Substitution method

On elev, this lesson comes with a video, exercises checked instantly and progress tracking.

Practise on elev
Watch the lesson video

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

בשיטת ההצבה הופכים שתי משוואות למשוואה אחת עם נעלם אחד. משוואה כזאת אנחנו כבר יודעים לפתור.

הרעיון: כותבים נעלם אחד בעזרת השני, ומציבים אותו במשוואה השנייה.

מה קורה לסימן של איבר שעובר אגף?

Show the answer and the solution

הוא מתהפך: +y+y נהיה −y-y. לכן x+y=5x + y = 5 נותן x=5−yx = 5 - y.

שתי הטעויות שחוזרות בשיטה הזאת.

2×5−y+3y=122 \times 5 - y + 3y = 12
2(5−y)+3y=122(5 - y) + 3y = 12

כשמציבים ביטוי שלם — חובה סוגריים. בלעדיהם הכפל חל רק על האיבר הראשון.

y=2⟶סוףy = 2 \quad \longrightarrow\quad \text{סוף}
y=2⟶x=3\begin{aligned}y &= 2 \quad \longrightarrow\quad x \\ &= 3\end{aligned}

מצאנו רק חצי תשובה. מערכת של שני נעלמים דורשת שני ערכים — תמיד לחזור ולמצוא את השני.

מתי ההצבה נוחה — ומתי לא

ההצבה מתחילה תמיד בבידוד של נעלם. הבידוד קל כשלנעלם יש מקדם 11 או −1-1: מעבירים אגפים, בלי לחלק בכלום.

כשאין נעלם עם מקדם 11 או −1-1, הבידוד מכניס שברים לכל החישוב. והשברים הם המקור העיקרי לטעויות.

במקרה כזה עוברים לשיטת השוואת מקדמים, בשיעור הבא. ואם יש נעלם כזה, מעדיפים הצבה: היא קצרה, ויש בה פחות טעויות סימנים.

הכלל המעשי, בשורה אחת: מחפשים נעלם עם מקדם 1 או −1-1. יש כזה — הצבה. אין — השוואת מקדמים.

מתי שיטת ההצבה נוחה במיוחד?

Show the answer and the solution

כשאחד המשתנים כבר מבודד — או כמעט: y=2x−1y = 2x - 1 מציב את עצמו לתוך המשוואה השנייה.

Exercises

Exercise 1

פתרו את המערכת ומצאו את הערך של xx:

{2x+3y=12x+y=5\begin{cases} 2x + 3y = 12 \\ x + y = 5 \end{cases}
Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

x+y=5⟶x=5−y\begin{aligned}x + y &= 5 \quad \longrightarrow\quad x \\ &= 5 - y\end{aligned}

מבודדים את x — המקדם שלו הוא 1

2(5−y)+3y=122(5 - y) + 3y = 12

מציבים במשוואה הראשונה, בסוגריים

y=2y = 2

פותרים את המשוואה שנשארה

x=3x = 3

וחוזרים כדי למצוא את x

בדיקה: 2·3 + 3·2 = 12, וגם 3 + 2 = 5. שתי המשוואות מתקיימות.

Check the answer on elev

Exercise 2

פתרו את המערכת ומצאו את הערך של xx:

{3x+2y=14x+y=5\begin{cases} 3x + 2y = 14 \\ x + y = 5 \end{cases}
Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

x+y=5⟶x=5−y\begin{aligned}x + y &= 5 \quad \longrightarrow\quad x \\ &= 5 - y\end{aligned}

מבודדים את x — המקדם שלו הוא 1

3(5−y)+2y=143(5 - y) + 2y = 14

מציבים במשוואה הראשונה, בסוגריים

y=1y = 1

פותרים את המשוואה שנשארה

x=4x = 4

וחוזרים כדי למצוא את x

בדיקה: 3·4 + 2·1 = 14, וגם 4 + 1 = 5. שתי המשוואות מתקיימות.

Check the answer on elev

Exercise 3

פתרו את המערכת ומצאו את הערך של xx:

{2x+4y=18x+y=7\begin{cases} 2x + 4y = 18 \\ x + y = 7 \end{cases}
Show the answer and the solution

Answer: 5

Worked solution:

x+y=7⟶x=7−y\begin{aligned}x + y &= 7 \quad \longrightarrow\quad x \\ &= 7 - y\end{aligned}

מבודדים את x — המקדם שלו הוא 1

2(7−y)+4y=182(7 - y) + 4y = 18

מציבים במשוואה הראשונה, בסוגריים

y=2y = 2

פותרים את המשוואה שנשארה

x=5x = 5

וחוזרים כדי למצוא את x

בדיקה: 2·5 + 4·2 = 18, וגם 5 + 2 = 7. שתי המשוואות מתקיימות.

Check the answer on elev

Exercise 4

פתרו את המערכת ומצאו את הערך של xx:

{4x+1y=14x+y=8\begin{cases} 4x + 1y = 14 \\ x + y = 8 \end{cases}
Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

x+y=8⟶x=8−y\begin{aligned}x + y &= 8 \quad \longrightarrow\quad x \\ &= 8 - y\end{aligned}

מבודדים את x — המקדם שלו הוא 1

4(8−y)+1y=144(8 - y) + 1y = 14

מציבים במשוואה הראשונה, בסוגריים

y=6y = 6

פותרים את המשוואה שנשארה

x=2x = 2

וחוזרים כדי למצוא את x

בדיקה: 4·2 + 1·6 = 14, וגם 2 + 6 = 8. שתי המשוואות מתקיימות.

Check the answer on elev

Exercise 5

פתרו את המערכת ומצאו את הערך של xx:

{2x+5y=29x−y=4\begin{cases} 2x + 5y = 29 \\ x - y = 4 \end{cases}
Show the answer and the solution

Answer: 7

Worked solution:

x−y=4⟶x=4+y\begin{aligned}x - y &= 4 \quad \longrightarrow\quad x \\ &= 4 + y\end{aligned}

מבודדים את x — המקדם שלו הוא 1

2(4+y)+5y=292(4 + y) + 5y = 29

מציבים במשוואה הראשונה, בסוגריים

y=3y = 3

פותרים את המשוואה שנשארה

x=7x = 7

וחוזרים כדי למצוא את x

בדיקה: 2·7 + 5·3 = 29, וגם 7 - 3 = 4. שתי המשוואות מתקיימות.

Check the answer on elev

Exercise 6

פתרו את המערכת ומצאו את הערך של xx:

{3x+4y=26x−y=4\begin{cases} 3x + 4y = 26 \\ x - y = 4 \end{cases}
Show the answer and the solution

Answer: 6

Worked solution:

x−y=4⟶x=4+y\begin{aligned}x - y &= 4 \quad \longrightarrow\quad x \\ &= 4 + y\end{aligned}

מבודדים את x — המקדם שלו הוא 1

3(4+y)+4y=263(4 + y) + 4y = 26

מציבים במשוואה הראשונה, בסוגריים

y=2y = 2

פותרים את המשוואה שנשארה

x=6x = 6

וחוזרים כדי למצוא את x

בדיקה: 3·6 + 4·2 = 26, וגם 6 - 2 = 4. שתי המשוואות מתקיימות.

Check the answer on elev

Exercise 7

פתרו את המערכת ומצאו את הערך של xx:

{5x+2y=21x+y=9\begin{cases} 5x + 2y = 21 \\ x + y = 9 \end{cases}
Show the answer and the solution

Answer: 1

Worked solution:

x+y=9⟶x=9−y\begin{aligned}x + y &= 9 \quad \longrightarrow\quad x \\ &= 9 - y\end{aligned}

מבודדים את x — המקדם שלו הוא 1

5(9−y)+2y=215(9 - y) + 2y = 21

מציבים במשוואה הראשונה, בסוגריים

y=8y = 8

פותרים את המשוואה שנשארה

x=1x = 1

וחוזרים כדי למצוא את x

בדיקה: 5·1 + 2·8 = 21, וגם 1 + 8 = 9. שתי המשוואות מתקיימות.

Check the answer on elev

Exercise 8

פתרו את המערכת ומצאו את הערך של xx:

{2x+3y=30x−y=5\begin{cases} 2x + 3y = 30 \\ x - y = 5 \end{cases}
Show the answer and the solution

Answer: 9

Worked solution:

x−y=5⟶x=5+y\begin{aligned}x - y &= 5 \quad \longrightarrow\quad x \\ &= 5 + y\end{aligned}

מבודדים את x — המקדם שלו הוא 1

2(5+y)+3y=302(5 + y) + 3y = 30

מציבים במשוואה הראשונה, בסוגריים

y=4y = 4

פותרים את המשוואה שנשארה

x=9x = 9

וחוזרים כדי למצוא את x

בדיקה: 2·9 + 3·4 = 30, וגם 9 - 4 = 5. שתי המשוואות מתקיימות.

Check the answer on elev

Exercise 9

בחנות מכרו 5 מחברות ו-2 עטים ב-34 ₪. מחברת אחת ועט אחד עולים יחד 11 ₪. כמה עולה מחברת אחת?

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

5x+2y=34x+y=11\begin{aligned}5x + 2y &= 34 \quad \\ \quad x + y &= 11\end{aligned}

x = מחברת, y = עט

y=11−xy = 11 - x

מבודדים מהמשוואה השנייה — מקדם 1

5x+2(11−x)=34⟶3x=12\begin{aligned}5x + 2(11 - x) &= 34 \quad \longrightarrow\quad 3x \\ &= 12\end{aligned}

מציבים בראשונה

x=4y=7\begin{aligned}x &= 4 \quad \\ \quad y &= 7\end{aligned}

מחברת 4 ₪, עט 7 ₪

בבעיה מילולית השלב הקשה הוא הראשון: להחליט מה x ומה y, ולכתוב את זה בצד לפני שמתחילים.

Check the answer on elev

Exercise 10

בחניון יש אופנועים ומכוניות — 20 כלי רכב ו-70 גלגלים בסך הכל. כמה מכוניות יש בחניון?

Show the answer and the solution

Answer: 15

Worked solution:

x+y=204x+2y=70\begin{aligned}x + y &= 20 \quad \\ \quad 4x + 2y &= 70\end{aligned}

x = מכוניות (4 גלגלים), y = אופנועים (2)

y=20−xy = 20 - x

מבודדים

4x+2(20−x)=70⟶2x=30\begin{aligned}4x + 2(20 - x) &= 70 \quad \longrightarrow\quad 2x \\ &= 30\end{aligned}

מציבים

x=15y=5\begin{aligned}x &= 15 \quad \\ \quad y &= 5\end{aligned}

15 מכוניות ו-5 אופנועים

בדיקה מהירה: 15 + 5 = 20 כלי רכב, ו-60 + 10 = 70 גלגלים.

Check the answer on elev

Exercise 11

שורה אחת שגויה — מצאו אותה

y=2⟶x=3\begin{aligned}y &= 2 \quad \longrightarrow\quad x \\ &= 3\end{aligned}
2×5−y+3y=122 \times 5 - y + 3y = 12
Show the answer and the solution

Answer: 2×5−y+3y=122 \times 5 - y + 3y = 12 → 2(5−y)+3y=122(5 - y) + 3y = 12

Worked solution:

כשמציבים ביטוי שלם — חובה סוגריים. בלעדיהם הכפל חל רק על האיבר הראשון.

Check the answer on elev

Exercise 12

מהמשוואה 3x−y=73x - y = 7, מה הכי נוח לבודד?

  1. x=7+yx = 7 + y
  2. y=3x−7y = 3x - 7
  3. x=7+y3x = \dfrac{7 + y}{3}
  4. y=7−3xy = 7 - 3x
Show the answer and the solution

Answer: B y=3x−7y = 3x - 7

Worked solution:

−y=7−3x-y = 7 - 3x

מעבירים את 3x3x אגף

y=3x−7y = 3x - 7

כופלים ב-−1-1: כל הסימנים מתהפכים

ל-yy מקדם −1-1, ולכן הוא מתבודד בלי שבר. y=7−3xy = 7 - 3x שוכח להפוך את הסימנים.

Check the answer on elev

Exercise 13

סדרו את שלבי ההצבה במערכת x+y=6x + y = 6 ו-2x+3y=142x + 3y = 14:

  • 12−2y+3y=1412 - 2y + 3y = 14
  • 2(6−y)+3y=142(6 - y) + 3y = 14
  • x=6−2=4x = 6 - 2 = 4
  • x=6−yx = 6 - y
  • y=2y = 2
Show the answer and the solution

Answer: x=6−yx = 6 - y · 2(6−y)+3y=142(6 - y) + 3y = 14 · 12−2y+3y=1412 - 2y + 3y = 14 · y=2y = 2 · x=6−2=4x = 6 - 2 = 4

Worked solution:

2⋅4+3⋅2=142 \cdot 4 + 3 \cdot 2 = 14

בדיקה במשוואה השנייה

מבודדים, מציבים בסוגריים, פותחים, פותרים, וחוזרים לנעלם השני.

Check the answer on elev

Exercise 14

במערכת y=2xy = 2x ו-x+y=12x + y = 12, מציבים: x+2x=12x + 2x = 12.

x=x = ____ , y=y = ____

Show the answer and the solution

Answer: x=x = 4 , y=y = 8

Worked solution:

3x=12  ⇒  x=4\begin{aligned}3x &= 12 \;\Rightarrow\; x \\ &= 4\end{aligned}

פותרים

y=2⋅4=8\begin{aligned}y &= 2 \cdot 4 \\ &= 8\end{aligned}

חוזרים לביטוי המבודד

כש-yy כבר מבודד, ההצבה מיידית. אל תשכחו למצוא גם את yy.

Check the answer on elev

Exercise 15

פתרון של 3x+y=103x + y = 10 ו-x+2y=10x + 2y = 10. שורה אחת שגויה — מצאו אותה.

y=10−3xy = 10 - 3x
x+2(10−3x)=10x + 2(10 - 3x) = 10
x+20−3x=10x + 20 - 3x = 10
x=2x = 2
Show the answer and the solution

Answer: x+20−3x=10x + 20 - 3x = 10 → x+20−6x=10x + 20 - 6x = 10

Worked solution:

2⋅(−3x)=−6x2 \cdot (-3x) = -6x

ה-2 כופל גם את −3x-3x

−5x=−10  ⇒  x=2\begin{aligned}-5x &= -10 \;\Rightarrow\; x \\ &= 2\end{aligned}

ואז y=4y = 4

פתיחת סוגריים: כופלים את כל האיברים שבפנים, לא רק את הראשון.

Check the answer on elev

Exercise 16

באילו מערכות ההצבה נוחה?

  • נוחה: יש מקדם 11 או −1-1
  • לא נוחה
  • 2x+3y=7  ,  6x−4y=52x + 3y = 7 \;,\; 6x - 4y = 5
  • 4x+6y=10  ,  3x+5y=84x + 6y = 10 \;,\; 3x + 5y = 8
  • 5x−y=3  ,  2x+3y=85x - y = 3 \;,\; 2x + 3y = 8
  • x+4y=9  ,  3x−2y=1x + 4y = 9 \;,\; 3x - 2y = 1
Show the answer and the solution

Answer: x+4y=9  ,  3x−2y=1x + 4y = 9 \;,\; 3x - 2y = 1 — נוחה: יש מקדם 11 או −1-1 · 5x−y=3  ,  2x+3y=85x - y = 3 \;,\; 2x + 3y = 8 — נוחה: יש מקדם 11 או −1-1 · 4x+6y=10  ,  3x+5y=84x + 6y = 10 \;,\; 3x + 5y = 8 — לא נוחה · 2x+3y=7  ,  6x−4y=52x + 3y = 7 \;,\; 6x - 4y = 5 — לא נוחה

Worked solution:

x  ,  −yx \;,\; -y

שני המקדמים הנוחים

מחפשים מקדם 11 או −1-1 באחת המשוואות. אין כזה: השוואת מקדמים.

Check the answer on elev

Exercise 17

פתרנו מערכת והגענו ל-y=2y = 2. סיימנו לפתור את המערכת.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

x=5−y=3\begin{aligned}x &= 5 - y \\ &= 3\end{aligned}

חוזרים לביטוי המבודד

זו רק חצי תשובה. פתרון של מערכת הוא זוג, (x,y)(x, y): תמיד חוזרים ומוצאים את הנעלם השני.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade