Intermediate level

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

עד עכשיו כל מערכת הגיעה מסודרת: xx ו-yy בצד אחד, מספר בצד השני.

כאן המערכת מגיעה מבולגנת: יש סוגריים, יש נעלמים משני הצדדים, ולפעמים המספר יושב באמצע.

לפני שבוחרים שיטה — מסדרים כל משוואה לצורה ax+by=cax + by = c

שימו לב איזו שיטה נבחרה כאן: אחרי הסידור, המקדם של xx יצא זהה בשתי המשוואות — ולכן השוואת מקדמים חוסכת עבודה. הבחירה נעשית אחרי הסידור, לא לפניו.

הטעות של הרמה הזאת.

6(x−4)+4(y−1)=10⇒6x−4+4y−1=10\begin{aligned}6(x-4) + 4(y-1) &= 10 \Rightarrow 6x - 4 + 4y - 1 \\ &= 10\end{aligned}
6x−24+4y−4=106x - 24 + 4y - 4 = 10

כשפותחים סוגריים כופלים את כל מה שבפנים, לא רק את האבר הראשון.

מה עושים עם 3x=y+103x = y + 10 לפני שבוחרים שיטה?

Show the answer and the solution

מסדרים: מעבירים את yy שמאלה ומקבלים 3x−y=103x - y = 10. עכשיו רואים את המקדמים.

איזו שיטה? סורקים את המקדמים

לפני שפותרים מערכת — מה בודקים במקדמים?

Show the answer and the solution

אם יש זוג נגדי או שווה (לחיבור/חיסור מידי), או משתנה מבודד (להצבה). הבדיקה הזו חוסכת חצי עמוד חישובים.

שני ישרים, שלושה מקרים

המערכת x+y=12x+y=12 ו-x−y=4x-y=4 כשני ישרים: y=12−xy=12-x יורד, y=x−4y=x-4 עולה. הפתרון (8,4)(8,4) הוא נקודת המפגש — הנקודה היחידה שנמצאת על שניהם.

למה לפתרון של מערכת יש בדיוק נקודה אחת (בדרך כלל)?

Show the answer and the solution

כי כל משוואה היא ישר, ושני ישרים שאינם מקבילים נחתכים בנקודה אחת בדיוק. מקרים מיוחדים: מקבילים — אין פתרון; אותו ישר — אינסוף פתרונות.

Exercises

Exercise 1

פתרו את המערכת. מהו xx?

{3x−3y=−124x−7y=−28\begin{cases} 3x - 3y = -12 \\ 4x - 7y = -28 \end{cases}
Show the answer and the solution

Answer: 0

Worked solution:

שיטת ההשוואה\text{שיטת ההשוואה}

כופלים את הראשונה ב-4 ואת השנייה ב-3

y=4y = 4
x=0x = 0

הפתרון הוא (0, 4)(0,\, 4). בדיקה: 3⋅0−3⋅4=−123 \cdot 0 - 3 \cdot 4 = -12.

Check the answer on elev

Exercise 2

ובאותה מערכת — מהו yy?

{3x−3y=−124x−7y=−28\begin{cases} 3x - 3y = -12 \\ 4x - 7y = -28 \end{cases}
Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

y=4y = 4

הזוג הסדור הוא (0, 4)(0,\, 4) — ותמיד עונים על שניהם.

Check the answer on elev

Exercise 3

פתרו. מהו yy?

{6x+y=−44x+6y=24\begin{cases} 6x + y = -4 \\ 4x + 6y = 24 \end{cases}
Show the answer and the solution

Answer: 5

Worked solution:

y=−4−6xy = -4 - 6x

ל-yy יש מקדם 1 — אז הצבה

4x+6(−4−6x)=244x + 6(-4 - 6x) = 24
x=−1.5    y=5\begin{aligned}x &= -1.5 \; \\ \; y &= 5\end{aligned}

הפתרון (−1.5, 5)(-1.5,\, 5) — ולא כל פתרון חייב להיות שלם.

Check the answer on elev

Exercise 4

פתרו. מהו xx?

{−6x+4y=58−6x−2y=16\begin{cases} -6x + 4y = 58 \\ -6x - 2y = 16 \end{cases}
Show the answer and the solution

Answer: -5

Worked solution:

6y=42  ⟶  y=7\begin{aligned}6y &= 42 \;\longrightarrow\; y \\ &= 7\end{aligned}

מחסרים — ה-−6x-6x מצטמצם מייד

x=−5x = -5

כאן המקדמים כבר היו זהים — סימן ברור להשוואת מקדמים.

Check the answer on elev

Exercise 5

פתרו. מהו yy?

{5x+4y=−164x−5y=20\begin{cases} 5x + 4y = -16 \\ 4x - 5y = 20 \end{cases}
Show the answer and the solution

Answer: -4

Worked solution:

×5  ,  ×4\times 5 \;,\; \times 4

מכפילים כדי להשוות את מקדמי yy

x=0    y=−4\begin{aligned}x &= 0 \; \\ \; y &= -4\end{aligned}
Check the answer on elev

Exercise 6

סדרו קודם, ואז פתרו. מהו xx?

{10+2(2x+y)=x+173x=y+10\begin{cases} 10 + 2(2x + y) = x + 17 \\ 3x = y + 10 \end{cases}
Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

3x+2y=73x + 2y = 7

אחרי פתיחת סוגריים וסידור

3x−y=103x - y = 10
x=3    y=−1\begin{aligned}x &= 3 \; \\ \; y &= -1\end{aligned}
Check the answer on elev

Exercise 7

סדרו ופתרו. מהו yy?

{3x+y−12=3yx+y=14\begin{cases} 3x + y - 12 = 3y \\ x + y = 14 \end{cases}
Show the answer and the solution

Answer: 6

Worked solution:

3x−2y=123x - 2y = 12

מסדרים את הראשונה

x=8    y=6\begin{aligned}x &= 8 \; \\ \; y &= 6\end{aligned}
Check the answer on elev

Exercise 8

פתחו סוגריים, סדרו ופתרו. מהו xx?

{6(x−4)+4(y−1)=107+x=y+10\begin{cases} 6(x - 4) + 4(y - 1) = 10 \\ 7 + x = y + 10 \end{cases}
Show the answer and the solution

Answer: 5

Worked solution:

6x+4y=386x + 4y = 38

אחרי פתיחת סוגריים

x−y=3x - y = 3
x=5    y=2\begin{aligned}x &= 5 \; \\ \; y &= 2\end{aligned}
Check the answer on elev

Exercise 9

פתרו. מהו yy?

{−7y−88=6x−y=4x+22\begin{cases} -7y - 88 = 6x \\ -y = 4x + 22 \end{cases}
Show the answer and the solution

Answer: -10

Worked solution:

−6x−7y=88-6x - 7y = 88

מסדרים

−4x−y=22-4x - y = 22
x=−3    y=−10\begin{aligned}x &= -3 \; \\ \; y &= -10\end{aligned}
Check the answer on elev

Exercise 10

פתרו. מהו xx?

{3x−8y=−78−8x+2y=34\begin{cases} 3x - 8y = -78 \\ -8x + 2y = 34 \end{cases}
Show the answer and the solution

Answer: -2

Worked solution:

×1  ,  ×4\times 1 \;,\; \times 4

משווים את מקדמי yy

x=−2    y=9\begin{aligned}x &= -2 \; \\ \; y &= 9\end{aligned}
Check the answer on elev

Exercise 11

לפני שבוחרים שיטת פתרון, צריך לסדר את שתי המשוואות לצורה ax+by=cax + by = c.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

סידור לצורה ax+by=cax + by = c הוא מה שמאפשר להשוות בין המשוואות ולבחור שיטה. בלי זה בוחרים באפלה.

Check the answer on elev

Exercise 12

הפתרון של מערכת משוואות חייב להיות מספר שלם.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

לא. הפתרון יכול להיות שבר או עשרוני — אין שום כלל שמחייב מספר שלם.

Check the answer on elev

Exercise 13

פתרו את המערכת ומצאו את xx:

x+y=12x−y=4\begin{aligned}x + y &= 12\\x - y &= 4\end{aligned}
Show the answer and the solution

Answer: 8

Worked solution:

2x=16  ⇒  x=8  y=4\begin{aligned}2x &= 16 \;\Rightarrow\; x \\ &= 8 \\ \; y &= 4\end{aligned}

מחברים את שתי המשוואות

החיבור מעלים את y: נשאר 2x=162x = 16. ובדיקה: 8 ועוד 4 הם 12, 8 פחות 4 הם 4.

Check the answer on elev

Exercise 14

הצבה: במערכת y=x+2y = x + 2 וגם 2x+y=142x + y = 14 —

מציבים ומקבלים 2x + x + 2 = 14 , ולכן x = ____ ו-y = ____.

Show the answer and the solution

Answer: מציבים ומקבלים 2x + x + 2 = 14 , ולכן x = 4 ו-y = 6.

Worked solution:

3x=12  ⇒  x=4\begin{aligned}3x &= 12 \;\Rightarrow\; x \\ &= 4\end{aligned}

המשוואה הראשונה נכנסת לשנייה

Check the answer on elev

Exercise 15

סדרו את שלבי ההצבה:

  • 2x+(x+3)=122x + (x + 3) = 12
  • 3x=93x = 9
  • x=3,  y=6x = 3,\; y = 6
  • y=x+3y = x + 3
Show the answer and the solution

Answer: y=x+3y = x + 3 · 2x+(x+3)=122x + (x + 3) = 12 · 3x=93x = 9 · x=3,  y=6x = 3,\; y = 6

Worked solution:

2×3+6=122 \times 3 + 6 = 12

מציבים, מכנסים, פותרים

y מבוטא — מציבים אותו במשוואה השנייה, וכל השאר משוואה רגילה.

Check the answer on elev

Exercise 16

שיטת החיבור — שורה אחת שגויה:

x+y=10x + y = 10
x−y=2x - y = 2
2x=82x = 8
x=4x = 4
Show the answer and the solution

Answer: 2x=82x = 8 → 2x=122x = 12

Worked solution:

(x+y)+(x−y)=10+2(x+y) + (x-y) = 10 + 2

מחברים גם את האגפים הימניים

חיבור שתי המשוואות נותן 2x=122x = 12, לא 8 — כנראה חיסרו במקום לחבר. ואז x=6,y=4x = 6, y = 4.

Check the answer on elev

Exercise 17

מיינו: באיזו שיטה הכי נוח לפתור כל מערכת?

  • הצבה
  • השוואת מקדמים
  • 4x+5y=2  ,  4x−3y=184x + 5y = 2 \;,\; 4x - 3y = 18
  • 5x+3y=1  ,  2x−3y=65x + 3y = 1 \;,\; 2x - 3y = 6
  • x=2y  ,  x+y=9x = 2y \;,\; x + y = 9
  • y=4x−1  ,  3x+2y=9y = 4x - 1 \;,\; 3x + 2y = 9
Show the answer and the solution

Answer: y=4x−1  ,  3x+2y=9y = 4x - 1 \;,\; 3x + 2y = 9 — הצבה · 5x+3y=1  ,  2x−3y=65x + 3y = 1 \;,\; 2x - 3y = 6 — השוואת מקדמים · x=2y  ,  x+y=9x = 2y \;,\; x + y = 9 — הצבה · 4x+5y=2  ,  4x−3y=184x + 5y = 2 \;,\; 4x - 3y = 18 — השוואת מקדמים

Worked solution:

y=…    x=…\begin{aligned}y &= \ldots \; \\ \; x &= \ldots\end{aligned}

נעלם מבודד: הצבה

+3y,−3y  ;  4x,4x+3y, -3y \;;\; 4x, 4x

מקדמים נגדיים או שווים: השוואת מקדמים

סורקים לפני שפותרים: נעלם מבודד מזמין הצבה, ומקדמים נגדיים או שווים מזמינים חיבור או חיסור.

Check the answer on elev

Exercise 18

מה הצורה המסודרת ax+by=cax + by = c של 2(x−3)+y=42(x - 3) + y = 4?

  1. 2x+y=102x + y = 10
  2. 2x+y=−22x + y = -2
  3. 2x−3+y=42x - 3 + y = 4
  4. 2x+y=72x + y = 7
Show the answer and the solution

Answer: A 2x+y=102x + y = 10

Worked solution:

2x−6+y=42x - 6 + y = 4

פותחים סוגריים: 2⋅(−3)=−62 \cdot (-3) = -6

2x+y=102x + y = 10

מעבירים את −6-6 ימינה: הוא נהיה +6+6

שתי טעויות אורבות: לכפול רק את xx (ואז −3-3), ולשכוח להפוך סימן כשמעבירים אגף.

Check the answer on elev

Exercise 19

מסדרים את 5+3(x−y)=2x+15 + 3(x - y) = 2x + 1. שורה אחת שגויה:

5+3(x−y)=2x+15 + 3(x - y) = 2x + 1
5+3x−y=2x+15 + 3x - y = 2x + 1
x−y=−4x - y = -4
Show the answer and the solution

Answer: 5+3x−y=2x+15 + 3x - y = 2x + 1 → 5+3x−3y=2x+15 + 3x - 3y = 2x + 1

Worked solution:

3(x−y)=3x−3y3(x - y) = 3x - 3y

ה-3 כופל גם את yy

x−3y=−4x - 3y = -4

הצורה המסודרת הנכונה

פותחים סוגריים: הכפל חל על כל האיברים שבפנים, לא רק על הראשון.

Check the answer on elev

Exercise 20

למערכת y=2x+1y = 2x + 1 ו-y=2x+5y = 2x + 5 יש פתרון אחד.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

2x+1=2x+5  ⇒  1=5\begin{aligned}2x + 1 &= 2x + 5 \;\Rightarrow\; 1 \\ &= 5\end{aligned}

סתירה

אותו שיפוע וקבועים שונים: שני ישרים מקבילים. אין נקודת חיתוך, ולכן אין פתרון.

Check the answer on elev

Exercise 21

הישרים y=3x−2y = 3x - 2 ו-y=−x+6y = -x + 6 נחתכים בנקודה אחת. מהו ה-xx שלה?

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

3x−2=−x+63x - 2 = -x + 6

בנקודת החיתוך ה-yy שווה

4x=8  ⇒  x=2\begin{aligned}4x &= 8 \;\Rightarrow\; x \\ &= 2\end{aligned}

ואז y=4y = 4

נקודת החיתוך היא הפתרון של המערכת. בדיקה: −2+6=4-2 + 6 = 4 ✓

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade