The 30-60-90 triangle

On elev, this lesson comes with a video, exercises checked instantly and progress tracking.

Practise on elev
Watch the lesson video

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

יש משולש ישר זווית אחד שחוזר שוב ושוב, ונקרא לו משולש הזהב. הזוויות שלו: 30°30°, 60°60° ו-90°90°.

המשפט: במשולש הזהב, הצלע שמול הזווית 90°90° שווה לפעמיים הצלע שמול הזווית 30°30°.

היתר=2×הצלע שמול 30°\text{היתר} = 2 \times \text{הצלע שמול } 30°

הצלע הקטנה ביותר, מול הזווית הקטנה ביותר, היא מחצית היתר. די להכיר אחת מהן כדי לדעת מיד את השנייה.

למה זה עובד

זה לא מקרי. הזוויות קובעות את צורת המשולש, והצורה קובעת את היחסים בין הצלעות.

שני משולשי זהב, קטן וגדול, הם תמיד דומים. לכן היחס ביניהם קבוע.

זו המסקנה של פרק הדמיון: זוויות שוות, יחסים שווים. משולש הזהב הוא המקרה השימושי ביותר של הכלל הזה.

משולש זהב אחד קטן, והשני גדול ממנו פי 10. פי כמה היתר גדול מהצלע שמול 30°30°, בכל אחד מהם?

Show the answer and the solution

פי 2, בשניהם. כל הצלעות גדלו פי 10, ולכן היחס ביניהן לא השתנה.

והצלע השלישית

את הצלע שמול ה-60°60° אין צורך לזכור — מוצאים אותה במשפט פיתגורס, כמו כל צלע חסרה.

הצלע השלישית כמעט אף פעם אינה מספר שלם, וזה תקין לגמרי. הכתיב המדויק שלה דורש שורשים.

הטעות שנובעת מבלבול בין הצלעות.

היתר=2×הצלע שמול 60°\text{היתר} = 2 \times \text{הצלע שמול } 60°
היתר=2×הצלע שמול 30°\text{היתר} = 2 \times \text{הצלע שמול } 30°

הכפל הוא ביחס לצלע הקטנה — זו שמול הזווית הקטנה. הצלע שמול 60°60° גדולה ממנה, ואין לה יחס פשוט ליתר.

במשולש 30-60-90 היתר 10. מהו הניצב מול ה-30?

Show the answer and the solution

5 — חצי היתר, תמיד. זו התכונה המרכזית של משולש הזהב.

Exercises

Exercise 1

במשולש זהב, הצלע שמול הזווית 30° היא 3 ס״מ. מה אורך היתר?

Show the answer and the solution

Answer: 6

Worked solution:

2×3=62 \times 3 = 6

היתר הוא פעמיים הצלע שמול 30°

הצלע הקטנה ביותר היא תמיד מחצית היתר — זו כל התכונה.

Check the answer on elev

Exercise 2

במשולש זהב, אורך היתר הוא 6 ס״מ. מה אורך הצלע שמול הזווית 30°?

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

62=3\frac{6}{2} = 3

הכיוון ההפוך — מחצית היתר

התכונה עובדת בשני הכיוונים, ולכן שווה לזהות משולש זהב מיד לפי הזוויות.

Check the answer on elev

Exercise 3

במשולש זהב, הצלע שמול הזווית 30° היא 5 ס״מ. מה אורך היתר?

Show the answer and the solution

Answer: 10

Worked solution:

2×5=102 \times 5 = 10

היתר הוא פעמיים הצלע שמול 30°

הצלע הקטנה ביותר היא תמיד מחצית היתר — זו כל התכונה.

Check the answer on elev

Exercise 4

במשולש זהב, אורך היתר הוא 10 ס״מ. מה אורך הצלע שמול הזווית 30°?

Show the answer and the solution

Answer: 5

Worked solution:

102=5\frac{10}{2} = 5

הכיוון ההפוך — מחצית היתר

התכונה עובדת בשני הכיוונים, ולכן שווה לזהות משולש זהב מיד לפי הזוויות.

Check the answer on elev

Exercise 5

במשולש זהב, הצלע שמול הזווית 30° היא 7 ס״מ. מה אורך היתר?

Show the answer and the solution

Answer: 14

Worked solution:

2×7=142 \times 7 = 14

היתר הוא פעמיים הצלע שמול 30°

הצלע הקטנה ביותר היא תמיד מחצית היתר — זו כל התכונה.

Check the answer on elev

Exercise 6

במשולש זהב, אורך היתר הוא 14 ס״מ. מה אורך הצלע שמול הזווית 30°?

Show the answer and the solution

Answer: 7

Worked solution:

142=7\frac{14}{2} = 7

הכיוון ההפוך — מחצית היתר

התכונה עובדת בשני הכיוונים, ולכן שווה לזהות משולש זהב מיד לפי הזוויות.

Check the answer on elev

Exercise 7

במשולש זהב, הצלע שמול הזווית 30° היא 9 ס״מ. מה אורך היתר?

Show the answer and the solution

Answer: 18

Worked solution:

2×9=182 \times 9 = 18

היתר הוא פעמיים הצלע שמול 30°

הצלע הקטנה ביותר היא תמיד מחצית היתר — זו כל התכונה.

Check the answer on elev

Exercise 8

במשולש זהב, אורך היתר הוא 18 ס״מ. מה אורך הצלע שמול הזווית 30°?

Show the answer and the solution

Answer: 9

Worked solution:

182=9\frac{18}{2} = 9

הכיוון ההפוך — מחצית היתר

התכונה עובדת בשני הכיוונים, ולכן שווה לזהות משולש זהב מיד לפי הזוויות.

Check the answer on elev

Exercise 9

במשולש זהב, הצלע שמול הזווית 30° היא 12 ס״מ. מה אורך היתר?

Show the answer and the solution

Answer: 24

Worked solution:

2×12=242 \times 12 = 24

היתר הוא פעמיים הצלע שמול 30°

הצלע הקטנה ביותר היא תמיד מחצית היתר — זו כל התכונה.

Check the answer on elev

Exercise 10

במשולש זהב, אורך היתר הוא 24 ס״מ. מה אורך הצלע שמול הזווית 30°?

Show the answer and the solution

Answer: 12

Worked solution:

242=12\frac{24}{2} = 12

הכיוון ההפוך — מחצית היתר

התכונה עובדת בשני הכיוונים, ולכן שווה לזהות משולש זהב מיד לפי הזוויות.

Check the answer on elev

Exercise 11

במשולש זהב, הצלע שמול הזווית 30° היא 20 ס״מ. מה אורך היתר?

Show the answer and the solution

Answer: 40

Worked solution:

2×20=402 \times 20 = 40

היתר הוא פעמיים הצלע שמול 30°

הצלע הקטנה ביותר היא תמיד מחצית היתר — זו כל התכונה.

Check the answer on elev

Exercise 12

במשולש זהב, אורך היתר הוא 40 ס״מ. מה אורך הצלע שמול הזווית 30°?

Show the answer and the solution

Answer: 20

Worked solution:

402=20\frac{40}{2} = 20

הכיוון ההפוך — מחצית היתר

התכונה עובדת בשני הכיוונים, ולכן שווה לזהות משולש זהב מיד לפי הזוויות.

Check the answer on elev

Exercise 13

אילו זוויות יש במשולש זהב?

  1. 30°30°, 30°30°, 120°120°
  2. 45°45°, 45°45°, 90°90°
  3. 30°30°, 60°60°, 90°90°
  4. 60°60°, 60°60°, 60°60°
Show the answer and the solution

Answer: C 30°30°, 60°60°, 90°90°

Worked solution:

30+60+90=18030 + 60 + 90 = 180

וסכום הזוויות מתקיים

זהו המשולש שהזוויות שלו קובעות יחס פשוט במיוחד בין הצלעות.

Check the answer on elev

Exercise 14

לאיזו צלע היתר שווה פי שניים?

  1. לאף אחת מהן
  2. לשתי הצלעות
  3. לצלע שמול 30°30°
  4. לצלע שמול 60°60°
Show the answer and the solution

Answer: C לצלע שמול 30°30°

Worked solution:

היתר=2×מול 30°\text{היתר} = 2 \times \text{מול } 30°

הצלע הקטנה ביותר

הזווית הקטנה ביותר נמצאת תמיד מול הצלע הקטנה ביותר. הבלבול עם הצלע שמול 60° הוא הטעות הנפוצה.

Check the answer on elev

Exercise 15

מדוע היחס נשאר קבוע גם כשהמשולש גדל?

  1. כי הזוויות קובעות את הצורה, וכל משולשי הזהב דומים
  2. זו הגדרה שרירותית
  3. זה נכון רק במשולשים קטנים
  4. כי כל המשולשים חופפים
Show the answer and the solution

Answer: A כי הזוויות קובעות את הצורה, וכל משולשי הזהב דומים

Worked solution:

זוויות שוות→דמיון\text{זוויות שוות} \rightarrow \text{דמיון}

לפי משפט ז.ז

שני משולשי זהב הם תמיד דומים לפי ז.ז — ובמשולשים דומים היחס בין הצלעות קבוע.

Check the answer on elev

Exercise 16

במשולש זהב, הצלע שמול 30° היא 6 ס״מ. מה היקף המשולש? (עגלו לשלם הקרוב)

Show the answer and the solution

Answer: 28

Worked solution:

היתר=2×6=12\begin{aligned}\text{היתר} &= 2 \times 6 \\ &= 12\end{aligned}

לפי משפט משולש הזהב

62+b2=122⟶b≈10.396^2 + b^2 = 12^2 \quad \longrightarrow\quad b \approx 10.39

הצלע השלישית לפי פיתגורס

6+12+10.39≈286 + 12 + 10.39 \approx 28

ומחברים את שלוש הצלעות

שני המשפטים בשאלה אחת: משולש הזהב נותן את היתר, ופיתגורס את הצלע החסרה.

Check the answer on elev

Exercise 17

ABCD
שני משולשי זהב זה בתוך זה — הגדול ABCABC, והקטן ABDABD.

במשולש ABCABC נתון ∠B=90∘\angle B = 90^\circ ו-∠C=30∘\angle C = 30^\circ. הקטע BDBD הוא גובה ליתר ACAC. הוכיחו כי AD=AB2AD = \dfrac{AB}{2}.

  • ∠B=90∘\angle B = 90^\circ
  • ∠C=30∘\angle C = 30^\circ
  • BDBD גובה ליתר ACAC

AD=AB2AD = \dfrac{AB}{2}

Show the answer and the solution
  1. ∠B=90∘\angle B = 90^\circ — נתון
  2. ∠C=30∘\angle C = 30^\circ — נתון
  3. BDBD גובה ליתר ACAC — נתון
  4. ∠A=60∘\angle A = 60^\circ — סכום הזוויות במשולש שווה 180∘180^\circ
  5. ∠ADB=90∘\angle ADB = 90^\circ — גובה מאונך לצלע שאליה הוא מגיע
  6. ∠ABD=30∘\angle ABD = 30^\circ — סכום הזוויות במשולש שווה 180∘180^\circ
  7. AD=AB2AD = \dfrac{AB}{2} — הניצב מול זווית של 30∘30^\circ שווה למחצית היתר

Worked solution:

∠A=180∘−90∘−30∘=60∘\begin{aligned}\angle A &= 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ \\ &= 60^\circ\end{aligned}

הזווית החסרה במשולש הגדול

∠ABD=180∘−90∘−60∘=30∘\begin{aligned}\angle ABD &= 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ \\ &= 30^\circ\end{aligned}

ובמשולש הקטן ABDABD

AD=AB2AD = \frac{AB}{2}

הניצב מול 30∘30^\circ

הגובה מהזווית הישרה יצר משולש זהב קטן בתוך הגדול. זה הטריק שחוזר בכל התרגילים מהסוג הזה: לחפש את משולש הזהב הנסתר.

Check the answer on elev

Exercise 18

במשולש זהב, הצלע שמול 30°30° היא 4 ס״מ. תלמידה חישבה את הצלע שמול 60°60°. שורה אחת שגויה — מצאו אותה

היתר=2⋅4=8\begin{aligned}\text{היתר} &= 2 \cdot 4 \\ &= 8\end{aligned}
42+b2=824^2 + b^2 = 8^2
b2=64+16=80\begin{aligned}b^2 &= 64 + 16 \\ &= 80\end{aligned}
b=48≈6.93b = \sqrt{48} \approx 6.93
Show the answer and the solution

Answer: b2=64+16=80b^2 = 64 + 16 = 80 → b2=64−16=48b^2 = 64 - 16 = 48

Worked solution:

b2=82−42b^2 = 8^2 - 4^2

מעבירים את 424^2 לצד השני — חיסור

b2=48  b≈6.93\begin{aligned}b^2 &= 48 \ \\ \ b \approx 6.93\end{aligned}

את הניצב מוצאים מהיתר בחיסור, לא בחיבור. בדיקה מהירה: 80≈8.94\sqrt{80} \approx 8.94 גדול מהיתר 8, ואין ניצב שארוך מהיתר.

Check the answer on elev

Exercise 19

במשולש זהב, אורך היתר הוא 16 ס״מ. השלימו (את הצלע השנייה עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

הצלע שמול 30°30° היא ____ ס״מ, והצלע שמול 60°60° היא בערך ____ ס״מ

Show the answer and the solution

Answer: הצלע שמול 30°30° היא 8 ס״מ, והצלע שמול 60°60° היא בערך 13.86 ס״מ

Worked solution:

162=8\frac{16}{2} = 8

הצלע שמול 30°30° היא מחצית היתר

b2=162−82=192\begin{aligned}b^2 &= 16^2 - 8^2 \\ &= 192\end{aligned}

פיתגורס

b=192=83≈13.86\begin{aligned}b &= \sqrt{192} \\ &= 8\sqrt{3} \approx 13.86\end{aligned}

קודם הצלע הקטנה לפי משפט משולש הזהב, ורק אז הצלע השלישית לפי פיתגורס.

Check the answer on elev

Exercise 20

במשולש ישר הזווית שבאיור, היתר הוא 16 ס״מ, והזווית החדה הקטנה היא 30°30°. מה אורך הצלע הקצרה ביותר, בס״מ?

Show the answer and the solution

Answer: 8

Worked solution:

16:2=816 : 2 = 8

הצלע הקצרה ביותר יושבת מול הזווית הקטנה ביותר, 30°30°: מחצית היתר

הצלע הקצרה ביותר היא זו שמול 30°30°, גם כשהמשולש מסובב. היא מחצית היתר.

Check the answer on elev

Exercise 21

מגדילים משולש זהב פי 3. במשולש הגדול, היתר כבר לא שווה לפעמיים הצלע שמול 30°30°.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

3⋅103⋅5=105=2\begin{aligned}\frac{3 \cdot 10}{3 \cdot 5} &= \frac{10}{5} \\ &= 2\end{aligned}

שתי הצלעות גדלות פי 3

לא נכון. הזוויות לא השתנו, ולכן המשולש הגדול דומה לקטן. היחס נשאר 2.

Check the answer on elev

Exercise 22

במשולש זהב, aa הצלע שמול 30°30°, bb הצלע שמול 60°60°, ו-cc היתר. נתון c=12c = 12. יואב חישב את aa ואת bb. שורה אחת שגויה — מצאו אותה.

a=c:2=6\begin{aligned}a &= c : 2 \\ &= 6\end{aligned}
a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2
b2=144+36=180\begin{aligned}b^2 &= 144 + 36 \\ &= 180\end{aligned}
Show the answer and the solution

Answer: b2=144+36=180b^2 = 144 + 36 = 180 → b2=144−36=108b^2 = 144 - 36 = 108

Worked solution:

b2=c2−a2=144−36=108\begin{aligned}b^2 &= c^2 - a^2 \\ &= 144 - 36 \\ &= 108\end{aligned}

ניצב חסר: מחסרים מריבוע היתר

b=108≈10.39b = \sqrt{108} \approx 10.39

ומוציאים שורש

בפיתגורס, ניצב חסר יוצא מחיסור: ריבוע היתר פחות ריבוע הניצב השני. בדיקה: 180≈13.4\sqrt{180} \approx 13.4, ארוך מהיתר — וזה בלתי אפשרי.

Check the answer on elev

Exercise 23

סדרו את צלעות משולש הזהב, מהקצרה לארוכה:

  • היתר
  • הצלע שמול 30°30°
  • הצלע שמול 60°60°
Show the answer and the solution

Answer: הצלע שמול 30°30° · הצלע שמול 60°60° · היתר

Worked solution:

5<8.66<105 < 8.66 < 10

בדוגמה של השיעור

הצלע הגדולה מול הזווית הגדולה. היתר, מול 90°90°, הוא תמיד הארוך, והצלע מול 30°30° תמיד הקצרה.

Check the answer on elev

Exercise 24

במשולש זהב, היתר הוא 8 ס״מ. מה אורך הצלע שמול 60°60°, בס״מ? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה)

Show the answer and the solution

Answer: 6.93

Worked solution:

8:2=48 : 2 = 4

הצלע שמול 30°30°, לפי משפט משולש הזהב

42+b2=824^2 + b^2 = 8^2

ואז פיתגורס

b2=64−16=48⟶b≈6.93\begin{aligned}b^2 &= 64 - 16 \\ &= 48 \quad\longrightarrow\quad b \approx 6.93\end{aligned}

ומוציאים שורש

קודם הצלע הקצרה, ורק אז פיתגורס. מי שעוצר ב-8:2=48 : 2 = 4 מצא את הצלע שמול 30°30°, ולא את זו שמול 60°60°.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade