What a system is

On elev, this lesson comes with a video, exercises checked instantly and progress tracking.

Practise on elev
Watch the lesson video

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

במערכת משוואות נותנים לנו שתי משוואות עם שני נעלמים — בדרך כלל xx ו-yy. המטרה שלנו אחת: לגלות את הערך של xx ואת הערך של yy.

{2x+3y=12x+y=5\begin{cases} 2x + 3y = 12 \\ x + y = 5 \end{cases}

שימו לב שמשוואה אחת לבדה לא מספיקה. ל-x+y=5x + y = 5 יש אינסוף פתרונות — 11 ו-44, 22 ו-33, וכן הלאה. רק כששתי המשוואות צריכות להתקיים יחד נשאר פתרון אחד.

הפתרון הוא זוג מספרים, (x,y)(x, y). בודקים אותו כך: מציבים אותו בשתי המשוואות.

הפתרון חייב לספק את שתי המשוואות. אם הוא מתאים רק לאחת מהן — הוא אינו פתרון של המערכת.

מהו פתרון של מערכת משוואות?

Show the answer and the solution

זוג (x,y)(x, y) שמקיים את שתי המשוואות בו-זמנית. לקיים אחת זה לא מספיק.

שתי דרכים, ותמיד שתיהן עובדות

11

שיטת ההצבה — מבודדים נעלם אחד ומציבים אותו במשוואה השנייה

22

שיטת השוואת מקדמים — משווים את המקדמים של אותו נעלם ומחסרים

כל מערכת אפשר לפתור בשתי הדרכים, והתשובה תצא זהה.

ההבדל הוא רק בנוחות: יש מערכות שבהן ההצבה מהירה, ויש כאלה שבהן השוואת המקדמים קלה יותר. שני הפרקים הבאים מלמדים כל אחת מהן, ומתי לבחור בה.

אחד פתר מערכת בהצבה, והשני בהשוואת מקדמים. האם יקבלו אותה תשובה?

Show the answer and the solution

כן. לשתי השיטות תמיד יוצא אותו פתרון. ההבדל הוא רק בכמות העבודה.

בעין: נקודת החיתוך

משוואה עם xx ו-yy היא ישר במערכת צירים. כל נקודה על הישר מקיימת את המשוואה.

11

הישרים נחתכים: פתרון אחד.

00

הישרים מקבילים: אין נקודה משותפת, ולכן אין פתרון.

∞\infty

אותו ישר פעמיים: כל נקודה עליו היא פתרון, אינסוף פתרונות.

למה למערכת של שני ישרים מקבילים אין פתרון?

Show the answer and the solution

כי ישרים מקבילים לא נפגשים: אין נקודה שנמצאת על שניהם.

Exercises

Exercise 1

כמה נעלמים יש במערכת משוואות רגילה של כיתה ח?

  1. שניים
  2. שלושה
  3. אחד
  4. תלוי במשוואות
Show the answer and the solution

Answer: A שניים

Worked solution:

x,yx \quad ,\quad y

שני נעלמים, שתי משוואות

שני נעלמים דורשים שתי משוואות. משוואה אחת לבדה תשאיר אינסוף פתרונות.

Check the answer on elev

Exercise 2

האם הזוג x=4,y=1x = 4,\quad y = 1 הוא פתרון של המערכת הבאה?

{x+y=52x+3y=12\begin{cases} x + y = 5 \\ 2x + 3y = 12 \end{cases}
  1. אי אפשר לדעת
  2. לא — מתקיימת רק השנייה
  3. כן, שתי המשוואות מתקיימות
  4. לא — מתקיימת רק הראשונה
Show the answer and the solution

Answer: D לא — מתקיימת רק הראשונה

Worked solution:

4+1=5✓4 + 1 = 5 \quad \checkmark

הראשונה מתקיימת

2×4+3×1=11≠122 \times 4 + 3 \times 1 = 11 \neq 12

אבל השנייה לא

פתרון של מערכת חייב לספק את שתי המשוואות. הפתרון האמיתי כאן הוא x=3,y=2x = 3,\quad y = 2.

Check the answer on elev

Exercise 3

לאיזו מערכת שיטת ההצבה תהיה נוחה יותר?

  1. {4x+3y=185x+2y=16\begin{cases} 4x + 3y = 18 \\ 5x + 2y = 16 \end{cases}
  2. {6x+4y=209x+8y=34\begin{cases} 6x + 4y = 20 \\ 9x + 8y = 34 \end{cases}
  3. {x+2y=73x+5y=18\begin{cases} x + 2y = 7 \\ 3x + 5y = 18 \end{cases}
  4. אין הבדל, שתיהן זהות
Show the answer and the solution

Answer: C {x+2y=73x+5y=18\begin{cases} x + 2y = 7 \\ 3x + 5y = 18 \end{cases}

Worked solution:

x+2y=7⟶x=7−2y\begin{aligned}x + 2y &= 7 \quad \longrightarrow\quad x \\ &= 7 - 2y\end{aligned}

מקדם 1 — בידוד בלי שברים

כשיש נעלם עם מקדם 1, ההצבה כמעט מיידית. בלי מקדם כזה היא גוררת שברים, ואז עדיף להשוות מקדמים.

Check the answer on elev

Exercise 4

האם אפשר לפתור כל מערכת בשתי השיטות?

  1. לא, כל מערכת מתאימה לשיטה אחת בלבד
  2. רק בהצבה
  3. כן — ההבדל הוא רק בכמות העבודה
  4. רק אם כל המקדמים שלמים
Show the answer and the solution

Answer: C כן — ההבדל הוא רק בכמות העבודה

Worked solution:

הצבה≡השוואת מקדמים\text{הצבה} \quad \equiv\quad \text{השוואת מקדמים}

אותה תשובה, דרך אחרת

שתי השיטות תמיד עובדות ותמיד נותנות אותה תשובה. בוחרים לפי הנוחות, לא לפי נכונות.

Check the answer on elev

Exercise 5

האם (2,5)(2, 5) פתרון של המערכת x+y=7x + y = 7 ו-y−x=3y - x = 3?

  1. כן
  2. אף אחת
  3. רק את הראשונה
  4. רק את השנייה
Show the answer and the solution

Answer: A כן

Worked solution:

2+5=7  ✓2 + 5 = 7 \;\checkmark

הראשונה מתקיימת

5−2=3  ✓5 - 2 = 3 \;\checkmark

וגם השנייה

הזוג מקיים את שתי המשוואות, ולכן הוא פתרון. בודקים תמיד את שתיהן, לא רק את הראשונה.

Check the answer on elev

Exercise 6

במערכת x+y=12x + y = 12 ו-x−y=4x - y = 4 — מהו xx?

Show the answer and the solution

Answer: 8

Worked solution:

(x+y)+(x−y)=12+4(x + y) + (x - y) = 12 + 4

מחברים את המשוואות: ה-yy מתבטל

2x=162x = 16

נשאר נעלם אחד

x=8x = 8

מחלקים ב-2

החיבור עובד כי +y+y ו-−y-y מבטלים זה את זה. נשארת משוואה עם נעלם אחד.

Check the answer on elev

Exercise 7

ובאותה מערכת — מהו yy?

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

12−8=412 - 8 = 4

אחרי שמצאנו נעלם אחד, מציבים אותו באחת המשוואות המקוריות — הפשוטה שבהן.

Check the answer on elev

Exercise 8

שתי משוואות שהן בעצם אותו ישר — כמה פתרונות?

  1. אף אחד
  2. שניים
  3. אחד
  4. אינסוף
Show the answer and the solution

Answer: D אינסוף

Worked solution:

∞\infty

כל נקודה על הישר מקיימת את שתי המשוואות

שתי משוואות שמתארות אותו ישר הן בעצם משוואה אחת. משוואה אחת עם שני נעלמים: אינסוף פתרונות.

Check the answer on elev

Exercise 9

שני ישרים מקבילים (ולא מתלכדים) — כמה פתרונות למערכת?

  1. אחד
  2. שניים
  3. אינסוף
  4. אף אחד
Show the answer and the solution

Answer: D אף אחד

Worked solution:

∅\varnothing

אין נקודת מפגש

ישרים מקבילים לא נחתכים, ולכן אין זוג שמקיים את שתי המשוואות. הטעות: לחשוב שלכל מערכת יש פתרון.

Check the answer on elev

Exercise 10

גרפית: הישרים נחתכים ב-(3,−1)(3, -1). מהו ה-xx של הפתרון?

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

(3,−1)  ⇒  x=3(3, -1) \;\Rightarrow\; x = 3

הנקודה היא (x,y)(x, y): קודם xx

נקודת החיתוך היא הפתרון. בזוג סדור xx בא ראשון, ולכן x=3x = 3 ו-y=−1y = -1.

Check the answer on elev

Exercise 11

הזוג (5,0)(5, 0) הוא פתרון של המערכת x+y=5x + y = 5 ו-2x+3y=122x + 3y = 12.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

5+0=5  ✓5 + 0 = 5 \;\checkmark

הראשונה מתקיימת

2⋅5+3⋅0=10≠122 \cdot 5 + 3 \cdot 0 = 10 \neq 12

השנייה לא

הזוג מקיים רק משוואה אחת, ולכן הוא לא פתרון של המערכת. מי שבודק רק את הראשונה נופל כאן.

Check the answer on elev

Exercise 12

המערכת: x+y=6x + y = 6 ו-x−y=2x - y = 2. מיינו את הזוגות.

  • פתרון של המערכת
  • לא פתרון
  • (2,4)(2, 4)
  • (3,3)(3, 3)
  • (4,2)(4, 2)
  • (5,3)(5, 3)
Show the answer and the solution

Answer: (4,2)(4, 2) — פתרון של המערכת · (3,3)(3, 3) — לא פתרון · (5,3)(5, 3) — לא פתרון · (2,4)(2, 4) — לא פתרון

Worked solution:

4+2=6    4−2=2\begin{aligned}4 + 2 &= 6 \; \\ \; 4 - 2 &= 2\end{aligned}

רק (4,2)(4, 2) מקיים את שתיהן

(3,3)(3, 3) ו-(2,4)(2, 4) מקיימים רק את הראשונה, (5,3)(5, 3) רק את השנייה. פתרון צריך את שתיהן.

Check the answer on elev

Exercise 13

פתרו את המערכת x+y=7x + y = 7 ו-x−y=1x - y = 1.

x=x = ____ , y=y = ____

Show the answer and the solution

Answer: x=x = 4 , y=y = 3

Worked solution:

2x=8  ⇒  x=4\begin{aligned}2x &= 8 \;\Rightarrow\; x \\ &= 4\end{aligned}

מחברים: ה-yy מתבטל

4+y=7  ⇒  y=3\begin{aligned}4 + y &= 7 \;\Rightarrow\; y \\ &= 3\end{aligned}

מציבים חזרה

בדיקה: 4+3=74 + 3 = 7 וגם 4−3=14 - 3 = 1. אל תשכחו את הנעלם השני.

Check the answer on elev

Exercise 14

התאימו כל ציור של שני ישרים למספר הפתרונות של המערכת.

  • שני ישרים נחתכים
  • שני ישרים מקבילים
  • אותו ישר פעמיים
  • אין פתרון
  • אינסוף פתרונות
  • פתרון אחד
Show the answer and the solution

Answer: שני ישרים נחתכים — פתרון אחד · שני ישרים מקבילים — אין פתרון · אותו ישר פעמיים — אינסוף פתרונות

Worked solution:

1  ,  0  ,  ∞1 \;,\; 0 \;,\; \infty

נחתכים, מקבילים, מתלכדים

כל נקודה משותפת לשני הישרים היא פתרון. מספר הפתרונות הוא מספר נקודות המפגש.

Check the answer on elev

Exercise 15

הנקודה (2,5)(2, 5) נמצאת על הישר x+y=7x + y = 7, אבל לא על הישר x−y=1x - y = 1. מה נכון?

  1. למערכת אין פתרון
  2. למערכת אינסוף פתרונות
  3. (2,5)(2, 5) מקיים רק משוואה אחת, ולכן אינו פתרון
  4. (2,5)(2, 5) הוא הפתרון של המערכת
Show the answer and the solution

Answer: C (2,5)(2, 5) מקיים רק משוואה אחת, ולכן אינו פתרון

Worked solution:

2−5=−3≠12 - 5 = -3 \neq 1

השנייה לא מתקיימת

נקודה על ישר אחד בלבד אינה פתרון. הפתרון הוא נקודת החיתוך, (4,3)(4, 3).

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade