The similarity criteria

On elev, this lesson comes with a video, exercises checked instantly and progress tracking.

Practise on elev
Watch the lesson video

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

דמיון אינו חפיפה: אותה צורה, בגודל אחר.

כדי להוכיח ששני משולשים דומים, לא בודקים את כל הזוויות ואת כל הצלעות. מספיק אחד משלושה משפטים.

אותם ראשי תיבות, משמעות אחרת. בחפיפה — צלעות שוות. בדמיון — יחסים שווים.

ז.ז — זווית, זווית

אם שתי זוויות במשולש אחד שוות לשתי זוויות במשולש השני — המשולשים דומים.

למה שתיים מספיקות? סכום הזוויות במשולש הוא 180∘180^\circ ולכן השלישית נקבעת: היא מה שנשאר.

ז.ז לא קיים בחפיפה: שם צריך תמיד צלע אחת לפחות, כדי לקבוע את הגודל. בדמיון הגודל חופשי, ולכן שתי זוויות מספיקות.

במשולש אחד זוויות של 40∘40^\circ ו-75∘75^\circ — ובמשולש שני 75∘75^\circ ו-65∘65^\circ — האם הם דומים?

Show the answer and the solution

כן. אותן שלוש זוויות — ז.ז. בראשון השלישית היא 180∘−40∘−75∘=65∘180^\circ - 40^\circ - 75^\circ = 65^\circ

צ.צ.צ — שלוש צלעות

אם שלוש הצלעות של משולש אחד נמצאות ביחס שווה לשלוש הצלעות של השני — המשולשים דומים.

ABDE=BCEF=ACDF\begin{aligned}\frac{AB}{DE} &= \frac{BC}{EF} \\ &= \frac{AC}{DF}\end{aligned}

שימו לב היטב — כאן נמצא הבלבול הגדול של הפרק.

צ.צ.צ בדמיון=שלוש צלעות שוות\text{צ.צ.צ בדמיון} = \text{שלוש צלעות שוות}
צ.צ.צ בדמיון=שלושה יחסים שווים\text{צ.צ.צ בדמיון} = \text{שלושה יחסים שווים}

ראשי התיבות זהים לאלה של החפיפה, אבל המשמעות שונה לגמרי. בחפיפה הצלעות עצמן שוות; בדמיון רק היחסים ביניהן שווים. אותו סימן, שני דברים.

צלעות 3, 4, 6 מול 6, 8, 12. האם המשולשים דומים, ולפי איזה משפט?

Show the answer and the solution

כן, לפי צ.צ.צ — שלושה יחסים שווים: 63=84=126=2\frac{6}{3} = \frac{8}{4} = \frac{12}{6} = 2

צ.ז.צ — צלע, זווית, צלע

שתי צלעות במשולש אחד נמצאות ביחס שווה לשתי צלעות במשולש השני.

והזווית הכלואה ביניהן שווה. אז המשולשים דומים.

כלואה — כמו בחפיפה: הזווית שבין שתי הצלעות, ולא זווית אחרת.

שני הפרקים זה מול זה

חפיפה\text{חפיפה}

צלעות שוות — אותה צורה, אותו גודל

דמיון\text{דמיון}

צלעות ביחס שווה — אותה צורה, גודל אחר

k=1k = 1

המקרה שבו השניים נפגשים

בטור הנימוק כותבים את שם המשפט המלא: «צ.ז.צ» של חפיפה ו«צ.ז.צ» של דמיון מוכיחים דברים שונים.

עכשיו אתם: לפי הנתונים בלבד, איזה משפט מוכיח שהמשולשים דומים?

בהוכחת דמיון כתבתם «צ.צ.צ». מה בדיוק צריך להראות?

Show the answer and the solution

שלושה יחסים שווים בין הצלעות המתאימות — לא שלוש צלעות שוות.

Exercises

Exercise 1

לפי משפט ז.ז — כמה זוויות שוות צריך כדי להוכיח שמשולשים דומים?

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

∠A=∠D∠B=∠E\begin{aligned}\angle A &= \angle D \quad \\ \quad \angle B &= \angle E\end{aligned}

שתי זוויות מספיקות

180°−∠A−∠B180° - \angle A - \angle B

והשלישית נובעת מעצמה

סכום הזוויות במשולש הוא 180°. אם שתיים שוות, לשלישית אין ברירה.

Check the answer on elev

Exercise 2

בדמיון משולשים, מה פירוש צ.צ.צ?

  1. שלוש הצלעות שוות זו לזו
  2. שלוש הזוויות שוות
  3. שלוש הצלעות נמצאות ביחס שווה
  4. צלע אחת שווה ושתיים ביחס
Show the answer and the solution

Answer: C שלוש הצלעות נמצאות ביחס שווה

Worked solution:

ABDE=BCEF=ACDF\begin{aligned}\frac{AB}{DE} &= \frac{BC}{EF} \\ &= \frac{AC}{DF}\end{aligned}

שלושה יחסים שווים ביניהם

בחפיפה אותם ראשי תיבות מציינים צלעות שוות. בדמיון — יחסים שווים. זה ההבדל שהכי קל לפספס.

Check the answer on elev

Exercise 3

במשפט צ.ז.צ של הדמיון, איפה צריכה להיות הזווית?

  1. כלואה בין שתי הצלעות
  2. מול הצלע הקצרה
  3. מול הצלע הארוכה
  4. בכל מקום במשולש
Show the answer and the solution

Answer: A כלואה בין שתי הצלעות

Worked solution:

צלע→זווית→צלע\text{צלע} \rightarrow \text{זווית} \rightarrow \text{צלע}

סדר האותיות בשם המשפט הוא סדר הצורה

בדיוק כמו בחפיפה: הזווית חייבת להיות זו שבין שתי הצלעות. עם זווית אחרת המשפט לא חל.

Check the answer on elev

Exercise 4

בשני משולשים ∠A=∠D\angle A = \angle D ו-∠B=∠E\angle B = \angle E — האם המשולשים דומים?

  1. רק אם גם הצלעות שוות
  2. לא, צריך גם צלעות
  3. אי אפשר לדעת
  4. כן, לפי ז.ז
Show the answer and the solution

Answer: D כן, לפי ז.ז

Worked solution:

∠C=180°−∠A−∠B\angle C = 180° - \angle A - \angle B

הזווית השלישית נובעת

שתי זוויות מספיקות, ואין צורך לדעת שום דבר על הצלעות. זה מה שהופך את ז.ז למשפט הכי נוח.

Check the answer on elev

Exercise 5

תלמיד רשם בהוכחת דמיון: «הצלעות שוות, לכן צ.צ.צ». איפה טעה?

  1. לא היתה טעות
  2. הוא היה צריך לרשום ז.ז
  3. בדמיון הצלעות אינן שוות אלא ביחס שווה
  4. צ.צ.צ אינו משפט דמיון
Show the answer and the solution

Answer: C בדמיון הצלעות אינן שוות אלא ביחס שווה

Worked solution:

חפיפה: AB=DE\text{חפיפה: } AB = DE

שם הצלעות באמת שוות

דמיון: ABDE=k\text{דמיון: } \frac{AB}{DE} = k

וכאן רק היחס קבוע

הוא ערבב בין שני הפרקים. ראשי התיבות זהים, ולכן צריך לשים לב מה מוכיחים לפני שכותבים את הנימוק.

Check the answer on elev

Exercise 6

איזה משפט דמיון הכי נוח להשתמש בו כשנתונות זוויות בלבד?

  1. אף אחד
  2. צ.ז.צ
  3. צ.צ.צ
  4. ז.ז
Show the answer and the solution

Answer: D ז.ז

Worked solution:

ז.ז\text{ז.ז}

שתי זוויות ותו לא

שני המשפטים האחרים דורשים מידע על צלעות. כשיש רק זוויות — ז.ז הוא היחיד שאפשר, והוא גם מספיק.

Check the answer on elev

Exercise 7

ABCDE
הישר DEDE מקביל לבסיס BCBC

במשולש ABCABC הנקודה DD נמצאת על ABAB והנקודה EE על ACAC ונתון DE∥BCDE \parallel BC — הוכיחו כי △ADE∼△ABC\triangle ADE \sim \triangle ABC

  • DD על ABAB ו-EE על ACAC
  • DE∥BCDE \parallel BC

△ADE∼△ABC\triangle ADE \sim \triangle ABC

Show the answer and the solution
  1. DE∥BCDE \parallel BC — נתון
  2. ∠ADE=∠ABC\angle ADE = \angle ABC — זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים שוות
  3. ∠A=∠A\angle A = \angle A — זווית משותפת לשני המשולשים
  4. △ADE∼△ABC\triangle ADE \sim \triangle ABC — משפט דמיון ז.ז

Worked solution:

∠ADE=∠ABC\angle ADE = \angle ABC

מתאימות בין מקבילים

∠A=∠A\angle A = \angle A

זווית משותפת

△ADE∼△ABC\triangle ADE \sim \triangle ABC

ז.ז

שתי זוויות שוות מספיקות לדמיון — זה ההבדל הגדול מחפיפה, שם צריך תמיד שלושה רכיבים, ובהם לפחות צלע אחת.

Check the answer on elev

Exercise 8

ABCD
הגובה מהזווית הישרה מחלק את המשולש לשני משולשים — ושניהם דומים למקורי.

במשולש ABCABC הזווית ∠BAC\angle BAC ישרה ו-ADAD הוא גובה ליתר BCBC — הוכיחו כי △ABD∼△CBA\triangle ABD \sim \triangle CBA

  • ∠BAC=90∘\angle BAC = 90^\circ
  • ADAD גובה ליתר BCBC

△ABD∼△CBA\triangle ABD \sim \triangle CBA

Show the answer and the solution
  1. ∠BAC=90∘\angle BAC = 90^\circ — נתון
  2. ADAD גובה ליתר BCBC — נתון
  3. ∠ADB=90∘\angle ADB = 90^\circ — גובה מאונך לצלע שאליה הוא מגיע
  4. ∠ADB=∠BAC\angle ADB = \angle BAC — שתי הזוויות ישרות ולכן שוות
  5. ∠B=∠B\angle B = \angle B — זווית משותפת לשני המשולשים
  6. △ABD∼△CBA\triangle ABD \sim \triangle CBA — משפט דמיון ז.ז

Worked solution:

∠ADB=∠BAC=90∘\begin{aligned}\angle ADB &= \angle BAC \\ &= 90^\circ\end{aligned}

שתי זוויות ישרות

∠B=∠B\angle B = \angle B

זווית משותפת

△ABD∼△CBA\triangle ABD \sim \triangle CBA

ז.ז

סדר האותיות אינו מקרי: A↔C, B↔B, D↔AA \leftrightarrow C ,\ B \leftrightarrow B ,\ D \leftrightarrow A — תמיד כותבים את הקודקודים לפי סדר הזוויות השוות.

Check the answer on elev

Exercise 9

במשולש אחד זוויות של 50∘50^\circ ו-60∘60^\circ — ובמשולש שני 50∘50^\circ ו-70∘70^\circ — האם המשולשים דומים?

  1. כן
  2. רק אם שווי צלעות
  3. חסר נתון
  4. לא
Show the answer and the solution

Answer: A כן

Worked solution:

180∘−50∘−60∘=70∘180^\circ - 50^\circ - 60^\circ = 70^\circ

הזווית השלישית בראשון

50∘, 60∘, 70∘50^\circ ,\ 60^\circ ,\ 70^\circ

אותן שלוש זוויות בשניהם

המלכודת: לראות 60∘60^\circ מול 70∘70^\circ ולענות «לא». משלימים קודם את הזווית השלישית — ואז זה ז.ז.

Check the answer on elev

Exercise 10

צלעות משולש אחד: 4, 6 ו-8. צלעות משולש שני: 6, 9 ו-xx — מהו xx אם המשולשים דומים?

Show the answer and the solution

Answer: 12

Worked solution:

64=96=1.5\begin{aligned}\frac{6}{4} &= \frac{9}{6} \\ &= 1.5\end{aligned}

יחס הדמיון, משני זוגות

x=8×1.5=12\begin{aligned}x &= 8 \times 1.5 \\ &= 12\end{aligned}

הצלע הארוכה פי 1.51.5

מוצאים קודם את יחס הדמיון משני זוגות ידועים, ורק אז מפעילים אותו על הצלע החסרה.

Check the answer on elev

Exercise 11

התאימו כל מקרה למה שהוא אומר

  • congruence\text{congruence}
  • similarity\text{similarity}
  • k=1k = 1
  • המקרה שבו השניים נפגשים
  • צלעות ביחס שווה — אותה צורה, גודל אחר
  • צלעות שוות — אותה צורה, אותו גודל
Show the answer and the solution

Answer: congruence\text{congruence} — צלעות שוות — אותה צורה, אותו גודל · similarity\text{similarity} — צלעות ביחס שווה — אותה צורה, גודל אחר · k=1k = 1 — המקרה שבו השניים נפגשים

Worked solution:

k=1k = 1

שם דמיון וחפיפה נפגשים

חפיפה — צלעות שוות. דמיון — צלעות ביחס שווה. וחפיפה היא דמיון שבו k=1k = 1

Check the answer on elev

Exercise 12

אם זווית אחת במשולש שווה לזווית אחת במשולש אחר, המשולשים דומים.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

∠A=∠D\angle A = \angle D

זה רק רכיב אחד

ז.ז\text{ז.ז}

המשפט דורש שתי זוויות

זווית אחת לא קובעת צורה: אפשר לבנות עליה משולשים בצורות שונות לגמרי.

Check the answer on elev

Exercise 13

מיינו לפי הנתונים: האם המשולשים דומים בוודאות?

  • דומים בוודאות
  • לא בהכרח
  • ABDE=ACDF=2\frac{AB}{DE} = \frac{AC}{DF} = 2 וגם ∠A=∠D\angle A = \angle D
  • ABDE=ACDF=2\frac{AB}{DE} = \frac{AC}{DF} = 2 וגם ∠B=∠E\angle B = \angle E
  • זוויות 40∘,60∘40^\circ, 60^\circ מול 60∘,80∘60^\circ, 80^\circ
  • זוויות 50∘,70∘50^\circ, 70^\circ מול 50∘,50∘50^\circ, 50^\circ
  • צלעות 2,3,42, 3, 4 מול 6,9,126, 9, 12
  • צלעות 3,4,53, 4, 5 מול 5,6,75, 6, 7
Show the answer and the solution

Answer: זוויות 40∘,60∘40^\circ, 60^\circ מול 60∘,80∘60^\circ, 80^\circ — דומים בוודאות · צלעות 2,3,42, 3, 4 מול 6,9,126, 9, 12 — דומים בוודאות · ABDE=ACDF=2\frac{AB}{DE} = \frac{AC}{DF} = 2 וגם ∠A=∠D\angle A = \angle D — דומים בוודאות · זוויות 50∘,70∘50^\circ, 70^\circ מול 50∘,50∘50^\circ, 50^\circ — לא בהכרח · צלעות 3,4,53, 4, 5 מול 5,6,75, 6, 7 — לא בהכרח · ABDE=ACDF=2\frac{AB}{DE} = \frac{AC}{DF} = 2 וגם ∠B=∠E\angle B = \angle E — לא בהכרח

Worked solution:

180∘−40∘−60∘=80∘180^\circ - 40^\circ - 60^\circ = 80^\circ

בזוג הראשון שלוש הזוויות שוות

∠A כלואה בין AB ו-AC\angle A \text{ כלואה בין } AB \text{ ו-} AC

בצ.ז.צ הזווית חייבת להיות כלואה

שני המקרים הקשים: זוג הזוויות הראשון (צריך להשלים את השלישית), והזווית שאינה כלואה בשורה האחרונה.

Check the answer on elev

Exercise 14

בשני משולשים ∠A=∠D=40∘\angle A = \angle D = 40^\circ ונתון AB=3, AC=5, DE=6AB = 3 ,\ AC = 5 ,\ DE = 6 — מה צריך להיות האורך של DFDF כדי שהמשולשים יהיו דומים לפי צ.ז.צ?

Show the answer and the solution

Answer: 10

Worked solution:

DEAB=63=2\begin{aligned}\frac{DE}{AB} &= \frac{6}{3} \\ &= 2\end{aligned}

יחס הזוג הראשון

DF=5×2=10\begin{aligned}DF &= 5 \times 2 \\ &= 10\end{aligned}

הזוג השני חייב לתת אותו יחס

הזווית בת 40∘40^\circ כלואה בין שתי הצלעות בשני המשולשים — ולכן צ.ז.צ. בלי היחס השווה, אין דמיון.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade