Proving it is a kite

On elev, this lesson comes with a video, exercises checked instantly and progress tracking.

Practise on elev
Watch the lesson video

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

יש שתי דרכים להוכיח שמרובע הוא דלתון. מספיקה אחת.

הן דומות מאוד לדרכים של המעוין. לכן קוראים אותן לאט.

האלכסונים מאונכים, ושניהם נחצים. איזו צורה זו?

Show the answer and the solution

מעוין. וגם מעוין הוא דלתון: יש בו שני זוגות של צלעות סמוכות שוות.

סמוכות מול נגדיות

דלתון ומקבילית נבדלים במילה אחת: סמוכות או נגדיות.

ההוכחה שמאחורי התכונות

במרובע ABCDABCD נתון AB=ADAB = AD ו-CB=CDCB = CD. הוכיחו שהאלכסון ACAC חוצה את ∠A\angle A.

AB=ADAB = AD

CB=CDCB = CD

∠BAC=∠DAC\angle BAC = \angle DAC

נתון

נתון

AC=CAAC = CA

צלע משותפת לשני המשולשים

△ABC≅△ADC\triangle ABC \cong \triangle ADC

משפט חפיפה צ.צ.צ

זוויות מתאימות במשולשים חופפים שוות

זו ההוכחה שמאחורי כל תכונות הדלתון: האלכסון הראשי חותך אותו לשני משולשים חופפים, ומשם נובע הכול.

איך מוכיחים שמרובע הוא דלתון?

Show the answer and the solution

מראים שני זוגות של צלעות סמוכות שוות — זו ההגדרה. חפיפת המשולשים משני צדי האלכסון הראשי עושה את העבודה.

Exercises

Exercise 1

נתון AB=ADAB = AD ו-CB=CDCB = CD. מה הוכחנו?

  1. לא ניתן להסיק
  2. שהמרובע דלתון
  3. שהמרובע מעוין
  4. שהמרובע מקבילית
Show the answer and the solution

Answer: B שהמרובע דלתון

Worked solution:

AB=ADCB=CD⇒דלתון\begin{aligned}AB &= AD \\ \quad CB &= CD \Rightarrow \text{דלתון}\end{aligned}

הדרך הראשונה

שתי הצלעות בכל זוג נפגשות בקודקוד — לכן סמוכות. שני זוגות סמוכים שווים

Check the answer on elev

Exercise 2

נתון AB=DCAB = DC ו-BC=ADBC = AD. מה הוכחנו?

  1. שהמרובע מעוין
  2. שהמרובע מקבילית
  3. שהמרובע ריבוע
  4. שהמרובע דלתון
Show the answer and the solution

Answer: B שהמרובע מקבילית

Worked solution:

AB=DCBC=AD⇒מקבילית\begin{aligned}AB &= DC \\ \quad BC &= AD \Rightarrow \text{מקבילית}\end{aligned}

צלעות נגדיות

מילה אחת מפרידה בין שתי השאלות: סמוכות או נגדיות. אלה זוגות נגדיים

Check the answer on elev

Exercise 3

נתון שאלכסון אחד מאונך לשני וחוצה אותו. מה הוכחנו?

  1. שהמרובע מעוין
  2. לא ניתן להסיק
  3. שהמרובע ריבוע
  4. שהמרובע דלתון
Show the answer and the solution

Answer: D שהמרובע דלתון

Worked solution:

AC⊥BDBO=OD⇒דלתון\begin{aligned}AC \perp BD \\ \quad BO &= OD \Rightarrow \text{דלתון}\end{aligned}

הדרך השנייה

למעוין היה צריך ששני האלכסונים ייחצו, לא רק אחד.

Check the answer on elev

Exercise 4

מה ההבדל בין דרך האלכסונים של הדלתון לזו של המעוין?

  1. בדלתון האלכסונים אינם מאונכים
  2. אין הבדל
  3. בדלתון נחצה אלכסון אחד, במעוין שניהם
  4. במעוין האלכסונים שווים
Show the answer and the solution

Answer: C בדלתון נחצה אלכסון אחד, במעוין שניהם

Worked solution:

דלתון:BO=OD\text{דלתון}: BO = OD

רק המשני

מעוין:BO=ODAO=OC\begin{aligned}\text{מעוין}: BO &= OD \\ \quad AO &= OC\end{aligned}

שניהם

שתי הדרכים נשמעות כמעט זהות — לכן קוראים אותן לאט.

Check the answer on elev

Exercise 5

ABCD
האלכסון ACAC מחלק את הדלתון לשני משולשים.

בדלתון ABCDABCD נתון AB=ADAB = AD ו-CB=CDCB = CD. הוכיחו כי ∠ABC=∠ADC\angle ABC = \angle ADC.

  • AB=ADAB = AD
  • CB=CDCB = CD

∠ABC=∠ADC\angle ABC = \angle ADC

Show the answer and the solution
  1. AB=ADAB = AD — נתון
  2. CB=CDCB = CD — נתון
  3. AC=ACAC = AC — צלע משותפת לשני המשולשים
  4. △ABC≅△ADC\triangle ABC \cong \triangle ADC — משפט חפיפה צ.צ.צ
  5. ∠ABC=∠ADC\angle ABC = \angle ADC — זוויות מתאימות במשולשים חופפים שוות

Worked solution:

AB=AD  CB=CD  AC=AC\begin{aligned}AB &= AD \ \\ \ CB &= CD \ \\ \ AC &= AC\end{aligned}

שלוש צלעות

△ABC≅△ADC\triangle ABC \cong \triangle ADC

צ.צ.צ

∠ABC=∠ADC\angle ABC = \angle ADC

זוויות מתאימות

רק זוג אחד של זוויות נגדיות שווה בדלתון — זה שבין שתי הצלעות הלא־שוות. הזוויות ∠A\angle A ו-∠C\angle C בדרך כלל שונות.

Check the answer on elev

Exercise 6

ABCD
שתי זוויות שוות בכל אחד מהמשולשים ABCABC ו-ADCADC — והזוג השלישי מגיע מסכום הזוויות.

במרובע ABCDABCD האלכסון ACAC חוצה את הזווית ∠BAD\angle BAD, ונתון ∠ABC=∠ADC\angle ABC = \angle ADC. הוכיחו כי ABCDABCD הוא דלתון.

  • ∠BAC=∠DAC\angle BAC = \angle DAC
  • ∠ABC=∠ADC\angle ABC = \angle ADC

מרובע ABCDABCD הוא דלתון

Show the answer and the solution
  1. ∠BAC=∠DAC\angle BAC = \angle DAC — נתון: ACAC חוצה את ∠BAD\angle BAD
  2. ∠ABC=∠ADC\angle ABC = \angle ADC — נתון
  3. ∠BCA=∠DCA\angle BCA = \angle DCA — סכום הזוויות במשולש שווה 180∘180^\circ, ולכן גם הזוג השלישי שווה
  4. AC=ACAC = AC — צלע משותפת לשני המשולשים
  5. △ABC≅△ADC\triangle ABC \cong \triangle ADC — משפט חפיפה ז.צ.ז
  6. AB=ADAB = AD — צלעות מתאימות במשולשים חופפים שוות
  7. CB=CDCB = CD — צלעות מתאימות במשולשים חופפים שוות
  8. מרובע ABCDABCD הוא דלתון — שני זוגות של צלעות סמוכות שוות — זו ההגדרה

Worked solution:

∠BCA=180∘−∠BAC−∠ABC=180∘−∠DAC−∠ADC=∠DCA\begin{aligned}\angle BCA &= 180^\circ - \angle BAC - \angle ABC \\ &= 180^\circ - \angle DAC - \angle ADC \\ &= \angle DCA\end{aligned}

שני זוגות זוויות שווים, ולכן גם השלישי

△ABC≅△ADC\triangle ABC \cong \triangle ADC

משפט חפיפה ז.צ.ז — הצלע ACAC בין שתי הזוויות

AB=AD  CB=CD\begin{aligned}AB &= AD \ \\ \ CB &= CD\end{aligned}

שני זוגות של צלעות סמוכות שוות

הזווית הנתונה ∠ABC\angle ABC אינה צמודה לצלע המשותפת ACAC, ולכן אי אפשר להפעיל ז.צ.ז מיד. סכום הזוויות במשולש הופך אותה לזווית שליד CC — ואז הצלע ACAC כלואה בין שתי זוויות שוות.

Check the answer on elev

Exercise 7

האלכסון הראשי בדלתון הוא ציר סימטריה. מה נובע?

  1. שני חצאי הדלתון חופפים
  2. אין מסקנה
  3. הדלתון מלבן
  4. האלכסונים שווים
Show the answer and the solution

Answer: A שני חצאי הדלתון חופפים

Worked solution:

≅\cong

קיפול מושלם

Check the answer on elev

Exercise 8

איזה משפט חפיפה מוכיח את תכונות הדלתון מהאלכסון הראשי?

  1. ז.ז.ז
  2. אין צורך
  3. צ.צ.ז
  4. צ.צ.צ
Show the answer and the solution

Answer: D צ.צ.צ

Worked solution:

שתי שוות + משותפת\text{שתי שוות + משותפת}

שתי צלעות שוות ועוד הצלע המשותפת (האלכסון הראשי) — שלוש צלעות, כלומר צ.צ.צ.

Check the answer on elev

Exercise 9

בדלתון — מי מאונך למי?

  1. האלכסונים זה לזה
  2. המשני לצלע
  3. הראשי לצלע
  4. הצלעות השוות
Show the answer and the solution

Answer: A האלכסונים זה לזה

Worked solution:

⊥\perp

בדלתון האלכסונים מאונכים זה לזה, והראשי חוצה את המשני.

Check the answer on elev

Exercise 10

המשני חוצה את הראשי — נכון?

  1. לא
  2. כן תמיד
  3. אף אחד
  4. שניהם חוצים
Show the answer and the solution

Answer: A לא

Worked solution:

רק בכיוון אחד\text{רק בכיוון אחד}

בריבוע ומעוין — שניהם

הראשי חוצה את המשני, לא להפך

Check the answer on elev

Exercise 11

במרובע ABCDABCD האלכסונים נחתכים בנקודה OO. איזה נתון מספיק כדי להוכיח שהוא דלתון?

  • מספיק
  • לא מספיק
  • AB=ADAB = AD וגם CB=CDCB = CD
  • AB=CDAB = CD וגם BC=ADBC = AD
  • AC⊥BDAC \perp BD בלבד
  • AC⊥BDAC \perp BD וגם BO=ODBO = OD
  • AO=OCAO = OC וגם BO=ODBO = OD
  • BO=ODBO = OD בלבד
Show the answer and the solution

Answer: AB=ADAB = AD וגם CB=CDCB = CD — מספיק · AC⊥BDAC \perp BD וגם BO=ODBO = OD — מספיק · AB=CDAB = CD וגם BC=ADBC = AD — לא מספיק · AC⊥BDAC \perp BD בלבד — לא מספיק · BO=ODBO = OD בלבד — לא מספיק · AO=OCAO = OC וגם BO=ODBO = OD — לא מספיק

Worked solution:

AB=AD CB=CD\begin{aligned}AB &= AD \\ \ CB &= CD\end{aligned}

דרך ראשונה: שני זוגות של צלעות סמוכות שוות

AC⊥BD BO=OD\begin{aligned}AC \perp BD \\ \ BO &= OD\end{aligned}

דרך שנייה: אלכסון מאונך לשני וחוצה אותו

שתי הדרכים: שני זוגות של צלעות סמוכות שוות, או אלכסון שמאונך לשני וחוצה אותו. צלעות נגדיות שוות ואלכסונים שחוצים זה את זה נותנים מקבילית. אלכסונים מאונכים לבד, או אלכסון נחצה לבד, אינם מספיקים.

Check the answer on elev

Exercise 12

במרובע ABCDABCD האלכסונים נחתכים בנקודה OO, ונתון AC⊥BDAC \perp BD ו-BO=ODBO = OD. כך הוכיחו שהוא דלתון. שורה אחת שגויה — מצאו אותה

AC⊥BD BO=OD (נתון)\begin{aligned}AC \perp BD \\ \ BO &= OD \ (\text{נתון})\end{aligned}
△AOB≅△AOD (צ.ז.צ)\triangle AOB \cong \triangle AOD \ (\text{צ.ז.צ})
AB=AD (צלעות מתאימות במשולשים חופפים)AB = AD \ (\text{צלעות מתאימות במשולשים חופפים})
ABCD דלתון (יש בו זוג של צלעות סמוכות שוות)ABCD \ \text{דלתון} \ (\text{יש בו זוג של צלעות סמוכות שוות})
Show the answer and the solution

Answer: ABCD דלתון (יש בו זוג של צלעות סמוכות שוות)ABCD \ \text{דלתון} \ (\text{יש בו זוג של צלעות סמוכות שוות}) → ABCD דלתון (אלכסון מאונך לשני וחוצה אותו)ABCD \ \text{דלתון} \ (\text{אלכסון מאונך לשני וחוצה אותו})

Worked solution:

AB=AD CB=CD\begin{aligned}AB &= AD \\ \ CB &= CD\end{aligned}

שני זוגות של צלעות סמוכות שוות — רק אז דלתון

זוג אחד של צלעות סמוכות שוות אינו מספיק: גם מרובע שבו רק AB=ADAB = AD עונה על זה, והקודקוד CC יכול להיות כמעט בכל מקום. אפשר להוכיח באותו אופן גם CB=CDCB = CD, ואז יש שני זוגות. או פשוט לצטט את הדרך השנייה: אלכסון מאונך לשני וחוצה אותו.

Check the answer on elev

Exercise 13

במרובע ABCDABCD האלכסונים נחתכים ב-OO. איזה נתון מספיק כדי לקבוע שהוא דלתון?

  • מספיק
  • לא מספיק
  • AB=ADAB = AD וגם CB=CDCB = CD
  • AB=CDAB = CD וגם BC=ADBC = AD
  • AC⊥BDAC \perp BD בלבד
  • AC⊥BDAC \perp BD וגם AO=OCAO = OC
  • AC⊥BDAC \perp BD וגם BO=ODBO = OD
  • BO=ODBO = OD בלבד
Show the answer and the solution

Answer: AB=ADAB = AD וגם CB=CDCB = CD — מספיק · AC⊥BDAC \perp BD וגם BO=ODBO = OD — מספיק · AC⊥BDAC \perp BD וגם AO=OCAO = OC — מספיק · AC⊥BDAC \perp BD בלבד — לא מספיק · AB=CDAB = CD וגם BC=ADBC = AD — לא מספיק · BO=ODBO = OD בלבד — לא מספיק

Worked solution:

AC⊥BD AO=OC\begin{aligned}AC \perp BD \\ \ AO &= OC\end{aligned}

גם זה דלתון: הפעם BDBD הוא האלכסון הראשי

צריך שתי עובדות: אנך וגם חציה. זוגות נגדיים שווים נותנים מקבילית.

Check the answer on elev

Exercise 14

ABCDO
האלכסונים מאונכים, ו-OO באמצע ACAC.

במרובע ABCDABCD האלכסונים נחתכים ב-OO, ונתון AC⊥BDAC \perp BD וגם AO=OCAO = OC. לכן ABCDABCD הוא דלתון.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

BA=BCDA=DC\begin{aligned}BA &= BC \\ \quad DA &= DC\end{aligned}

BDBD מאונך ל-ACAC וחוצה אותו

נכון. האלכסון שחוצה ומאונך הוא BDBD, והוא הראשי. אין חשיבות לשם של האלכסון.

Check the answer on elev

Exercise 15

במרובע ABCDABCD נתון AB=BCAB = BC וגם CD=DACD = DA. לכן ABCDABCD הוא דלתון.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

BA=BCDC=DA\begin{aligned}BA &= BC \\ \quad DC &= DA\end{aligned}

זוג נפגש ב-BB, זוג נפגש ב-DD

נכון: שני זוגות של צלעות סמוכות. האלכסון הראשי כאן הוא BDBD.

Check the answer on elev

Exercise 16

בהוכחה ש-△ABC≅△ADC\triangle ABC \cong \triangle ADC בדלתון, ליד AC=ACAC = AC כותבים את הנימוק «נתון».

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

AC=ACAC = AC

צלע משותפת לשני המשולשים

לא נתון. ACAC שייכת לשני המשולשים, והנימוק הוא צלע משותפת.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade