\angle B = 90^\circ, ו-MM אמצע היתר ACAC. מאריכים את BMBM עד לנקודה DD כך ש-BM=MDBM = MD. הוכיחו: ABCDABCD מלבן.

  • ∠B=90∘\angle B = 90^\circ
  • AM=MCAM = MC
  • BM=MDBM = MD

ABCDABCD מלבן

Show the answer and the solution
  1. AM=MCAM = MC — נתון — MM אמצע ACAC
  2. BM=MDBM = MD — נתון
  3. ABCDABCD מקבילית — מרובע שאלכסוניו חוצים זה את זה הוא מקבילית
  4. ∠B=90∘\angle B = 90^\circ — נתון
  5. ABCDABCD מלבן — מקבילית שבה זווית אחת ישרה היא מלבן
Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade