What similarity is

On elev, this lesson comes with a video, exercises checked instantly and progress tracking.

Practise on elev
Watch the lesson video

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

שני משולשים דומים הם בעלי אותה צורה בדיוק.

הגודל יכול להיות שונה: אחד הוא תמונה מוגדלת של השני, כמו צילום שהגדילו.

△ABC∼△DEF\triangle ABC \sim \triangle DEF

הסימן ∼\sim פירושו «דומה», כמו ש-≅\cong פירושו «חופף».

וכמו בחפיפה, סדר האותיות קובע מי מתאים למי: הראשונה לראשונה, השנייה לשנייה, השלישית לשלישית.

נתון △KLM∼△PQR\triangle KLM \sim \triangle PQR — לאיזו צלע מתאימה LMLM?

Show the answer and the solution

QRQR: LL השנייה מתאימה ל-QQ השנייה, ו-MM השלישית ל-RR השלישית.

שני דברים קורים בו-זמנית

∠A=∠D\angle A = \angle D

הזוויות המתאימות שוות — הצורה לא השתנתה

ABDE=BCEF\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF}

הצלעות המתאימות ביחס קבוע — הגודל השתנה פי אותו מספר

המספר הקבוע הזה נקרא יחס הדמיון, ומסמנים אותו באות kk

נתון △ABC∼△DEF\triangle ABC \sim \triangle DEF עם k=2k = 2 ו-∠A=40∘\angle A = 40^\circ — כמה זה ∠D\angle D?

Show the answer and the solution

40∘40^\circ. הצלעות גדלות פי 2, אבל הזוויות לא משתנות.

דומים, או רק נראים דומים?

במתמטיקה «דומים» היא מילה עם הגדרה, לא רושם מהציור.

הטעות שנובעת ישירות מהשפה.

«דומים» = נראים דומים\text{«דומים» = נראים דומים}
«דומים» = אותן זוויות, ויחס קבוע בין הצלעות\text{«דומים» = אותן זוויות, ויחס קבוע בין הצלעות}

במתמטיקה «דומים» היא מילה עם הגדרה מדויקת, לא התרשמות מהציור. שני משולשים יכולים להיראות דומים מאוד ולא להיות דומים כלל.

צלעות של משולש אחד: 2, 3, 4. של משולש שני: 4, 6, 9. האם הם דומים?

Show the answer and the solution

לא — יחס אחד שונה מספיק. 42=63=2\frac{4}{2} = \frac{6}{3} = 2 אבל 94≠2\frac{9}{4} \ne 2

ומה הקשר לחפיפה

חפיפה היא דמיון שבו k=1k = 1: אותה צורה, וגם אותו גודל.

k=1⟷חופפיםk = 1 \quad \longleftrightarrow\quad \text{חופפים}

לכן כל שני משולשים חופפים הם גם דומים. ההפך לא נכון.

מה ההבדל בין חפיפה לדמיון?

Show the answer and the solution

חפיפה — אותו גודל בדיוק; דמיון — אותה צורה, בגודל אחר. הזוויות שוות בשניהם, הצלעות — רק פרופורציוניות בדמיון.

Exercises

Exercise 1

נתון △ABC∼△DEF\triangle ABC \sim \triangle DEF — לאיזו צלע מתאימה הצלע ABAB?

  1. EFEF
  2. DEDE
  3. BCBC
  4. DFDF
Show the answer and the solution

Answer: B DEDE

Worked solution:

A↔D,B↔EA \leftrightarrow D \quad ,\quad B \leftrightarrow E

לפי המיקום בשורת הדמיון

בדיוק אותה מוסכמה כמו בחפיפה: האות הראשונה לראשונה, השנייה לשנייה.

Check the answer on elev

Exercise 2

בשני משולשים דומים, מה נכון לגבי הזוויות?

  1. הזוויות קטנות ביחס הדמיון
  2. הזוויות גדלות ביחס הדמיון
  3. אי אפשר לדעת
  4. הזוויות המתאימות שוות
Show the answer and the solution

Answer: D הזוויות המתאימות שוות

Worked solution:

∠A=∠D\angle A = \angle D

הצורה לא משתנה — רק הגודל

זוויות אינן אורכים. הגדלת צורה מותחת את הצלעות, אבל לא פותחת ולא סוגרת את הזוויות.

Check the answer on elev

Exercise 3

מה הקשר בין חפיפה לדמיון?

  1. דמיון הוא חפיפה שבה היחס הוא 1
  2. חפיפה היא דמיון שבו יחס הדמיון הוא 1
  3. אין קשר ביניהם
  4. כל שני משולשים דומים הם גם חופפים
Show the answer and the solution

Answer: B חפיפה היא דמיון שבו יחס הדמיון הוא 1

Worked solution:

k=1⟶חופפיםk = 1 \quad \longrightarrow\quad \text{חופפים}

אותה צורה, ובמקרה גם אותו גודל

כל זוג חופף הוא גם דומה — אבל רוב הזוגות הדומים אינם חופפים, כי היחס שלהם אינו 1.

Check the answer on elev

Exercise 4

שני משולשים נראים דומים מאוד בציור. האם זה מספיק כדי לקבוע שהם דומים?

  1. לא
  2. רק אם הם באותו גודל
  3. כן, אם הציור מדויק
  4. כן, תמיד
Show the answer and the solution

Answer: A לא

Worked solution:

ציור≠נימוק\text{ציור} \neq \text{נימוק}

אותו כלל כמו בהוכחות

בדיוק כמו בפרק ההוכחות: מה שנראה בציור אינו נימוק. צריך זוויות שוות או יחס קבוע בין הצלעות.

Check the answer on elev

Exercise 5

שני ריבועים — האם הם בהכרח דומים?

  1. רק אם קטנים
  2. לא
  3. כן
  4. רק אם שווים
Show the answer and the solution

Answer: C כן

Worked solution:

90∘, 90∘, 90∘, 90∘90^\circ ,\ 90^\circ ,\ 90^\circ ,\ 90^\circ

כל הזוויות של כל ריבוע

a2a1\frac{a_2}{a_1}

וכל ארבע הצלעות גדלות באותו יחס

כל הריבועים דומים: הזוויות תמיד 90∘90^\circ והצלעות תמיד ביחס אחיד. זה נכון גם למשולשים שווי-צלעות.

Check the answer on elev

Exercise 6

שני מלבנים — בהכרח דומים?

  1. כן
  2. לא
  3. רק גדולים
  4. תמיד
Show the answer and the solution

Answer: B לא

Worked solution:

2:1≠5:12:1 \ne 5:1

מלבן ארוך, ומלבן שכמעט ריבוע

הזוויות שוות (כולן ישרות), אבל היחס בין האורך לרוחב שונה. זוויות שוות לבדן לא מספיקות במלבן.

Check the answer on elev

Exercise 7

משולשים דומים ביחס 3. צלע במקור 7 — מה בצילום המוגדל?

Show the answer and the solution

Answer: 21

Worked solution:

7×3=217 \times 3 = 21

כל צלע נכפלת ביחס הדמיון

בדמיון כל הצלעות גדלות באותו יחס — לכן מכפילים.

Check the answer on elev

Exercise 8

מה נשמר בדמיון?

  1. הזוויות והיחס בין צלעות
  2. השטח
  3. ההיקף
  4. האורכים
Show the answer and the solution

Answer: A הזוויות והיחס בין צלעות

Worked solution:

∠ , k\angle \ , \ k

הזוויות, והיחס בין הצלעות

דמיון שומר על הצורה: הזוויות והיחסים. האורכים, ההיקף והשטח משתנים עם הגודל.

Check the answer on elev

Exercise 9

יחס דמיון 1:4. היקף הקטן 9 — מהו היקף הגדול?

Show the answer and the solution

Answer: 36

Worked solution:

9×4=369 \times 4 = 36

ההיקף גדל כמו הצלעות

ההיקף הוא סכום של צלעות: כל צלע פי 4, ולכן גם הסכום פי 4.

Check the answer on elev

Exercise 10

צילום מוקטן פי 2 של תמונה — הזוויות בו…

  1. לא השתנו
  2. גדלו פי 2
  3. תלוי בצורה
  4. קטנו פי 2
Show the answer and the solution

Answer: A לא השתנו

Worked solution:

∠\angle

דמיון משמר זוויות

הקטנה פי 2 משנה את האורכים, לא את הזוויות.

Check the answer on elev

Exercise 11

במשולש ABCABC נתון AB=4, BC=6, AC=5AB = 4 ,\ BC = 6 ,\ AC = 5 ובמשולש DEFDEF נתון DE=8, EF=12, DF=10DE = 8 ,\ EF = 12 ,\ DF = 10 — ועוד נתון ∠A=∠D\angle A = \angle D ו-∠B=∠E\angle B = \angle E — הוכיחו לפי הגדרת הדמיון: △ABC∼△DEF\triangle ABC \sim \triangle DEF

  • AB=4, BC=6, AC=5AB = 4 ,\ BC = 6 ,\ AC = 5
  • DE=8, EF=12, DF=10DE = 8 ,\ EF = 12 ,\ DF = 10
  • ∠A=∠D\angle A = \angle D
  • ∠B=∠E\angle B = \angle E

△ABC∼△DEF\triangle ABC \sim \triangle DEF

Show the answer and the solution
  1. ∠A=∠D\angle A = \angle D — נתון
  2. ∠B=∠E\angle B = \angle E — נתון
  3. ∠C=180∘−∠A−∠B\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B — סכום הזוויות במשולש שווה 180∘180^\circ
  4. ∠F=180∘−∠D−∠E\angle F = 180^\circ - \angle D - \angle E — סכום הזוויות במשולש שווה 180∘180^\circ
  5. ∠C=∠F\angle C = \angle F — הצבה של הזוויות השוות
  6. ABDE=BCEF=ACDF=12\dfrac{AB}{DE} = \dfrac{BC}{EF} = \dfrac{AC}{DF} = \dfrac{1}{2} — חישוב מהנתונים
  7. △ABC∼△DEF\triangle ABC \sim \triangle DEF — הגדרת משולשים דומים: הזוויות המתאימות שוות והצלעות המתאימות ביחס שווה

Worked solution:

∠C=180∘−∠A−∠B=180∘−∠D−∠E=∠F\begin{aligned}\angle C &= 180^\circ - \angle A - \angle B \\ &= 180^\circ - \angle D - \angle E \\ &= \angle F\end{aligned}

הזווית השלישית — מסכום הזוויות בשני המשולשים

48=612=510=12\begin{aligned}\frac{4}{8} &= \frac{6}{12} \\ &= \frac{5}{10} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

שלושת היחסים בין הצלעות המתאימות

△ABC∼△DEF\triangle ABC \sim \triangle DEF

שלוש זוויות שוות וצלעות ביחס שווה — זו ההגדרה

ההגדרה דורשת שני דברים: כל הזוויות המתאימות שוות, וגם כל הצלעות המתאימות ביחס שווה. לכן צריך גם את הזווית השלישית — היא לא נתונה, ומוצאים אותה מסכום הזוויות בכל אחד משני המשולשים. ביחידה הבאה נלמד משפטים שחוסכים חלק מהבדיקה הזאת.

Check the answer on elev

Exercise 12

כל שני משולשים ישרי-זווית דומים זה לזה.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

90∘, 30∘, 60∘≠90∘, 45∘, 45∘90^\circ ,\ 30^\circ ,\ 60^\circ \quad \ne \quad 90^\circ ,\ 45^\circ ,\ 45^\circ

רק הזווית הישרה משותפת

זווית ישרה אחת שווה, אבל שתי האחרות יכולות להיות שונות. זווית אחת לא קובעת צורה.

Check the answer on elev

Exercise 13

נתון △KLM∼△PQR\triangle KLM \sim \triangle PQR — התאימו כל צלע לצלע המתאימה לה.

  • KLKL
  • LMLM
  • KMKM
  • PQPQ
  • PRPR
  • QRQR
Show the answer and the solution

Answer: KLKL — PQPQ · LMLM — QRQR · KMKM — PRPR

Worked solution:

K↔P, L↔Q, M↔RK \leftrightarrow P ,\ L \leftrightarrow Q ,\ M \leftrightarrow R

לפי המקום בשורת הדמיון

קוראים את האותיות, לא את הציור: המשולש השני מסובב, אבל הסדר נשאר.

Check the answer on elev

Exercise 14

משולש הוגדל פי 3. מה נשמר, ומה משתנה?

  • נשמר
  • משתנה
  • אורכי הצלעות
  • גודל הזוויות
  • ההיקף
  • היחס בין שתי צלעות של אותו משולש
  • הצורה
  • השטח
Show the answer and the solution

Answer: גודל הזוויות — נשמר · הצורה — נשמר · היחס בין שתי צלעות של אותו משולש — נשמר · אורכי הצלעות — משתנה · ההיקף — משתנה · השטח — משתנה

Worked solution:

∠A=∠D\angle A = \angle D

הזוויות שוות

AB→3⋅ABAB \to 3 \cdot AB

כל אורך פי 3

דמיון שומר על הצורה: זוויות ויחסים. כל מה שנמדד באורך — צלע, היקף, שטח — משתנה.

Check the answer on elev

Exercise 15

נתון △ABC∼△DEF\triangle ABC \sim \triangle DEF ו-k=2k = 2 והזווית ∠A\angle A היא 35∘35^\circ — כמה מעלות בזווית ∠D\angle D?

Show the answer and the solution

Answer: 35

Worked solution:

A↔DA \leftrightarrow D

שתיהן ראשונות בשורת הדמיון

∠D=∠A=35∘\begin{aligned}\angle D &= \angle A \\ &= 35^\circ\end{aligned}

זוויות מתאימות שוות

המלכודת: לכפול את הזווית ב-2. היחס פועל על הצלעות בלבד.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade